Определение оптимального производственного плана предприятия

 

 

 

 

 

В результате получают новую  симплекс-таблицу, отвечающую новому базисному  решению.

Линейное  программирование с параметром в  целевой функции

Пусть коэффициент cj целевой функции  изменяется в пределах (cj — c'j,cj + с''j), тогда для удобства решения задачи его можно заменить выражением

где c'j, с''j — постоянные; λ —  параметр, который изменяется в некоторых  пределах (в общем случае от -  до  ).

В общем виде задача линейного программирования с параметром в целевой функции  записывается так:

 

при ограничениях:

 

 

 

Для каждого значения λ в промежутке δ ≤ λ ≤ φ, где δ и φ  — произвольные действительные числа, найти вектор  (x1, x2,..., xп), удовлетворяющий системе ограничений и обращающий в максимум (минимум) целевую функцию.

Решая задачу на максимум симплексным  методом и исследуя ее решение  в зависимости от изменения параметра  λ, получим выражения для определения  нижнего (λ1) и верхнего (λ2) его значений:

 

 

 

 

 

где Δ"j, — оценка симплексной  таблицы, содержащая параметр λ; Δ'j —  оценка симплексной таблицы, не содержащая параметр λ.

Если для целевой функции  отыскивается min, то границы изменения  λ (λ1 и λ2) определяются следующим  образом:

 

 

 

 

 

Задача  определения оптимального производственного  плана предприятия:

В конкретно моей работе будет рассматриваться задача определения оптимального производственного плана предприятия, общий смысл которой сводится к следующему:

Предприятие выпускает n различных  изделий. Для их производства требуется m различных видов ресурсов (сырья, материалов, рабочего времени и т.п.). Ресурсы ограничены, их запасы в  планируемый период составляют, соответственно, b₁, b₂,..., b_m условных единиц.

Известны также технологические  коэффициенты a_ij, которые показывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы изделия j-го вида (     ).

Прибыль, получаемая предприятием при реализации изделия j-го вида, равна c_j.

В планируемом периоде  значения величин a_ij, b_i и c_j остаются постоянными.

Требуется составить такой  план выпуска продукции, при реализации которого прибыль предприятия была бы наибольшей.

 

Теперь построим соответствующие экономико-математические модели.

Экономико-математическая модель для выручки:

I. Переменные:

х₁- продукт А (единица изделия);

х₂ - продукт В (единица изделия);

х₃ - продукт С (единица изделия).

II. Целевая  функция – выручка (тыс. руб.):

С (х) = 12х₁ + 16х₂ + 19х₃ → max

III. Ограничения:

x₁ + x₂ + 3x₃<= 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x₃<=30

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃ >=0

 

Экономико-математическая модель для себестоимости:

I. Переменные:

х1- продукт А (единица  изделия);

х2 - продукт В (единица  изделия);

х3 - продукт С (единица  изделия).

II. Целевая  функция – себестоимость (тыс.  руб.):

С (х) = 9х₁ + 13х₂ + 15х₃ → min

III. Ограничения:

x₁ + x₂ + 3x₃<= 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x₃<=30

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃ >=0

 

3. РЕШЕНИЕ ОДНОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ

ПОСТОПТИМИЗАЦИОННЫЙ ПЛАН

I. Переменные:

х₁- продукт А (единица изделия);

х₂ - продукт В (единица изделия);

х₃ - продукт С (единица изделия).

II. Целевая  функция – выручка (тыс. руб.):

С (х) = 12х₁ + 16х₂ + 19х₃ → max

III. Ограничения:

x₁ + x₂ + 3x₃<= 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x₃<=30 (1)

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃ >=0

IV. Приводим к каноническому виду:

x₁ + x₂ + 3x₃ + х4 = 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x_{3+ х5} =30

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ >=0

V. Вводим искусственный базис

x₁ + x₂ + 3x₃ + х4 = 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x_{3+ х5} =30                         (2)

3x₁ + 2x₂ + 5x_3+х6 = 24

х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ , х₆ >=0

х₆– искусственная переменная, которая не несет в себе экономического смысла. Она необходима для нахождения начального базисного допустимого плана.

С₁ (х) = - х₆ → max

Вектор составляем из естественных переменных задачи линейного программирования (1) и искусственных переменных введенных в задачу (2).

х= (0;0;0;24;30;24)

Таблица 3.1. «Симплекс  таблица»

 

х*=(0;12;0;12;6;0)

С (х*)=192 тыс. руб.

Данное решение говорит  нам о том, что продукт А  и С выпускаться не будет, а  вот продукт В будет производиться в размере 12 единиц, тогда выручка будет равна 192 тыс. руб.

Получен целочисленный результат, поэтому решения методом Гомори и методом ветвей и границ не имеют  смысла.

