Задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И  ИНФОРМАТИКИ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТЧЁТ

о результатах выполнения Лабораторной работы по дисциплине

Экономико-математические методы и прикладные модели

Вариант 8

 

 

 

 

 

 

 

  Исполнитель:

                                                                 

     специальность                  

     группа                    

     № зачетной  книжки         

                        Преподаватель:

 

 

 

 

 

 

 

 

Уфа 2007 год

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

1. Задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

 

Небольшая фирма производит два  вида продукции: столы и стулья. Для  изготовления одного стула требуется 3 м древесины, а для изготовления одного стола – 7 м. На изготовление одного стула уходит 2 часа рабочего времени, а на изготовление стола – 8 часов. Каждый стул приносит 1 ден. ед. прибыли, а каждый стол – 3 ден. ед. Сколько стульев и сколько столов должна изготовить эта фирма для получения максимальной прибыли, если она располагает 200 м древесины и 400 часами рабочего времени?

 

Решение:

 

Сформулируем экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через Х₁ и Х₂ число продукции каждого типа (столы и стулья).

 

Целевая функция:

F(Х) =3X₁+X₂ àmax

 

Ресурсные ограничения:

7X₁+3X₂≤200 (ограничение по сырью)

8X₁+2X₂≤400 (ограничение по рабочему времени)

Х₁, Х₂≥0 (прямое ограничение)

 

1. В нашей задаче оптимальные значения (Х₁,Х₂) будут помещены в ячейках В2:С2, оптимальное значение целевой функции – в ячейке D3.
2. Введем исходные данные задачи:

 

 

3. Введем зависимость  для целевой функции:

• Поместим курсор в ячейку D3;
• Выберем на панели инструментов Мастер функцийà àМатематическиеàСУММПРОИЗВ;
• В строку Массив 1 введем $В$2:$С$2;
• В строку Массив 2 введем В3:С3.

 

4. Введем зависимости для ограничений:

• Скопируем ячейку D3;
• Вставим в ячейки D6 и D7;

 

 

5. Запустим команду Поиск решения:

• В строке меню выберем СервисàПоиск решения;
• В поле Установить целевую ячейку введем $D$3;
• Введем направление целевой функции: Максимальному значению;
• В поле Изменяя ячейки введем адреса искомых переменных: $В$2:$С$2;
• В диалоговом окне Добавление ограничений введем ограничения по ресурсам.

 

 

 

6. Введем параметры  для решения задачи линейного программирования:

• В диалоговом окне Поиск решения выберем Параметры;
• Установим флажки в окнах Линейная модель и Неотрицательные значения;

 

 

7. После выполнения  всех вышеуказанных действий  на экране появится окно Результаты поиска решении;.

• В окне Тип отчета выберем интересующий вид отчета;
• ОК.

 

 

 

Полученное решение  означает, что максимальный доход 86 ден.ед. фирма может получить при выпуске 29 столов. При этом сырье будет использоваться полностью, а из 400 часов рабочего времени будет использовано только 229.

2. Задача о назначениях

Мастер должен назначить  на 10 типовых операций 12 рабочих. Данные о времени, которое затрачивают рабочие на выполнение каждой операции, приведены ниже в таблице.

 

Операция   Рабочий	О1	О2	О3	О4	О5	О6	О7	О8	О9	О10
Р1	29	31	16	16	17	34	20	28	16	13
Р2	29	25	22	30	24	31	37	23	16	27
Р3	27	32	-	14	34	30	27	16	19	17
Р4	21	35	-	32	31	28	30	29	31	16
Р5	21	36	-	14	24	30	21	28	29	27
Р6	28	35	25	30	22	16	-	18	25	18
Р7	27	34	33	26	14	19	18	37	19	16
Р8	27	34	27	30	37	37	26	22	35	33
Р9	16	26	18	26	16	20	31	34	28	29
Р10	16	22	33	22	21	19	19	37	36	24
Р11	26	35	13	14	17	36	17	17	25	21
Р12	34	25	19	14	36	36	17	36	26	33

 

Сформулировать план назначений рабочих по операциям, при  котором суммарное время на выполнение работ будет минимальным.

 

Решение:

 

Сформулируем  экономико-математическую модель задачи.

Имеем следующие обозначения:

х_{ij -} назначение i-го работника на j-ю должность;

с_ij - время, которое затрачивают рабочие на выполнение каждой операции;

n – количество рабочих;

m – количество операций;

Целевая функция:

Ресурсные ограничения:

(условие назначения работника только на одну должность)

(условие заполнения вакантной  должности)

 

 

 

 

1. Создадим форму для решения задачи – матрицу назначения по должностям. Для этого выполним резервирование изменяемые ячейки: в блок B2:M13 введем 1.
2. Введем условие назначения работника только на одну должность:

• Поместим курсов в ячейку B14;

• На панели инструментов выберем знак « »;
• Выделим необходимые для суммирования ячейки B2:B13;
• ENTER;
• Аналогичные действия выполним для ячеек C14:К14.

3. Введем условие заполнения вакантной должности:

• Поместим курсов в ячейку A2;
• На панели инструментов выберем знак « »;
• Выделим необходимые для суммирования ячейки B2:К2;
• ENTER;
• Аналогичные действия выполним для ячеек A3:A13.

