Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике

 

Содержание 

Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике….............	3
Структурная и приведенная формы модели…………………………………………….…	4
Проблема идентификации………………………….……………………..............	6
Косвенный метод наименьших квадратов…………………………………………….	7
Двухшаговый метод наименьших квадратов………………………………………….	8
Список литературы……………………………………………………………………...	10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

y₁= а ₁₁х₁ +  а ₁₂ х ₂ + … + а_1mх_m + е₁

y₂= а₂₁х₁ + а₂₂х₂ +…+ а_2mх_m + е₂

…………………….

y_n= а_n1х₁ + а_n2х₂ +…+ а_nmх_m + е_n

Также является системой независимых уравнений с тем лишь отличием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнении системы может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или частного F-критерия для данного фактора). Такой модели может служить модель экономической эффективности сельскохозяйственного производства, где в качестве зависимых переменных выступают показатели, характеризующие эффективность сельскохозяйственного производства.

Каждое уравнение системы независимых  уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член a₀. Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.

В итоге система независимых  уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах примет вид:

 

Y1=a01+a11x1+a12x2+a13x3+a14x4+e1

Y2=a02+a21x1+a22x2+a23x3+a24x4+e2

Y3=a03+a31x1+a32x2+a33x3+a34x4+e3

 

Однако если зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

 

y₁ =a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1mx_m+e₁

y₂=b₂₁y₁+a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2mx_m+e₂

y₃=b₃₁y₁+b₃₂y₂+a₃₁x₁+a₃₂x₁+…+a_3mx_m+e₃

………………………………………………………..

y_n=b_n1y₁+b_n2y₂+…+b _nm-1 y _n-1 + a_n2x₂+…+a_nmx_m+e_n.

 

В данной системе зависимая  переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов х. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида

 

y₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+e₁

y₂=b₂₁y₁+a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+e₂

 

где y_l - производительность труда;

У₂ — фондоотдача;

x₁— фондовооруженность труда;

х₂ — энерговооруженность труда;

х₃  квалификация рабочих.

 

Наибольшее распространение  в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях — в правую часть системы:

y₁= b₁₂   y₂ +  b₁₃   y₃+…+ b_1n   y_n +a₁₁    x₁+a₁₂   x₂ +…+ a_1m   x_m + e₁

y₂= b₂₁   y₁+ b₂₃   y₃+…+ b_2n   y_n+a₂₁   x₁+a₂₂   x₂ +…+ a_2m   x_m + e₂

……………………………………………………………………………...

y_n= b_n1   y₁ + b_n2   y₂+…+ b _nn-1   y _n-1+ a_n1   x₁ + a_n2   x₂+…+a_nm   x_m + e_n

 

Система взаимозависимых  уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

 

2. Структурная и приведенная формы модели

Система совместных, одновременных  уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенные  переменные обозначаются обычно как х. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма  модели имеет вид:

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции  принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других — как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные). Так, потребление текущего года (у) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году (y,_i).

Структурная форма модели позволяет  увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты bi и aj (bi — коэффициент при эндогенной переменной, аj — коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурные коэффициенты модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т. е. под х подразумевается х — х , а под у — соответственно у — у. Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

По виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых  уравнений, параметры которой оцениваются традиционным методом наименьших квадратов. Применяя МНК, можно оценить 8, а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы  модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной  формы модели. Рассмотрим это положение  на примере простейшей структурной  модели, выразив коэффициенты приведенной  формы модели (бij) через коэффициенты структурной модели aj и bi. Для упрощения в модель не введены случайные переменные.

Для структурной модели вида

     Y₁ = B₁₂*Y₂+A₁₁*X₁

     Y₂ = B₂₁ *Y₁+A₂₂*X₂     

  Приведенная форма модели имеет вид:

    Y₁=Б₁₁*X₁ + Б₁₂*X₂,  

    Y₂=Б₂₁*X₁+Б₂₂*X2     

      

           в которой у₂ из первого уравнения структурной модели можно выразить следующим образом:

            Тогда система одновременных уравнений будет представлена как

y₂= ,

y₂=b₂₁  y₁+a₂₂   x_2.

 

                  =b₂₁y₁+a₂₂x₂

     Отсюда имеем равенство:

 

 

Или

         y₁ - a₁₁x₁ = b₁₂b₂₁y₁ + b₁₂a₂₂x₂

Тогда:

         Y₁-b₁₂b₂₁y₁ = a₁₁x₁+b₁₂a₂₂x₂

Или

       

Таким образом, мы представили первое уравнение структурной формы модели в виде уравнения приведенной формы модели:

                                                                                   y₁=б₁₁x₁+b₁₂x_2.

Из уравнения следует, что коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные соотношения коэффициентов структурной формы модели, т. е.

Аналогично можно показать, что коэффициенты приведенной формы модели второго уравнения системы (б₂₁ и б₂₂) также нелинейно связаны с коэффициентами структурной модели. Для этого выразим переменную y₁, из второго структурного уравнения модели как

Запишем это выражение у₁ в левой части первого уравнения структурной формы модели:

Отсюда:

что соответствует уравнению  приведенной формы модели:

y₂ = б₂₁x₁ + б₂₂x₂, т.е.

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Например, Т. Хаавелмо в 1947г., исследуя линейную зависимость потребления (с) от дохода (у) предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид:

                       с = а + by,

                        y= с+х,

где а и b — параметры линейной зависимости с от у;

х — инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта.

Оценки параметров должны учитывать тождество дохода в  отличие от параметров обычной линейной регрессии.

В этой модели две эндогенные переменные — сиу и одна экзогенная переменная х. Система приведенных уравнений составит

                              с = А₀ + А₁х,

                        у =B₀+B₁x

Она позволяет получить значения эндогенной переменной с через переменную х. Рассчитав коэффициенты приведенной формы модели (А₀, А_1, В₀, В₁, можно перейти к коэффициентам структурной модели а и b, подставив в первое уравнение приведенной формы выражение переменной х из второго уравнения приведенной формы модели. Приведенная форма модели, хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, аналитически уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

3. Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы  модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

• идентифицируемые;
• неидентифицируемые;
• сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.