Финансовая математика

Федеральное государственное  образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального  образования

«Финансовый университет при Правительстве  Российской Федерации»

(Финуниверситет)

Смоленский филиал Финуниверситета

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  дисциплине  «Финансовая математика»

Вариант №10

       

 

 

 

 

 

                                           Выполнил: студент  4 курса

                                                    факультета  ФиК

                                                    направления бакалавр экономики

                                                    группы 408

                                                    Лобанова Т.Н..

                                                    № л.д.11флд41460

                                           Проверила: Гусарова О.М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смоленск 2013г.

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

ЗАДАНИЕ 1

В таблице приведены  поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	43	54	64	41	45	58	71	43	49	62	74	45	54	66	79	48

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α₁ = 0,3; α₂ = 0,6; α₃ = 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r₁ = 0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

 

Для оценки начальных  значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

 

_{Для вычисления данного  уравнения строем график для первых 8 наблюдений, на котором с помощью линии тренда выводим линейное уравнение.}

 

Получим линейное уравнение  вида:

Для сопоставления фактических  данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.

Таблица 1

Сопоставление фактических и расчетных  значений по линейной модели

t	Y(t)	Yp(t)
1	43	49,42
2	54	50,26
3	64	51,11
4	41	51,95
5	45	52,80
6	58	53,64
7	71	54,49
8	43	55,33

 

Находим значения a(t) и b(t) по формуле:

a1= α_1* Y1/ F0+(1- α_{1 )*(} a0+ b0)

b1= α_3*( a1- a0)+(1- α_3)* b0

Для этого находим  значения F-3, F-2, F-1, F0 по формуле:

F-3 = 0,5*(Y(1)/ Y_p(1)+ Y(5)/ Y_p(5))

Аналогично находятся  остальные значения.

Находим параметры модели  F(t) по формуле:

F(t)= α_2* Y(t)/ a t +(1- α_{2 ) *}  F(0)

Построим модель Хольта-Уинтерса.                                                      

 Таблица 2

Модель Хольта-Уинтерса

Tаблица 2. Построение модели Хольта-Уинтерса
t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	Абс.погр.	Отн.погр.
						E(t)	в %
0		48,58	0,845	0,861
1	43,0	49,58	0,891	0,865	42,56	0,44	1,02
2	54,0	50,36	0,859	1,074	54,39	-0,39	0,72
3	64,0	50,89	0,758	1,266	65,43	-1,43	2,23
4	41,0	51,86	0,823	0,788	40,44	0,56	1,37
5	45,0	52,49	0,765	0,860	45,56	-0,56	1,24
6	58,0	53,47	0,830	1,081	57,21	0,79	1,36
7	71,0	54,84	0,992	1,283	68,72	2,28	3,21
8	43,0	55,46	0,881	0,780	43,97	-0,97	2,26
9	49,0	56,53	0,936	0,864	48,47	0,53	1,08
10	62,0	57,44	0,928	1,080	62,09	-0,09	0,15
11	74,0	58,16	0,866	1,277	74,88	-0,88	1,19
12	45,0	58,62	0,745	0,773	46,05	-1,05	2,33
13	54,0	60,30	1,025	0,883	51,31	2,69	4,98
14	66,0	61,26	1,007	1,078	66,23	-0,23	0,35
15	79,0	62,15	0,972	1,273	79,50	-0,50	0,63
16	48,0	62,83	0,881	0,767	48,78	-0,78	1,63

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного  ряда E(t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 3.

Таблица 3

Таблица 3 Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
t	Факт	Отклон	Точки		E(t-1)	E(t)-E(t-1)	графа 7 в	E(t)*E(t-1)	|E(t)|/Y(t)
	Y(t)	E(t)	поворота				квадрате		%
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	43,0	0,44	хххх	0,19	-	-	-	-	1,02
2	54,0	-0,39	0	0,15	0,44	-0,83	0,69	-0,17	0,72
3	64,0	-1,43	1	2,04	-0,39	-1,04	1,08	0,56	2,23
4	41,0	0,56	1	0,31	-1,43	1,99	3,96	-0,80	1,37
5	45,0	-0,56	1	0,31	0,56	-1,12	1,25	-0,31	1,24
6	58,0	0,79	0	0,62	-0,56	1,35	1,82	-0,44	1,36
7	71,0	2,28	1	5,20	0,79	1,49	2,22	1,80	3,21
8	43,0	-0,97	1	0,94	2,28	-3,25	10,56	-2,21	2,26
9	49,0	0,53	1	0,28	-0,97	1,50	2,25	-0,51	1,08
10	62,0	-0,09	0	0,01	0,53	-0,62	0,38	-0,05	0,15
11	74,0	-0,88	0	0,77	-0,09	-0,79	0,62	0,08	1,19
12	45,0	-1,05	1	1,10	-0,88	-0,17	0,03	0,92	2,33
13	54,0	2,69	1	7,24	-1,05	3,74	13,99	-2,82	4,98
14	66,0	-0,23	0	0,05	2,69	-2,92	8,53	-0,62	0,35
15	79,0	-0,50	0	0,25	-0,23	-0,27	0,07	0,12	0,63
16	48,0	-0,78	хххх	0,61	-0,50	-0,28	0,08	0,39	1,63
136	896	0	8	20,07			47,53	-4,06	25,75

 

Проверка  точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%.

25,75/16=1,61

 

Так как E(отн)=1,61 <   5% , то модель признается точной.

 

Проверка  условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка  случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 3 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3 табл. 3 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно  р=8.

Рассчитаем значение :

_{Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.}

Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,10 и d₂=1,37):

_{Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:}

_{Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е(t) являются независимыми.}

_{2) по  первому коэффициенту  автокорреляции  r(1):}

Если модуль рассчитанного  значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения < r_табл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень r_табл. = 0,32. Имеем: =0,20 < r_табл. = 0,32 – значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

,

где   - максимальное значение уровней ряда остатков ;

- минимальное значение уровней  ряда остатков  ;

S – среднее квадратическое отклонение.

 

E_max – E_min = 2,69 – (-1,43) = 4,13

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению  т.к. полученное значение RS (3,57) попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).

Таким образом, все условия  адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_p(t) на год.

Расчет  прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения и по формуле:

,

где  k – период упреждения;

- расчетное значение экономического  показателя для t-го периода;

- коэффициенты модели;

- значение коэффициента сезонности  того периода, для которого  рассчитывается экономический показатель;

- период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.

На нижеприведенном  рисунке проводится сопоставление  фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на  год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. 1. Сопоставление расчетных  и фактических данных

 

ЗАДАНИЕ 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	858	785	804
2	849	781	849
3	870	801	806
4	805	755	760
5	785	742	763
6	795	755	795
7	812	781	800
8	854	791	853
9	875	819	820
10	820	745	756