Методы и способы решения физических задач

     Сравнение  скоростей V₀ и V₁ показывает, что  V₁ < V₀, следовательно, чтобы изменить скорость спускаемого аппарата от V₀ до V₁, ему нужно сообщить скорость V в направлении, противоположном вектору скорости V₀, равную

                                           V =  V₀ - V₁ = 970 – 686 = 284 м/с

Для сообщения этой скорости  спускаемому аппарату, его нужно  развернуть двигательной установкой по движению корабля и включить её.

4.4. Метод отрицательных масс.

 

Этот метод используется при решении задач на определение  положения центра масс фигуры, имеющей  удалённые из неё участки. В этом случае  массу удалённого участка  считают отрицательной, а силу тяжести  этого участка (-mg) направляют вверх. В дальнейшем используют  условие равновесия тела, находящегося под действием системы параллельных сил. Здесь используется понятие момента силы.

Задача: Определить координату Х_С центра масс однородного цилиндра радиуса R, в котором высверлено сквозное цилиндрическое отверстие радиуса r, ось  которого параллельна оси цилиндра и находится от неё  на расстоянии d.

       рис.16

      Изобразим  поперечное сечение цилиндра  с высверленным в нём цилиндрическим  отверстием. Сечение проводим через  середину длины цилиндра. Центр  масс (точка С) (рис. 16) находится на оси Х, проходящей через точки О и О₁. После удаления цилиндрической части радиуса r он смещается вправо от оси основного цилиндра. На рисунке указываем силы тяжестей сплошного цилиндра  Mg и удалённого цилиндра (-mg). Под действием этих сил цилиндр остаётся в равновесии, если ось вращения проходит через центр масс. Условие равновесия тела, имеющего ось вращения заключается в равенстве нулю суммы моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси.  Условие равновесия будет иметь вид: Mg X_C  -mg(d + X_C) = 0.                                                   

Массы М и m определим по формулам: М=ρV=ρπR²L;          m=ρ π r²L,                                           

где ρ – плотность материала  цилиндра, L – длина цилиндра.

После подстановки масс в  условие равновесия и преобразований получаем выражение:                         R²X_C-r²(d–X_C)=0,                                         

Откуда получаем значение координаты центра масс Х_С: Х_С=d[r²/(R²+r²)].                                            

Задача: Определить координату центра масс алюминиевого цилиндра радиуса R, в котором сквозное высверленное цилиндрическое отверстие радиуса r залито свинцом. Расстояние между осями алюминиевого цилиндра и заполненного отверстия d.

рис.17

        Поскольку  плотность свинца больше плотности  алюминия, то центр масс (точка  С) такого цилиндра сместится  влево от оси основного цилиндра.  Масса высверленного алюминиевого  цилиндра m₁ считается   отрицательной,  поэтому  сила  тяжести (-m₁g) направлена вверх, а сила тяжести заполняющего это отверстие свинца m₂g направлена, как обычно, вниз (рис. 17). Массы М, m₁ и m₂ определим по формулам: М = ρ_AlπR²L;   m₁ = ρ_Alπr²L;    m₂=ρ_Pbπr²L.                 

Уравнение равновесия цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс, будет иметь вид:  m₂g(d–X_C)-m₁g(d–X_C)-MgX_C =0.                                    

После подстановки значений М, m₁ и m₂  в уравнение равновесия и преобразований получим выражение, определяющее координату центра масс данного цилиндра:                  X_C=dr²(ρ_Pb-ρ_Al)/[ρ_Al(R²-r²) + ρ_Pbr ²].                                   

4.5. Метод индукции.

 

        Этот  метод подобен методу математической индукции, с помощью которого устанавливается общая зависимость некоторых величин по их частным зависимостям.

Задача: Гоночный автомобиль («болид») движется равноускоренно из состояния покоя.  На  первых  десяти  метрах  его скорость  возрастает на 10 м/с. Определить возрастание  его скорости на тех же десяти метрах при прохождении от 990-го метра до 1000-го метра пути и сравнить с возрастанием на первых десяти метрах. Дать объяснение их значительному расхождению.

