Шпаргалка по "Финансовой математике"

 Тогда

                                                                                              (2.51)

Нетрудно заметить, что  в обоих случаях компенсации  потерь от снижения покупательной способности  мы приходим к одной и той же формуле наращения (2.51). В ней первые два сомножителя в правой части отражают индексацию первоначальной суммы, если же множитель J_p отнести к

(1 + i)n, то мы получим корректировку ставки процента.

2.4.3. Измерение реальной ставки процента. На практике приходится решать и обратную задачу — находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех же соотношений между множителями наращения нетрудно вывести формулы, определявшие реальную ставку i по заданной (или объявленной) брутто-ставке r.

При начислении простых процентов  годовая реальная ставка процентов 

                                                                                       (2.52)

При начислении сложных процентов  реальная ставка процентов определяется следующим выражением:

                                                                 

              

 

17. 2.3.2. Связь дискретных и непрерывных процентных ставок.

Дискретные и непрерывные  процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивал соответствующие множители наращения

                                                     (2.27) 
Из записанного равенства следует, что

                                                     (2.28)

Откуда              

                                                                                                                 (2.29)

 

Задача 2.13. Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста?

Решение. Воспользуемся формулой (2.28):

т.е. эквивалентная сила роста  равна 13,976%.

16. Непрерывные проценты

2.3.1. Наращение и дисконтирование. Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле (2.13).

Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при  m → ∞ имеем

                                       (2.23)

Используя известный из математического  анализа второй замечательный предел, можно записать

где е — основание натуральных логарифмов.

Подставляя полученное выражение  в (2.23), окончательно получаем наращенную сумму в случае непрерывного начисления процентов по

ставке j:

                                                                        (2.24)

Для того чтобы отличать ставку (непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом δ. С учетом введенного обозначения равенство (2.24) принимает вид

                                                   (2.25);

Сила роста представляет собой  номинальную ставку процентов при        m → ∞

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

            

 

 

18. Консолидирование (объединение) задолженности

 

Общий метод решения подобных задач заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту  времени, приравнивается к сумме  платежей по новому обязательству, приведенных  к той же дате. Для краткосрочных  обязательств приведение обычно осуществляется на основе простых ставок, а для средне- и долгосрочных – с помощью сложных процентных ставок. В простых случаях можно обойтись без разработки и решения уравнения эквивалентности.

 

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи S1, S2,…, Sm со сроками n1, n2, …, nm заменяются одним платежом S0 со сроком n0. В этом случае возможны две постановки задачи: если задан срок n0, то нужно найти S0; и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа S0, то нужно найти срок n0 [10, с. 76].

 

19. Поток платежей, все члены которого положительные, а временные интервалы по-стоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом.

Финансовая  рента имеет следующие параметры: член ренты — величина каждого отдельного платежа, период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты — вре¬мя, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее послед¬него периода; процентная ставка — ставка, используемая при на¬ращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

 

20.21.

Виды финансовых рент. Классификация рент может быть произведена по различным признаками. Рассмотрим их.

В зависимости от продолжительности  периода ренты делят на годовые и p-срочные, где р — число выплат в году.

По числу начислений процентов  различают ренты с начислением 1 раз в году, т раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными  членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты. По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подложат безусловной выплате, например при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные, и бесконечные, или вечные. В качестве вечной ренты выступают, например, выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.

В зависимости  от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту времени ренты подразделяются на немедленные и отложенные, или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает. Ренты различают по моменту выплаты платежей.

Формулы для вычисления наращенной суммы постоянной ренты  постнумерандо

1. Начисления процентов ежегодно

           

             S – наращенная сумма ренты,

             i – сложная процентная ставка годовые,

            n – срок ренты,

            R – член ренты

2. Начисление процентов m раз в году

Здесь j номинальная ставка процентов

Здесь j – номинальная ставка процентов

3. Рента p – срочная (рента выплачивается 1 раз в году равными суммами, начисление процентов раз в конце года)

          

По времени  выплаты первого аннуитетного платежа различают:

• аннуитет постнумерандо — выплата осуществляется в конце первого периода,
• аннуитет пренумерандо — выплата осуществляется в начале первого периода.

 

23. Ренты могут иметь конечное число членов (ограниченные

ренты) и быть с бесконечным числом членов (вечные

ренты). Так, например, правительствами ряда стран выпускаются облигационные займы без ограничения срока погашения. Доходы по этим облигациям, выплачиваемые через определенные промежутки времени, являются членами вечной ренты.