Корреляционно-регрессионный анализ сельскохозяйственных культур (на данных статистики Республики Казахстан)

     Отсюда  a=-62,3795377; b=2,260645466 è y=-62,379+2,2606x 

6. Проверка  адекватности модели регрессии

 

     Проверка  состоит в оценке трех параметров:

1. Проверка качества подбора теоретического уравнения проводится с использованием средней ошибки аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации регрессии определяется по формуле:

Аср= (∑Аi)/n

     Ошибка  аппроксимации в пределах 6-8% свидетельствует  о хорошем подборе модели к  исходным данным.

     Аср=2,69481/21=0,1284 *100%=12,84      → превышает пределы

2. Проверка качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы Н˚ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфак и критического Fтабл значений F –критерия Фишера. Fфак определяется из соотношения:

     

     Значение  F вычисляемое по формуле сравнивают с критическим значением. Если Fф>Fкр, то нулевая гипотеза о случайной природе зависимости отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность модели регрессии.

     

      Fтабл=4,32 < Fфакт=43,114 – модель надежна

     3)Для  оценки адекватности модели регрессии  рассчитывается t-критерий Стьюдента:

     t=

     Значение  t вычисляемое по формуле сравнивают с критическим значением. Если tф>tкр, то нулевая гипотеза о случайной природе зависимости отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность модели регрессии.

     

     tтабл=2.0796 < tфакт=6,57

     Уравнение регрессии является адекватным, т.е. полученное уравнение достоверно описывает количественную зависимость факторов у и х.

     Если  модель удовлетворяет всем требованиям  качества, то она может быть использована для прогнозирования или анализа  механизмов исследуемых процессов. Такая модель позволяет с высокой  долей надежности предсказать среднее  значение исследуемого экономического показателя на основе прогнозируемых или фиксируемых значений факторов, предвидеть вероятности отклонения конкретных значений изучаемой величины от предсказуемого по модели. Модель поможет  определить, на какие факторы, в каком  направлении и объеме следует  воздействовать, чтобы значение исследуемого показателя лежало в определенных числовых границах. 

     

7. Проверка  значимости параметров модели регрессии

 

     В линейной регрессии обычно оценивается  значимость не только уравнения в  целом, но и отдельных его параметров. Для этого по каждому параметру  определяется стандартная ошибка m_a и m_b:

              

     Подставляя  данные из нашей таблицы, получаем:

       
 

     Проверка  статистической значимости параметров модели регрессии по критерию Стьюдента  проводится по следующим формулам:

                                     

      Отсюда получаем:  
 

     Значение  t, вычисляемое по формуле, сравниваем с критическим значением: t_fact = 6,56 > t_kr = 2,07 è параметры а и b являются статистически значимыми и фактор х оказывает существенное влияние на у.

     Необходимо  выяснить, согласуются ли абсолютные значения параметров а и b. При это особенно важно соответствие знаков параметров.

     Вычислим  доверительные интервалы параметров регрессии:

1. Определим предельную ошибку для каждого параметра.

 
     

2. Вычисляем доверительные интервалы:

 

       
 
 
 

3. Параметры а и b находятся в интервалах:

 
 

     Поскольку параметр b имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные границы интервала не должны содержать противоречивых результатов, то есть положительные и отрицательные значения одновременно. В нашем случае параметр b находится между положительными интервалами, а значит, модель на этом не заканчивается. 

8. Прогнозирование значения зависимой  переменной у

 

     Полученные  уравнения регрессии находят практическое применение в прогностическом анализе. Прогноз получают путем постановки в регрессию с численно оцененными параметрами значений факторов.

     Прогнозное  значение Упрог определяется путем  подстановки в уравнение регрессии  соответствующего значения Хпл

     Средняя стандартная ошибка прогноза вычисляется  по формуле:

и доверительный  интервал прогноза

     При прогнозировании на основе уравнения  регрессии следует помнить, что  величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального  значения у, но и от точности прогноза значения фактора х. Его величина может задаваться на основе анализа  других  моделей, исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора.

