Колебания. Вибрация. Волны

Колебания, вибрация и устойчивость движения.

Для надежной работы машин, летательных аппаратов и других объектов техники очень важно обеспечить их устойчивость, в частности устойчивость общего колебательного процесса и вибрации.

В процессе работы технических объектов нередко возникают вредные и опасные явления, порождаемые неустойчивостью движения.

В механике различают устойчивые и неустойчивые движения. Что означает устойчивость движущегося или колеблющегося объекта?

Известно, что то или иное движение не происходит в иде¬альных условиях. Всякое движение системы существенно зависит от начальных условий — положения и скоростей в начальный момент. Практически всегда эти величины подвергаются случайным возмущениям, т. е. таким воздействиям со стороны, которые в большей или меньшей степени их искажают (для некоторого момента времени) и создают большее или меньшее искажение последующего движения. Движение, измененное этим искажением, называют возмущенным в отличие от идеального, называемого невозмущенным.

Устойчивым называют такое невозмущенное движение, которое, несмотря на возникшее в нем возмущение, в конечном счете не претерпевает больших искажений с течением времени — для каждого заданного значения изменения начальных условий всегда можно предвычислить и указать те границы, за которые не выйдет отклонение возмущенного движения от невозмущепного или отклонение системы от положения равновесия.

Если еще при этом с течением времени возмущенное движение будет неограниченно приближаться к невозмущенному, т. е. если отклонения в конечном счете затухнут, то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым.

Неустойчивым называют такое невозмущенное движение, для которого даже при малых возмущениях нельзя гарантировать малое искажение движения в последующем — система способна неограниченно уходить от состояния идеального движения или от положения равновесия.

Существуют различные теоретические формулировки понятия устойчивости движения. Приведенная здесь отражает концепцию устойчивости движения, данную русским ученым А. М. Ляпуновым. Она наиболее общая и строгая, поэтому считается общепризнанной.

Если говорить простыми словами, то устойчивость есть способность движения как процесса длительно сохраняться, а неустойчивость, наоборот, есть свойство, приводящее к «разрушению» процесса. В некоторых случаях неустойчивость может воспрепятствовать возникновению некоторых движений; в других — неустойчивое движение, возникнув, не способно как процесс длительно сохрани гьси при этом процесс «разрушения» движения влечет за собой разрушение самой системы.

Какое же отношение имеет устойчивость движения к колебаниям и вибрации?

В механике понятие устойчивости охватывает более широкий класс явлений, чем колебания и вибрация. Но во-первых, сами колебательные движения могут бить устойчивыми или неустойчивыми (т. е. затухающими или раскачивающимися), а потому должны быть проверяемы с этой точки зрения. А во-вторых, проверка устойчивости любого движения часто сводится к проверке устойчивости колебаний точки или системы относительно некоторого невозмущенного движения или относительно положения равновесия. Чаще всего исследуется устойчивость таких колебательных систем, в которых присутствуют, с одной стороны, факторы, способствующие поглощению колебательной энергии (демпфированию), а с другой — факторы, способствующие раскачке системы.

Большой класс явлений устойчивости связан с линейными системами, теоретический анализ которых наиболее прост.

Вкратце расскажем о методе проверки линейной системы на устойчивость. Если система определяется некоторыми параметрами, от которых зависит устойчивость, то эти параметры принимаются за координаты точки в пространстве, называемом «пространством параметров». Состояние системы, соответствующее фиксированным значениям параметров, следовательно, изображается точкой в указанном пространстве. При изучении устойчивости значения этих параметров варьируют, доведя их до таких величин, которые в соответствии с известным критерием устойчивости будут отвечать состоянию системы на пределе устойчивости, соответствующему переходу от состояния затухания к состоянию раскачки. Если параметров два, то в предельном состоянии при изменении параметров точка будет описывать в плоскости кривую — границу, разделяющую плоскость на области устойчивого и неустойчивого движения. Если параметров три, то границей устойчивости будет поверхность, разделяющая пространство на области устойчивого и неустойчивого движения. При большем числе параметров можно строить сечения пространства плоскостями и рассматривать проекции границы устойчивости соответственно каждой плоскости, т. е. по двум параметрам.

Положение точки по одну или по другую сторону от границы позволяет судить о том, устойчиво движение или нет.

А

Если система нелинейна, то в ее математическом описании переменным, характеризующим движение, и их производным сообщаются небольшие возмущения (вариации), и тогда математическое описание изменения этих вариаций оказывается линейным, позволяющим применить критерий

для линейных систем. Если по этому критерию система устойчива, т. е. если вариации способны во времени затухать, то существующая нелинейность в системе не нарушит эту устойчивость, найденную как для линейной, или, как говорят, по первому приближению. Но если затухания нет, то нелинейность может либо способствовать устойчивости, либо породить неустойчивость.

Поэтому так сложно анализировать нелинейные системы на границе устойчивости, где соответствующая линейная система не имеет ни затухания, ни факторов ее раскачки. И тогда выявляется различие между безопасной и опасной границами устойчивости. Причем в первой из них существующая хотя и малая нелинейность способна привести к затуханию, а во второй к раскачке системы. Анализ поведения нелинейной системы на границе устойчивости — задача не простая.

Один из примеров потери устойчивости — поведение гибкого вала машины на так называемой критической скорости. Если частота вращения (угловая скорость) вала совпадает с его собственной частотой, то движение становится неустойчивым — вал под действием несбалансированных сил начинает раскачиваться и может разрушиться. Поэтому конструкторы, создающие реальную машину с гибким вращающимся валом, заботятся о том, чтобы вал не попадал в критическую зону, т. е. чтобы частота его вращения была достаточно, как принято говорить, отстроена от критической скорости. Иногда вал имеет не одну критическую скорость, что создает дополнительные заботы. Критические скорости играют важную роль в турбиностроении.