      При решении  задачи используем соотношение  между изменением скорости и  пройденным путём: V²-V₀²=2aS.                                                             

Скорость  автомобиля  после  прохождения  первого  десятиметрового  отрезка ( S = 10 м) определится соотношением: V₁²=V₀² + 2aS =0 +2aS =2aS;                                 

после прохождения второго: V₂²= V₁² + 2aS=2aS+2aS=4aS=2V₁²;                      

после прохождения третьего: V₃²=V₂² +2aS=4aS+2aS = 6aS = 3V₁² ;                   

Следовательно,  между  обеими частями трех последних равенств просматривается зависимость вида:     V_n²= nV₁²,                                                            

откуда связь между  скоростью при прохождении n-го десятиметрового  отрезка и первого выразится соотношением: V_n=(n)^1/2V₁. Используя это соотношение определим скорость после прохождения 99 -го  и 100 -го десятиметровых отрезков, соответственно, V₉₉=(99)^1/2V₁, V₁₀₀=(100)^1/2V₁;                                            

тогда возрастание скорости на десятиметровом отрезке  между 990 м и 1000 м пути составит: Δ V_{(99 –100)}=[(100)^1/2–(99)^1/2]V₁≈0,5(м/с).                             

На первых десяти метрах скорость возросла на 10 м/с, а на сотом  таком отрезке пути  всего на 0,5 м/с. Это потому, что при прохождении  сотого отрезка длиной в 10 м скорость автомобиля составляет около 100 м/с (360 км/ч), и «болид» проскакивает эти  десять метров за очень малый промежуток времени, в течение которого и  скорость увеличивается незначительно. Так как при равноускоренном движении ΔV = a Δt, то время проскакивания «болидом» этих десяти метров составит Δt = ΔV_{(99 – 100)} /a.

Ускорение можно определить как: а = V₁²/ 2S = 10²/ (2 ^.10) = 5 м/с²,

тогда                                  Δt = 0,5 м/с / 5 м/с² = 0,1 с.

Задача: Поршневым вакуумным насосом ( рис.22) с рабочей камерой объёмом ΔV откачивают воздух из сосуда объёмом V от давления P₀ до давления Р_n (P_n< P₀). Определить  число n ходов поршня, которое должно быть совершено при этом. Процесс откачки считать изотермическим.

рис.18

      Вакуумный  насос – это устройство, которое  при работе создаёт в объёме  своей рабочей камеры ΔV пониженное давление (порядка 10 ^-3 – 10^-4 мм рт. ст.) Поэтому при подключении насоса к откачиваемому объёму общий объём становится равным V + ΔV, газ расширяется, заполняя оба объёма, и понижает своё давление. Тот газ, который заполняет рабочую камеру насоса, отсекается насосом и выталкивается в атмосферу. «Пустой» объём рабочей камеры вновь подключается к откачиваемому объёму. Происходит очередное расширение газа, приводящее к очередному понижению давления, и т. д. Так как процесс считается изотермическим, то, используя закон Бойля – Мариотта, можно для начального состояния газа в откачиваемом объёме и состояния газа после первого подключения рабочей камеры насоса записать уравнение:

Р₀V=P₁(V+ΔV),                     

из которого определим  давление  в сосуде после первого  хода поршня насоса

Р₁=Р₀V/(V+ΔV).                  

Тогда после второго подключения можно записать уравнение:Р₁V=P₂(V+ΔV),                    

откуда определим давление в сосуде после второго хода поршня насоса:

                                      Р₂  =  Р₁V / (V+ΔV)=Р₀[V/(V+ΔV)]².                        

Аналогично для третьего хода поршня вакуумного насоса:Р₂ V = P₃ (V + ΔV ),

                                     P₃ =  Р₂ V / (V+ΔV)=Р₀[V/(V+ΔV)]³.                        

Из анализа уравнений  просматривается зависимость, связывающая давление в сосуде после n-го хода поршня P_n  c первоначальным давлением Р₀:

                                     P_n=Р₀[V/(V+ΔV )]ⁿ.                                                    

Для нахождения числа ходов  поршня n логарифмируем уравнение:

  lg P_n = lg P₀+nlg[V/(V+ΔV )], откуда n = lg (P_n/P₀)/lg[V/(V+ΔV)].                                       

При достижении в откачиваемом объёме давления равного давлению в  рабочей камере насоса (10 ^-3 – 10 ^-4 мм рт.ст.) процесс откачки прекращается и насос лишь поддерживает достигнутый вакуум.