Упрог 2011=-12,646

Упрог 2012=-10,385

     Доверительные интервалы на 2011:

     Таким образом, Упрог  будет находится  в интервале [-87,37;  62,03]

     Доверительные интервалы на 2012 год:

     Упрог за 2012 год будет находится в  этом промежутке [-84,55;   63,78] 

9. Регрессионный анализ в Excel

 

     Регрессионный анализ выполняется на компьютере с  помощью ППП Excel, анализ выполняется очень легко и быстро. Для него нужно выполнить следующие шаги:

1. В главном меню выбираем последовательно пункты:

Меню→Данные→Анализ  данных→Корреляция→ОК

2. Заполняем диалоговое окно ввода данных и параметров вывода

Входной интервал; выделить все столбцы, содержащие значение Х и У;

Выходной  интервал; выделить область пустой ячейки для вывода результатов.

Excel представит таблицу коэффициентов парной корреляции между У и Х.

	Столбец 1	Столбец 2
Столбец 1	1
Столбец 2	0,833130196	1

     Эта таблица показывает коэффициент  корреляции между У и Х                =0.833.

3. Для вычисления параметров уравнения регрессии используем инструмент анализа данных Регрессия

Алгоритм выполнения следующий: Меню→Данные→Анализ данных→Регрессия→ОК

Входной интервал У: выделить столбец содержащий значение У;

Входной интервал Х: выделить столбец содержащий значение Х;

Выходной  интервал: выделите область пустых ячеек для вывода результатов.

Остатки; установить флажок.

     Появились 3 таблицы.

1. Таблица регрессионной статистики

Регрессионная статистика
Множественный R	0,833130196
R-квадрат	0,694105923
Нормированный R-квадрат	0,678006235
Стандартная ошибка	24,75009609
Наблюдения	21

 

2. Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	26409,61451	26409,61451	43,11300389	2,75642E-06
Остаток	19	11638,77787	612,5672564
Итого	20	38048,39238

 

3. Таблица параметров уравнения регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-62,37902129	33,46615312	-1,863943581	0,077857757	-132,4244848	7,666442188
Переменная X 1	2,260640083	0,344292278	6,566049337	2,75642E-06	1,540028064	2,981252102

 

По результатам  запишем уравнение регрессии. У=-62,379+2,260х

Доверительные интервалы:

-132,425<а<7,666                                1,540<в<2,982 
 
 
 

Заключение 

     Проведя корреляционно-регрессионный анализ над моделью, мы выявили следующее:

– Количество собранного урожая зависит от размеров посевной площади, чем больше посевная площадь, тем больше урожай. Исходя из этого  у нас: посевная площадь - это факторный признак Х, урожайность –результативный признак У.

– В ходе исследования мы выявили, что теснота связи  этих факторов тесная и положительная, так как r=0,83313.

– Далее, построив график, мы увидели, что зависимость  урожайности (У) от посевной площади (Х) характеризуется линейной функцией у=а+вх. На графике видно что урожайность  имеет тенденцию роста.

– Затем, определяем параметры модели регрессии. Они  равны: а=-62,379 и в=2,260   →   отсюда уравнение регрессии имеет  вид: у=-62,379+2,260*х. Значение параметра  b говорит о том, что при увеличении площади посева на 1 гектар, урожайность повысится на 2,260 центнеров.

– Затем мы проверили  модель регрессии на адекватность при  помощи:

1. Средней ошибки аппроксимации:   А=12,84   →  превышает 6-8%.
2. F-критерия Фишера:  F=43.114   →   Fтабл<Fфакт 
3. t-критерий Стьюдента:   t= 6,567   →    tтабл< tфакт

     Отсюда  следует, что модель регрессии надежна  и уравнение регрессии является адекватным. Т. е. полученное уравнение  достоверно описывает количественную зависимость факторов у и х.

–  Для того чтобы проверить значимость параметров модели регрессии, мы определили стандартные  ошибки:  ,      

– Нашли статистическую значимость параметров модели регрессии:

, 

– Затем нашли доверительные интервалы параметров регрессии:  -132,425<а<7,667  и 1,540<в<2,982

– Мы также составили  прогноз значений зависимой переменной у на 2 года вперед

         

     Посмотрев на прогнозные значения, можно сделать  вывод, что через год, т.е. в 2011 году, урожайность сельскохозяйственных культур повысится в среднем  на 2 центнера. Так же и год спустя снова, урожайность повысится на 2 центнера. Значит, урожайность сельскохозяйственных культур имеет тенденцию к  росту. А следственно, с каждым годом  увеличивая количество собранного урожая на 2 центнера, дело придет к стабилизации, так как урожайность с.х. продукции  находится сейчас в убыточном  состоянии.