Магнитное поле

Тема 14 Магнитное поле

 

Проводники с током взаимодействуют друг с другом, будучи расположены на некотором расстоянии. Эти взаимодействия происходят через посредство магнитного поля. Магнитное поле представляет собой вид материн, посредством которого осуществляется взаимодействие движущихся электрических зарядов. Опыты показали, что магнитное поле сопутствует любому переносу зарядов в рассматриваемой системе координат: току в проводниках, жидкостях и газах, движению электронов или ионов в вакууме, перемещению заряженного тела. Вокруг покоящихся в данной системе координат зарядов магнитное поле не обнаруживается.

Обнаружить магнитное поле можно по его силовому действию на токи, движущиеся заряженные частицы, намагниченные тела (магнитную стрелку). Для изучения магнитного поля можно взять малый замкнутый пробный контур с током и помещать его в исследуемые точки ноля. Магнитное поле ориентирует такой свободный контур (как и магнитную стрелку) определенным образом. Опыт показывает, что максимальное значение момента сил Мт, поворачивающего пробный контур, пропорционально площади 5 контура и силе тока / в нем:

 

Величина рт=IS является модулем так называемого магнитного момента контура с током. Сам же магнитный момент рт представляет собой вектор:

                                                                                                                                                                              (1)

где n — единичный вектор нормали к плоскости контура, связанный с направлением тока I в контуре (рис. 1) правилом правого винта.

 

Рис. 1                                                               Рис.2

 

 

 

                        Рис.3                                                 Рис.4

 

Отношение в данной точке поля остается постоянным и является характеристикой ноля, называемой магнитной индукцией. Как показано на рисунке 2, магнитная индукция В — вектор, направление которого совпадает с направлением нормали к плоскости пробного контура с током в положении его устойчивого равновесия (или с направлением северного полюса N магнитной стрелки). Вектор магнитной индукции В — основная силовая характеристика магнитного поля (аналогичная вектору напряженности Е для электрического поля). Единицей магнитной индукции является тесла  (Тл):

 

Для магнитных полей справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция поля В, создаваемого несколькими токами, равна векторной сумме индукций Вi, полей каждого из токов в отдельности:

 

Магнитное поле изображают при помощи линий магнитной индукции, которые строятся по тем же правилам, что и линии электрического ноля. Линии магнитной индукции всегда замкнуты, они не имеют начала и конца. Такие поля называются вихревыми. Характер линий индукции магнитного поля прямого тока показан на рисунке 3, одиночного витка с током — на рисунке 4, соленоида — на рисунке 5 и постоянного магнита — на рисунке 6.

 

Два полюса магнита – северный N и южный S – всегда сосуществуют вместе. Сколь удобное мелкое дробление магнита не приводит к разделению его полюсов; они существуют только парами. Соленоиду или витку с током, как и постоянному магниту, можно приписать магнитные полюсы и представить их как магнитный диполь, характеризуемый вектором магнитного момента рм. Любой магнитный диполь является носителем собственного магнитного поля.

Индукция В (при прочих одинаковых условиях) зависит от свойств среды. Индукция В в среде (веществе) и индукция В0 в вакууме связаны соотношением

где

                                                                                                                                                         (2)

Безразмерная величина μ характеризует магнитный свойства среды и называется магнитной проницаемостью среды.

Наряду с индукцией В существует другая характеристика магнитного поля – напряженность Н, связана с магнитной индукции В соотношением

                                                                                      B=μ0μH,                                                                                  (3)

 

где μ0 – магнитная постоянная, зависящая от выбора единиц. В международной системе единиц

 

μ0=4π·10-7 Н/А2.

 

Векторы В и Н в изотропной среде имеют одинаковые направление. Величина Н не зависит от свойств среды и определяется только значениями и расположением токов, создающих магнитное поле. Единица напряженности Н – 1А/м.

Однородное магнитное поле (В=const) можно получить внутри длинного соленоида с током. Его напряженность определяется силой тока I в соленоиде, числом витков N и длиной l соленоида:

                                                                                                                                                                  (4)                    

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) Ф через произвольную площадку ∆S однородном магнитном поле равен:

 

                                                                                         Ф=B·∆S·cosα = B·∆S┴                                                                                                     (5)

 

где α — угол между направлением нормали п к поверхности  ∆S  и вектором магнитной индукции В, ∆S┴ - проекция площадки на плоскость,  нормальную к линиям индукции (Рис.7). Магнитный поток Ф характеризуется числом линии индукции, пронизывающих площадку ∆S┴ (и одновременно ∆S). Единица магнитного потока – вебер (ВБ).