4. Введем исходные  данные 

В конкретном примере осуществляется ввод условной мощности работника (в ячейки A18:A29 вводится «1»), потребности в заполнении вакантной должности («1» - в ячейки B17:К17).

 

 

5. Введем зависимость для целевой функции:

• Поместим курсор в ячейку B31;
• Выберем на панели инструментов Мастер функцийà àМатематическиеàСУММПРОИЗВ;
• В строку Массив 1 введем B18:К29;
• В строку Массив 2 введем B2:К13;
• OK.

В поле ячейки B31 появится некоторое числовое значение, равное произведению «1» на производительность каждого работника на каждой операции.

6. Введем зависимости  из математической модели:

• СервисàПоиск решения;
• В поле Установить целевую ячейку введем $B$31;
• Введем направление целевой функции: Минимальному значению;
• В поле Изменяя ячейки введем блок ячеек: $B$2: $К$13;
• В диалоговом окне Добавление ограничений введем ограничения по ресурсам.

 

 

7. Введем параметры  для решения задачи линейного  программирования.

• В диалоговом окне Поиск решения выберем Параметры;
• Установим флажки в окнах Линейная модель и Неотрицательные значения;
• OK;
• Выполнить.

8. После выполнения всех вышеуказанных действий на экране появится окно Результаты поиска решения;

• В окне Тип отчета выберем интересующий вид отчета;
• ОК.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим схему распределения работников по операциям:

 

 

 

 

3. Транспортная задача

Необходимо решить транспортную задачу – минимизировать расходы  на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие  затраты на доставку одной единицы  продукции, объем заказа и количество продукции, хранящиеся на каждом складе.

Таблица тарифов на перевозку  продукции и объемов запасов  на складе и заказов:

 

Магазин   Склад	«Колбасы»	«Мясо»	«Мясные деликатесы»	«Дина»	Запасы на складе (ед. продукции)
Черкизово	1	0	0,5	2	45
Царицыно	3	1	4	1	50
Бородино	0	2,5	2	3	15
Вешняки	4	3	1,5	2	20
Объем заказа (ед. продукции)	30	40	20	25

 

Сформулируем экономико-математическую модель задачи.

Имеем следующие обозначения:

х_ij – объем поставки продукции от склада i к магазину j;

с_ij – затраты на перевозку продукции;

а_i – объем продукции на складе;

b_j – объем заказа

n –  количество магазинов

m – количество складов

 

 

Целевая функция:

F(X)=x₁₁+0.5x₁₃+2x₁₄+3x₂₁+2x₂₂+4x₂₃+x₂₄+2.5x₃₂+2x₃₃+3x₄₃+4x₄₁+3x₄₂+1.5x₄₃+

+2x₄₄àmin

 

Ограничения:

(условие реализации  мощностей поставщиков)

 

 

(условие удовлетворения  запросов потребителей)

(прямое ограничение)

 

x₁+0,5x₃+2x₄ ≤ 45    x₁+3x₂+4x₄ ≤ 30

3x₁+2x₂+4x₃+x₄ ≤ 50   2x₂+2,5x₃+3x₄ ≤ 40

2,5x₂+2x₃+3x₄ ≤ 15   0,5x₁+4x₂+2x₃+1,5x₄ ≤ 20

4x₁+3x₂+1,5x₃+2x₄ ≤ 20   2x₁+x₂+3x₃+2x₄ ≤ 25

 

1. Создадим форму для решения задачи – матрицу назначения по должностям. Для этого выполним резервирование изменяемые ячейки: в блок B2:Е5 введем 1.

2. Введем условие реализации  мощностей поставщиков:

• Поместим курсов в ячейку B6;
• На панели инструментов выберем знак « »;
• Выделим необходимые для суммирования ячейки B2:B5;
• Нажмем ENTER;
• Аналогичные действия выполним для ячеек C6:Е6.

3. Введем условие удовлетворения запросов потребителей:

• Поместим курсов в ячейку A2;
• На панели инструментов выберем знак « »;
• Выделим необходимые для суммирования ячейки B2:Е2;
• Нажмем ENTER;
• Аналогичные действия выполним для ячеек A3:A5.

4. Введем исходные  данные.

В конкретном примере  осуществляется ввод запасов продукции на складе (ячейки A9:A12), объемов заказов (ячейки B13:Е13), а также расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы (ячейки B9:Е13).

 

 

 

5. Введем зависимость для целевой функции:

• Поместим курсор в ячейку B15;
• Выберем на панели инструментов Мастер функцийà àМатематическиеàСУММПРОИЗВ;
• В строку Массив 1 введем B9:Е12;
• В строку Массив 2 введем B2:Е5;
• OK.

В поле ячейки B15 появится некоторое числовое значение, равное произведению единичных поставок на удельные коэффициенты по доставке продукции.

6. Введем зависимости  из математической модели:

• СервисàПоиск решения;
• В поле Установить целевую ячейку введем $B$15;
• Введем направление целевой функции: Минимальному значению;
• В поле Изменяя ячейки введем блок ячеек: $B$2: $Е$5;
• В диалоговом окне Добавление ограничений введем ограничения по ресурсам.

 

 

7. Введем параметры  для решения задачи линейного  программирования: