Колебательный контур

Колебательный контур

Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания

Резонансная частота контура определяется так называемой формулой Томсона:

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения  . Энергия, запасённая в конденсаторе составляет

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечёт ток  , что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС)самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора  . Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

, где   — индуктивность катушки,   — максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения  .

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

В общем, описанные выше процессы в параллельном колебательном контуре называются резонанс токов, что означает, что через индуктивность и ёмкость протекают токи, больше тока проходящего через весь контур, причем эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Стоит также заметить, что сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличие от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром.

Стоит заметить, что помимо простого колебательного контура, есть ещё колебательные контуры первого, второго и третьего рода, что учитывают потери и имеют другие особенности.

Математическое описание процессов

Напряжение, возникающее в катушке при изменении протекающего тока равно

Аналогично для тока, вызванного изменением напряжения на конденсаторе:

Поскольку всё возникающее в катушке напряжение падает на конденсаторе, то  , а ток, вызванный конденсатором проходит через катушку, то  .Дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое, получаем

Это уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой   (иначе она называется собственной частотой гармонического осциллятора)

Решением такого уравнения является

где   — некая постоянная, называемая амплитудой колебаний,   — также некоторая постоянная, называемая начальной фазой. И, например, при начальных условиях   решение сведётся к

Решение может быть записано также в виде

где   и   — некоторые константы, которые связаны с амплитудой   и фазой   следующими отношениями

Комплексное сопротивление (импеданс) колебательного контура

Колебательный контур может быть рассмотрен как двухполюсник, представляющий собой параллельное включение конденсатора и катушки индуктивности.Комплексное сопротивление такого двухполюсника можно записать как

где i — мнимая единица.

Для такого двухполюсника может быть определена т. н. характеристическая частота (или резонансная частота), когда импеданс колебательного контура стремится к бесконечности (знаменатель дроби стремится к нулю).

Эта частота равна

и совпадает по значению с собственной частотой колебательного контура.

Из этого уравнения следует, что на одной и той же частоте может работать множество контуров с разными величинами L и C, но с одинаковым произведением LC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вынужденные электрические колебания

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодическое воздействие. Рассмотрим этот вопрос кратко, используя аналогию с механическими колебаниями.

 

      К контуру, изображенному на рис. 4.6, подадим переменное напряжение U:

.

(4.4.1)

 

Рис. 4.6

 

      Тогда уравнение примет вид:

.

(4.4.2)

 

 

      Это уравнение вынужденных электрических колебаний, которое совпадает с аналогичным уравнением механических колебаний. Его решение имеет вид:

,

(4.4.3)

 

 

      где

 .

 

      Величина    называется полным сопротивлением цепи или импедансом (от лат. impedio – препятствую). Импеданс представляет комплексное сопротивление для гармонических процессов   , где R – активное сопротивление, отвечающее за потерю мощности в цепи, X  – реактивное сопротивление, определяющее величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω.

 .

Рис. 4.7

 

      На рис. 4.7  изображены идеальные элементы цепи и соответствующие им импедансы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Резонансные кривые

Резонанс напряжений

 

      При последовательном соединении R, L, С, в контуре (рис. 4.6), когда   , – наблюдается резонанс. При этом угол сдвига фаз между током и напряжением обращается в нуль (φ =0).

 

      Резонансная частота при напряжении на конденсаторе UС равна:

    и     ,

 

      тогда   , а UС и UL одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Такой вид резонанса называется резонансом напряжения или последовательным резонансом.

 

      Резонансные кривые для напряжения U изображены на рис. 4.8. Они сходны с резонансными кривыми для ускорения a при механических колебаниях (рис. 3.4).

Рис. 4.8

 .

 

      Таким образом, при последовательном резонансе, на ёмкости можно получить усиление напряжения с амплитудой   , в узком диапазоне частот. Этот эффект широко используется в различных усилительных устройствах.

Резонанс токов

 

      В цепях переменного тока, содержащих параллельно включенные ёмкость и индуктивность (рис. 4.9), наблюдается другой тип резонанса.

Рис. 4.9

 

      Поскольку в таком контуре сопротивлением R можно пренебречь (R = 0), то выражение для тока через емкость I1 примет вид:

,

(4.4.6)

 

 

      где        ;       ,      т.к.       ,    а 

 

      Аналогично для тока через индуктивность (при R = 0,   ):

,

(4.4.7)

 

 

      где      ;            ,     т.к.       ,   а 

 

      Из сравнения (4.4.6) и (4.4.7) вытекает, что разность фаз в ветвях цепи    ,  т.е. токи противоположны по фазе.

.

(4.4.8)

 

 

      Если   , то    и   .

 

      Резонансные кривые для тока изображены на рис. 4.10. 0ни соответствуют резонансным кривым для скорости при механических колебаниях.

Рис. 4.10

 

      Явление резкого увеличения амплитуды тока во внешней цепи в данном случае, при приближении частоты приложенного напряжения ω к ωрез, называется резонансом токов  илипараллельным резонансом. (Используется в приемниках, резонансных усилителях).