 

Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле постоянных токов различной формы изучилось французскими ученными Ж.Био (1774-1862) и Ф.Саваром (1791-1841) Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А  (рис.8) индукция поля dВ, записывается в виде

 

                                                                                                                                               (6)

 

где dl – вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, г – радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора г. Направление dВ перпендикулярно dl и r, т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может бить найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dВ. если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dВ определяется выражением

                                         

                                                                                                                                                     (7)

 

Рис. 8                где α – угол между векторами dl и r.

 

1. Магнитное поле прямого тока – тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины

(Рис.9). В произвольной точке А, удаленный от оси проводника на расстоянии R, векторы dВ от всех элементов

тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dВ можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол α (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис.9 следует, что   

 

 

                                                          

 

                                                

 

 

Рис. 9            (радиус дуги СD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (7), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

 

                                                                                                                                                                  (8)

 

Так как угол α для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до π, то, согласно принципу суперпозиции и (8),

 

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

 

                                                                                                                                                             (9)

 

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (Рис.10).

Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления – вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dВ можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sinα=1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то согласно (7), 

 

Тогда

 

Следовательно, магнитная индукция поля в цетре кругового проводника с током

 

.

 

 

Закон Ампера. Действие магнитного поля на ток. Рамка с током в магнитном поле.

 

Ампер на основе опытов (1820 г.) установил, что на отрезок проводника длиной ∆l с током I со стороны однородного магнитного поля, индукция которого В, действует так называемая сила Ампера:

                                                                                               FА=IB∆lsinα ,                                                                       (10)

где α — угол между направлением тока в проводнике и вектором индукции В. Формула (6) выражает закон Ампера. Направление силы Ампера можно найти но правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы четыре пальца были направлены по току, а нормальная к проводнику составляющая вектора В входила в ладонь, то отогнутый большой палец укажет направление силы FА, Сила Ампера перпендикулярна плоскости, в которой расположены вектор В и ток I, поэтому она всегда перпендикулярна и проводнику с током.

Для проводника сложной формы можно определить силы, действующие на отдельные элементы тока, а потом векторно их просуммировать и найти результирующую силу.

Силы Ампера не являются центральными, у них нет силового центра, как у гравитационных или кулоновских сил.

  На основе закона Ампера можно определить силы, действующие, например, на прямоугольную рамку с током I в однородном магнитном поле с индукцией В (рис. 11). Силы, действующие на стороны

 аЬ и сd, уравновешивают друг друга. На стороны bc и ad действуют равные по модулю силы:

│FА1│=│FА2│=IBr,

 

где r=│bc│=│ad│. Они образуют пару сил с плечом

 

∆=l sinφ,

      где φ – угол между направлениями векторами В и нормали n (рис.12).

   

             Учитывая, что площадь рамки равна S=lr и ее магнитный момент рт =IS, получим для момента действующей на рамку пары сил следующее выражение:

 

М  =IBlrsinφ = ртBsinφ.                                                                                                        (11)

 

При φ= 0 момент М этой пары сил равен нулю. Под действием магнитного поля рамка с током ориентируется так, чтобы вектор ее магнитного момента рm стал параллелен вектору В. Это устойчивое положение равновесия рамки, соответствующее минимуму ее энергии в магнитном ноле. При этом положении рамки силы Ампера только растягивают ее. Выражение (11) справедливо для замкнутого витка любой формы.

Ориентирующее действие магнитного поля на рамку с током лежит в основе устройства многих электроизмерительных приборов. Поясним принцип действия прибора магнитоэлектрической системы. В приборах этого типа легкая подвижная проволочная рамка Р,укрепленная на оси, располагается в магнитном поле постоянного магнита (рис. 13). При прохождении измеряемого тока через рамку возникает момент сил, который стремится повернуть ее в равновесное положение и при этом закручивает спиральную пружинку П. Когда вращающий момент уравновесится противодействующим моментом пружинки, рамка останавливается и связанная с ней стрелка дает показания по шкале. С ростом тока равновесие достигается при больших углах закручивания и показания прибора увеличиваются. Магнитоэлектрические приборы (гальванометры, вольтметры, амперметры) используются для измерений в цепях постоянного тока.

 

 

Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле

 

Действие сил Ампера на проводник с током означает, что на каждую из заряженных частиц, участвующих в переносе заряда, также  действует некоторая сила fл со стороны магнитного поля. Выражение для этой силы можно найти, взяв отношение силы Ампера, действующей на проводник с током, к числу N носителей заряда в нем: