Контрольная работа по « Экономико-математическое моделирование»

 

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	28	-1	5	0	0	1	1	4
x4	17	-3	4	0	1	0	1	3
x3	5	-1	1	1	0	0	0	1
F(X3)	56	-12	12	0	0	0	3	10

 

Последняя строка содержит отрицательные элементы. Пространство допустимых решений неограниченно. Решения не существует.

 

 

 

Задание 4

 

В хозяйстве имеется три фирмы КРС, в которых содержатся соответственно 400, 500 и 600 голов коров. Средний вес одной головы -400-500 кг, среднегодовой удой - 3000 кг., жирность молока - 3,8-4 %. Годовая потребность коров в кормах с учетом их живого веса и продуктивности в сене определена в размере 8 цн. На одну голову (из расчета: среднесуточная потребность - 4 кг., продолжительность периода кормления - 220 дней).

Сено сконцентрировано (стога и скирды) в четырех пунктах: в 1-2500 ц. во 2-4000 ц., в 3-3500 ц., в 4-2000 ц. Себестоимость 1 тонно-километра при перевозке сена составляет 12 руб. Расстояние (км.) от пунктов заготовки сена до ферм известны:

Молочно-товарные фермы	Пункты заготовки сена
	1	2	3	4
Первая	4	3	5	2
Вторая	1	3	4	5
Третья	6	2	7	8

Требуется, составит такой вариант транспортировки сена от пунктов заготовки до ферм, чтобы суммарные затраты на его перевозку были минимальными

 

Решение

Математическая модель транспортной задачи:

F = ∑∑cijxij,    (1)

при условиях:

∑xij = ai,  i = 1,2,…, m,   (2)

∑xij = bj,  j = 1,2,…, n,   (3)

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	4	3	5	2	3200
2	1	3	4	5	4000
3	6	2	7	8	4800
Потребности	2500	4000	3500	2000

 

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 3200 + 4000 + 4800 = 12000

∑b = 2500 + 4000 + 3500 + 2000 = 12000

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

 

	1	2	3	4	Запасы
1	4	3	5	2	3200
2	1	3	4	5	4000
3	6	2	7	8	4800
Потребности	2500	4000	3500	2000

 

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 4000, потребности 2500. Поскольку минимальным является 2500, то вычитаем его.

x21 = min(4000,2500) = 2500.

 

x	3	5	2	3200
1	3	4	5	4000 - 2500 = 1500
x	2	7	8	4800
2500 - 2500 = 0	4000	3500	2000	0

 

 

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 3200, потребности 2000. Поскольку минимальным является 2000, то вычитаем его.

x14 = min(3200,2000) = 2000.

 

x	3	5	2	3200 - 2000 = 1200
1	3	4	x	1500
x	2	7	x	4800
0	4000	3500	2000 - 2000 = 0	0

 

 

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 4800, потребности 4000. Поскольку минимальным является 4000, то вычитаем его.

x32 = min(4800,4000) = 4000.

 

x	x	5	2	1200
1	x	4	x	1500
x	2	7	x	4800 - 4000 = 800
0	4000 - 4000 = 0	3500	0	0

 

 

Искомый элемент равен 4

Для этого элемента запасы равны 1500, потребности 3500. Поскольку минимальным является 1500, то вычитаем его.

x23 = min(1500,3500) = 1500.

 

x	x	5	2	1200
1	x	4	x	1500 - 1500 = 0
x	2	7	x	800
0	0	3500 - 1500 = 2000	0	0

 

 

Искомый элемент равен 5

Для этого элемента запасы равны 1200, потребности 2000. Поскольку минимальным является 1200, то вычитаем его.

x13 = min(1200,2000) = 1200.

 

x	x	5	2	1200 - 1200 = 0
1	x	4	x	0
x	2	7	x	800
0	0	2000 - 1200 = 800	0	0

 

 

Искомый элемент равен 7

Для этого элемента запасы равны 800, потребности 800. Поскольку минимальным является 800, то вычитаем его.

x33 = min(800,800) = 800.

 

x	x	5	2	0
1	x	4	x	0
x	2	7	x	800 - 800 = 0
0	0	800 - 800 = 0	0	0

 

 

 

	1	2	3	4	Запасы
1	4	3	5[1200]	2[2000]	3200
2	1[2500]	3	4[1500]	5	4000
3	6	2[4000]	7[800]	8	4800
Потребности	2500	4000	3500	2000

 

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых  клеток таблицы, их 6, а должно  быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 5*1200 + 2*2000 + 1*2500 + 4*1500 + 2*4000 + 7*800  = 32100

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

u1 + v3 = 5; 0 + v3 = 5; v3 = 5

u2 + v3 = 4; 5 + u2 = 4; u2 = -1

u2 + v1 = 1; -1 + v1 = 1; v1 = 2

u3 + v3 = 7; 5 + u3 = 7; u3 = 2

u3 + v2 = 2; 2 + v2 = 2; v2 = 0

u1 + v4 = 2; 0 + v4 = 2; v4 = 2

 

	v1=2	v2=0	v3=5	v4=2
u1=0	4	3	5[1200]	2[2000]
u2=-1	1[2500]	3	4[1500]	5
u3=2	6	2[4000]	7[800]	8

 

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi <= cij.

Минимальные затраты составят:

F(x) =12(5*1200 + 2*2000 + 1*2500 + 4*1500 + 2*4000 + 7*800)  =

=32100*12=385200р.