Контрольная работа по « Экономико-математическое моделирование»

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x1+x2 → min.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x1+x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

 

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (2) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
2x1+3x2=15 
x2=4 
Решив систему уравнений, получим: x1 = 1.5, x2 = 4 
Откуда найдем минимальное значение целевой функции: 
F(X) = 2*1.5 + 1*4 = 7

Ответ: Максимальное значение при x1 = 6.1364, x2 = 0.9091, Z = 13.1818

Минимальное значение при x1 = 1.5, x2 = 4, Z=7.

 

Задание 3

Z max = 2X1 + X2 + X3 + 3X4

3X1 – X3 – X4 <= 6

X2 - 3X3 + X4 <= 2

-X1 + X2 + X3 <= 5

Xj ≥ 0, j = 1÷4

 

Решение

Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 2x1 + x2 + x3 + 3x4 при следующих условиях-ограничений.

3x1 - x3 - x4≤6

x2 - 3x3 + x4≤2

- x1 + x2 + x3≤5

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7. 

3x1 + 0x2-1x3-1x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 6

0x1 + 1x2-3x3 + 1x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 2

-1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 5

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

 

3	0	-1	-1	1	0	0
0	1	-3	1	0	1	0
-1	1	1	0	0	0	1

 

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x5, x6, x7

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,6,2,5)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	6	3	0	-1	-1	1	0	0
x6	2	0	1	-3	1	0	1	0
x7	5	-1	1	1	0	0	0	1
F(X0)	0	-2	-1	-1	-3	0	0	0

 

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение  новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение  новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai4

и из них выберем наименьшее:

min (- , 2 : 1 , - ) = 2

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x5	6	3	0	-1	-1	1	0	0	-
x6	2	0	1	-3	1	0	1	0	2
x7	5	-1	1	1	0	0	0	1	-
F(X1)	0	-2	-1	-1	-3	0	0	0	0

 

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x6 в план 1 войдет переменная x4.

Строка, соответствующая переменной x4 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x4 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x4 и столбец x4.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

 

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
6-(2 • -1):1	3-(0 • -1):1	0-(1 • -1):1	-1-(-3 • -1):1	-1-(1 • -1):1	1-(0 • -1):1	0-(1 • -1):1	0-(0 • -1):1
2 : 1	0 : 1	1 : 1	-3 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1	0 : 1
5-(2 • 0):1	-1-(0 • 0):1	1-(1 • 0):1	1-(-3 • 0):1	0-(1 • 0):1	0-(0 • 0):1	0-(1 • 0):1	1-(0 • 0):1
0-(2 • -3):1	-2-(0 • -3):1	-1-(1 • -3):1	-1-(-3 • -3):1	-3-(1 • -3):1	0-(0 • -3):1	0-(1 • -3):1	0-(0 • -3):1

 

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	8	3	1	-4	0	1	1	0
x4	2	0	1	-3	1	0	1	0
x7	5	-1	1	1	0	0	0	1
F(X1)	6	-2	2	-10	0	0	3	0

 

Итерация №1.

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение  новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение  новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3

и из них выберем наименьшее:

min (- , - , 5 : 1 ) = 5

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x5	8	3	1	-4	0	1	1	0	-
x4	2	0	1	-3	1	0	1	0	-
x7	5	-1	1	1	0	0	0	1	5
F(X2)	6	-2	2	-10	0	0	3	0	0

 

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x7 в план 2 войдет переменная x3.

Строка, соответствующая переменной x3 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x3 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x3 и столбец x3.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

 

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
8-(5 • -4):1	3-(-1 • -4):1	1-(1 • -4):1	-4-(1 • -4):1	0-(0 • -4):1	1-(0 • -4):1	1-(0 • -4):1	0-(1 • -4):1
2-(5 • -3):1	0-(-1 • -3):1	1-(1 • -3):1	-3-(1 • -3):1	1-(0 • -3):1	0-(0 • -3):1	1-(0 • -3):1	0-(1 • -3):1
5 : 1	-1 : 1	1 : 1	1 : 1	0 : 1	0 : 1	0 : 1	1 : 1
6-(5 • -10):1	-2-(-1 • -10):1	2-(1 • -10):1	-10-(1 • -10):1	0-(0 • -10):1	0-(0 • -10):1	3-(0 • -10):1	0-(1 • -10):1

 

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	28	-1	5	0	0	1	1	4
x4	17	-3	4	0	1	0	1	3
x3	5	-1	1	1	0	0	0	1
F(X2)	56	-12	12	0	0	0	3	10