Игровые модели олигополистической конкуренции

                             

, где ,                            (2)

Аналогично, если - вероятность выбора j-й чистой стратегии игроком 2 (j=1, 2, …, n), то смешанная стратегия второго игрока выражается вектором

                       

, где                             (3)

Точкой равновесия является пара векторов , определяющих оптимальные смешанные стратегии каждого из игроков, т.е. стратегии, приводящие данного игрока к максимальному ожидаемому выигрышу при условии, что противник применяет свою (оптимальную) смешанную стратегию. Следовательно,

                               

для всех ,                            (4)

 для всех  .

В каждой конечной игре двух лиц существует пара векторов смешанных  стратегий, приводящих к точке равновесия. Такая пара векторов может быть не единственной, и может оказаться, что различным парам соответствуют  различные значения выигрыша (ожидаемого). Вообще говоря, в каждой игре n лиц с конечным числом стратегий существуют смешанные стратегии, приводящие к равновесию. Равновесие – это набор таких смешанных стратегий, которые невыгодно самостоятельно изменять ни одному из игроков.

Рассмотрим концепцию  доминирующей стратегии – стратегии, которая является оптимальной вне  зависимости от того, что делает оппонент[2].

Когда каждый игрок обладает доминирующей стратегией, исход игры можно назвать равновесием доминирующих стратегий. Такие игры поддаются  прямолинейному анализу, поскольку  оптимальная стратегия каждого  игрока может быть определена без  беспокойства о действиях других игроков. К сожалению, не всегда есть доминирующая стратегия для каждого  игрока.

Полезно сравнить концепцию  равновесия Нэша с равновесием в доминирующих стратегиях:

 

Таблица 1.

Сравнение концепций равновесия по Нэшу с равновесием в доминирующих стратегиях.

Доминирующие стратегии	Равновесия Нэша
Я делаю лучшее из того, что  я могу, независимо от того, что делаете вы.	Я делаю лучшее из того, что я могу, учитывая то, что делаете вы. Вы делаете лучшее из того, что можете, учитывая то, что делаю я.

 

Стоит отметить, что равновесие доминирующих стратегий является специальным  случаем равновесия Нэша.

Концепция равновесия Нэша опирается главным образом на индивидуальную рациональность. Выбор каждым игроком стратегии зависит не только от его собственной рациональности, но также и от рациональности его поведения.

 

 

2. МОДЕЛИ КОНКУРЕНТНЫХ РЫНКОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОГО ПОДХОДА

2.1 Модель олигополии по Курно

 

Анализ дуополии как простейшей формы олигополии впервые был  осуществлен в 1838 г. французским  экономистом Огюстеном Курно.

Эта модель описывает рыночное равновесие в условиях некооперированной  олигополии.

Основные положения модели:

• На рынке действует фиксированное число N>1 фирм, выпускающих экономическое благо одного наименования;
• Вход на рынок новых фирм и выход из него отсутствуют;
• Фирмы обладают рыночной властью;
• Фирмы максимизируют свою прибыль и действуют без кооперации.

Общее количество фирм на рынке N предполагается известным всем участникам. Каждая фирма, принимая свое решение, считает выпуск остальных фирм заданным параметром (константой). Функции издержек фирм c_i(q_i) могут быть различны и также предполагаются известными всем участникам.

Функция спроса представляет собой убывающую функцию от цены блага. Цена блага задана как цена равновесия отраслевого рынка (величина отраслевого предложения равна  величине спроса на данное экономическое  благо при одной и той же цене).

В дуополии существует только два продавца товара. Если предположить, что товар однороден, производится при постоянных предельных издержках  и продается согласно линейной функции  спроса, то промышленный выпуск продукции равен

q=q¹+q²,         (5)

функция спроса может быть представлена в виде:

p=a-b(q¹+q²),  a>0, b>0,           (6) 

а кривые издержек будут  иметь вид

,  (7)

где с – предельные издержки, а d – фиксированные издержки.