4.6. Методы расчёта резисторных схем постоянного тока.

4.6.1. Расчёт эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей.

Линейные бесконечные  цепи, как правило, симметричны и  во многих случаях содержат одинаковые повторяющиеся элементы, состоящие  из  резисторов. Расчёт сводится к  определению эквивалентного сопротивления, равного сопротивлению всей цепи.

Задача: Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепи (рис. 19), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

рис.19

рис.20

Для определения эквивалентного сопротивления цепи выделим общий  элемент, который бесконечно повторяется. Очевидно, что если отделить его  от цепи, то общее сопротивление  цепи не изменится, т.к. число таких  элементов бесконечно. Выделив повторяющийся  элемент цепи и заменив сопротивление  остальной цепи искомым сопротивлением R_X, получим эквивалентную  схему (рис. 20), сопротивление которой определим по формуле

R_X = 2R + RR_X/ ( R + R_X), или R_X^{2 –} 2RR_X – 2R² = 0.                                        

Решив это квадратное уравнение, получаем значение эквивалентного сопротивления    R_X = R (1 + 3^1/2).                                                

Задача: Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепи (рис.21,а), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

рис.21

Применим такой же приём, но с другим повторяющимся элементом  цепи (рис. 21,б).      R_X =(2R+R_X)R/[(2R+R_X) +R] = (2R+R_X)R/(3R + R_X)

или    R_X²+2RR_X–2R²=0.                                    

Решив это квадратное уравнение, получим значение эквивалентного сопротивления  данной бесконечной цепи: R_X=R(3^1/2-1).                                        

4.6.2.  Шаговый (рекуррентный) метод расчёта эквивалентного сопротивления электрической цепи.

 

        Данный  метод удобен в том случае, когда схема представляет собой  некоторое число повторяющихся  структурных элементов. Этот метод  основан на том, что результат  первого действия (шага) используется  во втором, второй – в третьем  и т.д. Число шагов зависит  от числа повторяющихся структурных  элементов.

Задача: Найти сопротивление цепи, изображённой на рис. 22.

 рис. 22

Для решения задачи изобразим  схему цепи в более удобном  для расчётов и наглядном виде (рис.23а). Теперь видно, что цепь представляет собой три вложенных друг в друга групп резисторов, соединённых параллельно. Начинают пошаговое определение эквивалентных сопротивлений с самых внутренних элементов. Заменим резисторы R₄ , R₅ , R₆ резистором R^’, величину которого определим по формуле:    R^’=R₄+R₅R₆ /(R₅ + R₆)                         

рис.23

В результате замены получим  новую схему цепи (рис. 23, б). Аналогично рассчитываем эквивалентное сопротивление    резисторов R₂, R₃ и R^’:

                                         R^’’=R₂+R^’R₃/(R^’+R₃).                                                

В итоге получаем простую  схему (рис. 23,в), позволяющую определить сопротивление всей цепи R_общ=R^’’R₁/(R^’’+  R₁).                                               

Задача: Найти сопротивление цепи АВ, изображённой на рис. 24

рис.24

Расчёт эквивалентного сопротивления  цепи АВ начинаем слева. Эквивалентное  сопротивление участка цепи АС равно  R, т. к. здесь включены параллельно два одинаковых сопротивления 2R. Участок АС соединён последовательно с сопротивлением R. Сопротивление верхней ветви участка АD равно 2R. Т.к. эта ветвь параллельна сопротивлению 2R, то общее сопротивление участка цепи  АD равно R. Участок цепи AD соединён последовательно с участком  DB, сопротивление которого равно R, поэтому эквивалентное сопротивление верхней ветви цепи АВ равно 2R. Поскольку это сопротивление параллельно сопротивлению 2R нижней ветви цепи АВ, то общее сопротивление цепи АВ равно R.