Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Для того чтобы уравнение было идентифицируемо, нужно, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Необходимое условие идентификации (счетное правило)

Если обозначить число  эндогенных переменных в j-м уравнении системы через Н, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, — через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

 D + 1 = Н— уравнение идентифицируемо;

 D + 1 < Н — уравнение неидентифицируемо;

 D + 1 > Н— уравнение сверхидентифицируемо.

Для оценки параметров структурной  модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других уравнениях, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

 

4. Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК)

В системе  одновременных уравнений каждое уравнение не может рассматриваться  как самостоятельная часть системы, поэтому оценки неизвестных коэффициентов  данных уравнений нельзя определить с помощью классического метода наименьших квадратов, т. к. нарушаются три основных условия применения этого метода:

а) между  переменными системы уравнений  существует одновременная зависимость, т. е. в первом уравнении системы y₁ является функцией от y₂, а во втором уравнении уже y₂ является функцией от y₁;

б) наличие  проблема мультиколлинеарности, т.е. во втором уравнении системы y₂ зависит от x₁, а в других уравнениях обе переменные являются факторными;

в) случайные  ошибки уравнения коррелируют с результативными переменными.

Следовательно, если неизвестные коэффициенты системы  одновременных уравнений оценивать  с помощью классического метода наименьших квадратов, то в результате мы получим смещённые и несостоятельные  оценки.

Косвенный метод наименьших квадратов используется для получения оценок неизвестных коэффициентов системы одновременных уравнений, удовлетворяющих свойствам эффективности, несмещённости и состоятельности.

Косвенный метод наименьших квадратов применяется  только в том случае, если структурная  форма системы одновременных  уравнений является точно идентифицированной.

Алгоритм метода наименьших квадратов  реализуется в три этапа:

- на основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма, все параметры которой выражены через структурные коэффициенты;

- приведённые коэффициенты каждого уравнения оцениваются обычным методом наименьших квадратов;

- на основе оценок приведённых коэффициентов системы одновременных уравнений определяются оценки структурных коэффициентов через приведённые уравнения.

 

5. Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)

Уравнение называется сверхидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений можно получить более одного значения для коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.

Оценки  неизвестных параметров сверхидентифицированного уравнения нельзя рассчитать традиционным и косвенным методом наименьших квадратов. В данном случае для определения неизвестных оценок используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Алгоритм  двухшагового метода наименьших квадратов реализуетсяв четыре этапа:

1) на основе  структурной формы системы одновременных  уравнений составляется её приведённая  форма;

2) оценки  неизвестных коэффициентов приведённой  формы системы одновременных  уравнений рассчитываются с помощью  традиционного метода наименьших  квадратов;

3) рассчитываются  значения эндогенных переменных, выступающих в качестве факторных  в сверхидентифицированном уравнении;

4) все структурные  коэффициенты уравнений системы  рассчитываются традиционным методом  наименьших квадратов через предопределённые  переменные, входящие в это уравнение  в качестве факторов, и значения  эндогенных переменных, полученных  на предыдущем шаге.

Как видно  из описания данного алгоритма, традиционный метод наименьших квадратов применяется  два раза (для определения оценок эндогенных переменных приведённой  формы и для определения оценок структурных параметров уравнений  системы), поэтому и получил название двухшагового.

Различают две разновидности моделей, чьи  структурные формы содержат сверхидентифицированные уравнения:

 

1) в модель  помимо сверхидентифицированного уравнения также входят точно идентифицированные уравнения;

2) все уравнения  модели являются сверхидентифицированными.

Для моделей  первого типа оценки структурных  коэффициентов точно идентифицированного уравнения определяются на основании системы приведённых уравнений.

Для моделей  второго типа оценки структурных  коэффициентов системы определяются с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.

Если  все уравнения системы точно  идентифицированы, то оценки структурных  коэффициентов, полученные косвенным  методом наименьших квадратов и  оценки, полученные двухшаговым методом наименьших квадратов будут одинаковыми.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. «Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)»[Электронный ресурс]. – М. , [2012] . – Режим доступа: http://menzo.ucoz.ru/load/ehkonometrika/dvukhshagovyj_metod_naimenshikh_kvadratov_dmnk/38-1-0-1955
2. «Косвенный метод наименьших квадратов» [Электронный ресурс]. – М. , [2012] . – Режим доступа: http://www.be5.biz/ekonomika/e011u/90.htm
3. «Введение. Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике» [Электронный ресурс]. – М. , [2012] . –  Режим доступа:  http://do.gendocs.ru/docs/index-79519.html