Фирма 1 будет получать прибыль

П¹=[a-b(q¹+q²)]q¹-cq¹-d,        (8)

которую она захочет максимизировать путем выбора q₁.  Запишем условия первого порядка для максимума

                      

,              (9)

где - предположительная вариация, в данном случае влияние изменения выпуска продукции первой фирмы на выпуск фирмы 2.

Анализ дуополии Курно  основан на предпосылке, что предположительные  вариации равны нулю, т.е. что каждый из дуополистов считает, что изменения  в его собственном выпуске  продукции не повлияют на конкурента. Тогда равновесие Курно можно  определить как пару уровней продукции (q¹,q²), полученную при допущении о нулевых предположительных вариациях

                                                 

                                              (10)

 

Стоит заметить, что даже при этом упрощении решение для (q¹,q²) потребует одновременно решить для каждой фирмы условия первого порядка; эта существенная одновременность присуща задачам олигополий. Учитывая вышеизложенное, запишем первое условие

a-b(q¹+q²)-bq¹-c=0            (11)

Так как q²=q¹, то равенство

                                              

                                       (12)

представляет собой равновесие Курно. Тогда равновесные оценочные  цены и промышленный выпуск продукции  будут определяться по формулам

                                   

  .                            (13)

Эти результаты могут быть обобщены на случай F фирм; тогда имеем

 

 

                    (14)

 

 

В пределе, по мере того, как  число фирм приближается к бесконечности, равновесие Курно стремится к  равновесию в условиях совершенной  конкуренции. Если F→∞, индивидуальные объемы q^f→0, а цены р→с, эти значения являются конкурентным равновесием, при котором каждая фирма производит ничтожно малое количество продукции и поэтому не влияет на цену товара; в этом случае цена равновесия равна предельным издержкам.

Динамику при подходе  Курно можно анализировать с  помощью кривых реакции, которые  показывают оптимальный выпуск продукции  каждой фирмой при заданных выпусках продукции конкурентом. Предположив  временной лаг, равный одному периоду, и используя упомянутые уравнения для равновесия Курно, запишем следующие формулы для кривых реакции:

.        (15)

Решением этой пары разностных уравнений являются траектории движения двух выпусков во времени t. Кривые реакции и некоторые упорядоченные траектории показаны на рис. 2.

Рис. 2. Кривые реакции и  равновесие Курно для дуополии. 

2.2 Модель дуополии Штакельберга

 

В отличие от модели Курно, в которой обе фирмы являются на рынке равноправными игроками, в модели Штакельберга одна из них (лидер I) активна, а другая (последователь II) пассивна. Последователь предоставляет  лидеру возможность первому предложить на рынке желаемое количество товара и оставшийся после этого неудовлетворенный  отраслевой спрос рассматривает как свою долю рынка[7].

Такое взаимоотношение между  конкурентами может возникнуть вследствие ассиметричного распределения информации: лидер знает функцию затрат последователя, в то время как последователь  не осведомлен о производственных возможностях лидера.

В такой ситуации фирмам не нужно принимать стратегических решений. Прибыль лидера зависит  только от его объема выпуска, так  как объем выпуска последователя  задан уравнением его реакции: q_II = q_II(q_I).Последователь, осознавая лидерство конкурента, рассматривает его объем выпуска как заданный и принимает решение об уровне своего выпуска при предпосылках модели Курно.

Для наглядного сопоставления  равновесия Курно с равновесием Штакельберга линии реакции дуополистов нужно дополнить линиями равной прибыли (изопрофитами). Уравнение изопрофиты получается в результате решения уравнения прибыли дуополии относительно объема выпуска, обеспечивающего заданную величину прибыли.

На рис. 3 показано, как располагаются изопрофиты фирмы II. При заданном выпуске фирмы I соответствующая ему точка на линии реакции фирмы II указывает объем ее производства, максимизирующий прибыль. Получить такую же прибыль при большем или меньшем своем выпуске фирма II может только, если фирма I уменьшит предложение на рынке, поэтому вершины изопрофит располагаются на линии реакции. Чем ниже расположена изопрофита, тем большую прибыль она представляет, так как соответствует меньшему выпуску конкурента.