Теперь проведем постоптимизационный  анализ.

Отчет по результатам:

Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя			Исходное значение		Результат
	$R$30	Выручка			0		192
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя			Исходное значение		Результат
	$R$31	Продукт А (шт)			0		0
	$R$32	Продукт В (шт)			12		12
	$R$33	Продукт С (шт)			0		0
Ограничения
	Ячейка	Имя			Значение		Формула	Статус	Разница
	$R$34	Ресурс 1			12		$R$34<=24	не связан.	12
	$R$35	Ресурс 2			24		$R$35<=30	не связан.	6
	$R$38	Ресурс 3			24		$R$38=24	связанное	0

 

 

 

Вывод:

Целевая ячейка:

Как мы видим оптимальное  значение целевой функции-выручка  равно 192 тыс.руб.

Заменяемые  ячейки:

Так как значения продукта А и В равны нулю, то мы делаем вывод, что данные продукты не рентабельны, и их производить не нужно. 
Значение :

При оптимальном плане  ресурсаR₁ будет потрачено 12, ресурса R₂ иR₃  будет  использовано 24. 
Статус:

Здесь мы видим, что два  ресурса (R₁ иR₂) у нас не связанные, а значит, использованы не полностью, а вот ресурс R₃ использован полностью. 

Разница :

Так как ресурсы R₁ иR₂использованы не полностью, то здесь мы можем увидеть, сколько его у нас осталось, а именно, ресурсаR₁ - 12, R₂-6.

 

Отчет по устойчивости:

			Результ.	Нормир.		Целевой	Допустимое	Допустимое
Ячейка	Имя		значение	стоимость		Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
$R$31	Продукт А (шт)		0	-12		12	12	1E+30
$R$32	Продукт В (шт)		12	0		16	1E+30	7,999999999
$R$33	Продукт С (шт)		0	-21		19	21	1E+30
			Результ.	Теневая		Ограничение	Допустимое	Допустимое
Ячейка	Имя		значение	Цена		Правая часть	Увеличение	Уменьшение
$R$34	Ресурс 1		12	0		24	1E+30	12
$R$35	Ресурс 2		24	0		30	1E+30	6
$R$38	Ресурс 3		24	8		24	6	24

 

Вывод: 
Нормированная (редуцированная)  стоимость: 

Нормированная стоимость  товара А-12, а это значит, что выпуск 1 единиц товара А, приведет к уменьшению выручки на 12. Таким образом выручка  составит 180 тыс. руб., а выпуск товара  С уменьшит выручку на 21, т.е. выручка составит 171 тыс. руб. 
Допустимое увеличение, допустимое уменьшение 

Рассмотрим на примере  продуктаА, цена за единицу которого равна 12,изменяя его в рамках 12-1E+30<А<24 план не изменится. 
Результирующее значение 

При оптимальном плане  ресурса R₁ будет потрачено 12, ресурса R₂ и R₃  будет  использовано 24. 
Теневая цена 

Так как теневая цена первого  и второго ресурса равна 0, то мы можем утверждать, что эти ресурсы  недефицитные и израсходованы не полностью, то есть изменение количества этих ресурсов не повлияет на значение целевой функции.А вот если увеличить запас ресурса 3, например, на 10 единиц, то доход увеличится  на 10•8=80 и будет составлять 272тыс. руб. 
Допустимое увеличение, допустимое уменьшение

Показывает, насколько можно  изменить правую часть ограничения  до того момента пока это будет  влиять на целевую функцию. Например, увеличение 3-го ресурса  больше, чем на 6 единиц уже не будет влиять на целевую функцию.

 

4. РЕШЕНИЕ ОДНОКРИТЕРИАЛЬНЫЗ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ В ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

Решим однокритериальную  задачу с параметром в целевой  функции, при следующем условии: цена каждой единицы изделия может  изменяться, причем эти изменения  определяются соотношением:

C₁=12-t ;

C₂=16+t ;

C₃=19+2t, где t - некоторый параметр.

Для каждого из возможных значений цены изделий найдем план производства, при котором суммарная выручка была бы максимальной.

С (tх) = (12-t)х₁ + (16+t)х₂ + (19+2t)х₃ → max

x₁ + x₂ + 3x₃<= 24

2x₁ + 2x₂ + 4 x₃<=30

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 24

х₁, х₂, х₃ >=0

Данную задачу решим с  помощью программы WinQSB.

 

С (х)= 192

Х*= (0; 12; 0)

Вывод:

Полученные данные полностью  совпадают с результатом симплекс-метода и поиска решений.

 

 

t(max) = 12

t (min) = -9,5

Произвожу пересчет верхней  и нижней границ моего интервала, X*(0,12,0). В итоге я получаю, что М=336, а –М=78.