 

Рис. 3. Изопрофиты дуополии

 

Совместив карты изопрофит  дуополистов, можно увидеть сочетания q_I,q_II, соответствующие отраслевому равновесию в моделях Курно и Штакельберга (рис. 4). Точка пересечения линий реакции (С) представляет равновесие в модели Курно, а точка касания линии реакции последователя с наиболее низкой изопрофитой лидера представляет равновесие в модели Штакельберга (S_I или S_II).

 

Рис. 4. Равновесный выпуск в моделях Курно и Штакельберга

 

Из рис. 4 следует, что у фирмы, становящейся лидером, прибыль увеличивается по сравнению с той, которую она получала при конкуренции по модели Курно: лидер переходит на более низкую изопрофиту.

Можно доказать, что при  линейных функциях отраслевого спроса и общих затрат дуополистов в  модели Штакельберга рыночная цена будет  ниже, чем в модели Курно.

Следует рассмотреть случай, когда одна или обе фирмы считают, что конкурент будет вести  себя, как дуополист Курно. Предположим, фирма 1 полагает, что фирма 2 будет  реагировать соответственно кривой реакции Курно

                                           

.                                      (16)

Тогда предположительная  вариация будет равна

, (17)

Поэтому, используя рис. 9, получим

                     

,                 (18)

И кривая реакции фирмы 1 будет иметь следующий вид:

                                            

.                                      (19)

Тогда результаты для обеих  фирм будут зависеть от поведения  фирмы 2. Если фирма 2 пользуется кривой реакции Курно, как полагает фирма 1, то решением является равновесие Штакельберга для фирмы 1.

                                     

.                                 (20)

Здесь фирма 1 получает большую  прибыль, а фирма 2 – меньшую, чем  при равновесии Курно. Однако предположим, что фирма 2 не пользуется кривой реакции  Курно, а действует сама согласно кривой реакции Штакельберга, т.е. каждая фирма неправильно предполагает, что другая использует наивное допущение Курно. В результате получаем неравновесие Штакельберга

                                          

,                                        (21)

при котором обе фирмы  получают меньшую прибыль, чем при  равновесии Курно. Различные результаты проиллюстрированы на рис. 5., на котором  приведены кривые реакции (рис.2). кривые реакции соединяют точки, характеризующие максимум кривых равновесий прибыли для каждой фирмы. Кривые реакции пересекаются в точке равновесия Курно. Равновесия Штакельберга для фирмы 1 находится в точке касания кривой равной прибыли для фирмы 1 с кривой реакции второй фирмы; равновесие Штакельберга для фирмы 2 находится в точке, в которой кривая равной прибыли для фирмы 2 касается кривой реакции первой фирмы. Неравновесие Штакельберга лежит выше равновесия Курно.

Рис. 5. Различные решения для дуополии

 

Поскольку максимальную прибыль  на рынке гомогенного блага обеспечивает монопольная цена, то наибольшую прибыль  дуополисты (олигополисты) получат  в случае организации картеля - явного или тайного сговора об ограничении  рыночного предложения с целью поддержания монопольной цены.

Однако картельное соглашение не является равновесием Нэша, так как каждый участник картеля может повысить прибыль за счет увеличения своего выпуска, пока другие придерживаются соглашения. Вероятность нарушения картельного соглашения возрастает по мере увеличения числа его членов.

 

 

2.3 Модели конкурентных рынков с инновациями

 

Впервые, в рамках классических моделей Курно и Штакельберга, модели конкуренции фирм за использование  новой технологии или приобретение патентов были предложены в работах  J.Reinganum 1979-1882 гг. В последующих работах рассматривались: различные мотивы конкурентного и кооперативного поведения; ситуации с асимметрией информации; возможности выбора из нескольких инноваций; ex post и ex ante лицензирование; влияние коррупции на передачу технологии; конкуренция на нескольких рынках [4, 5]. Кроме того, игровой подход развивается в рассмотрении различных схем рефлексивного управления конкурентными процессами инновационного развития.