Приведем примеры определения областей устойчивости колебаний гибкого вала. На рисунке 36 изображен гибкий вал с диском посередине.

 

 

 

 

 

 

Рассчитывая устойчивость, необходимо учитывать силы вращ сопротивления, вызванные,во- первых, внутренним трением в материале вала, а во-вторых, внешним трением между валом и неподвижной средой, в частности подшипниками. Трение в материале в некоторых схемах принимается пропорциональным скорости деформирования, связанной Рисунке 36 со скоростью перемещений 

 

это будет простая пропорциональность, выражаемая коэффициентом k, а в другом, кроме того, еще и обратная пропорциональность частоте колебаний, коэффициент . Трение между валом и внешней средой принимается пропорциональным скорости перемещения вала относительно неподвижного пространства, соответствующий коэффициент обозначается через к.

Эти гипотезы позволяют получить для вала круглого сечения две области устойчивости в плоскости параметров: а) отношения частоты вращения (угловой скорости) к собственной частоте, т. е. , и б) отношения коэффициента я внешнего трения к коэффициенту k внутреннего трения. Причем в первом варианте принята простая пропорциональность между силой сопротивления и скоростью (рисунке 37), а во втором для коэффициента трения принята обратная пропорциональность частоте колебаний (рисунке 38). В результате при вал всегда устойчив, а при вал устойчив при ИЛИ .

Области устойчивости заштрихованы.

Теоретически внутреннее трение при скоростях выше собственной частоты способствует раскачке вала; внешнее же трение на любой угловой скорости стабилизирует движение.

Рассмотрим аналогичную схему вала, поперечное сечение которого не круговое, а такое, которое создает неодинаковые упругие свойства при изгибе в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Такого рода валы встречаются в технике. В частности, длинный гибкий ротор турбогенератора (рисунок 39). Такое сечение обусловливает различие в гибкости горизонтально лежащего ротора, изгибаемого в вертикальном и горизонтальном направлениях. 

Рисунок 40

 

При изгибе вала с диском в середине и при поперечном сечении вала, которое условно можно считать эллиптическим, его собственная частота имеет два значения:

 

где и — коэффициенты жесткости на изгиб вала при действии силы посередине, причем первый в направлении наименьшей жесткости, а второй в направлении наибольшей жесткости.

Как показывают расчеты и опыт, если значения частоты вращения лежат между ю, и (о2, движение вала неустойчиво. С учетом внешнего и внутреннего трения (действующего пропорционально скорости деформирования) в области параметров и (рисунке 40) вырисовываются две зоны неустойчивости: одна вертикальная в промежутке между coi и со2, ограниченная сверху, другая по типу области неустойчивости для вала с круговым сечением, изображенной на рисунке 37.

Заметим, что при , т. е. при отсутствии внешнего трения, вертикальная полоса неустойчивости простирается в бесконечность.

Какое же значение имеет устойчивость колебаний и вибрации?

Неустойчивые процессы колебаний или вибрации вредны тем, что приводят к раскачке и неограниченным перемещениям элементов системы — элементов деталей машин, приборов, сооружений. Процесс неустойчивости, т. е. процесс разрушения движения,— процесс разрушительный для конструкций, и его нельзя допускать.

Если процесс колебаний применяется в вибромашине для технологического процесса, то и в этом случае необходима устойчивость, периодическая повторяемость движений, так как неустойчивость и разрушение движения означали бы разрушение технологического процесса.

Наконец, происходящие в природе биологические процессы колебаний целиком держатся на устойчивости, иначе они не могли бы существовать и перманентно выполнять свою роль.

Фазовое изображение колебаний.

Описание процесса колебаний точки или системы с одной степенью свободы в функции время-перемещение дает вполне наглядное представление о движении точки во времени. Но вместе с тем в этом случае трудно выявить некоторые общие закономерности, характеризующие процесс в целом.

Существует еще один способ описания процессов — способ фазового изображения — в виде функции и соответствующего графика перемещение — скорость. При этом способе время исключается из рассмотрения, однако появляется возможность показать определенные свойства движения, предвидеть различные ситуации, связанные с устойчивостью. Фазовое изображение позволяет по графикам сопоставлять и выявлять различие в поведении движущейся точки в тех или иных процессах колебаний.

Плоскость (х, х) называется фазовой плоскостью. Точка этой плоскости"с координатами х, х называется изображающей точкой. Кривые, описываемые изображающей точкой при движении системы, дают зависимость скорости от перемещения. Они называются фазовыми кривыми, или фазовыми траекториями.

Для рассмотренных ранее гармонических колебаний точки фазовые траектории получаются следующим образом. Движение и скорость определяются по формулам:

 

 

Составив выражение суммы квадратов, получим

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 45

откуда следует, что фазовая траектория гармонических колебаний представляет собой эллипс. Каждому значению величины А соответствует свой эллипс (рисунок 41, а). Совокупность фазовых траекторий называется фазовым портретом системы, в данном случае совершающей гармонические колебания. Нулевая точка в данном случае называется центром.

При построении фазовой траектории теряется явное выражение протекания процесса колебаний во времени. Тем не менее изображение процесса обладает многими достоинствами.

Любая точка фазовой траектории отражает состояние системы в некоторый момент времени, а движение во времени соответствует перемещению изображающей точки вдоль фазовой траектории, причем оно происходит по часовой стрелке.

Если колебания затухающие, то фазовые траектории суть спирали, накручивающиеся на нулевую точку фазовой плоскости (рисунок 42), которая называется устойчивым фокусом.

При значительном затухании, в результате которого движение теряет колебательный характер и сводится к плавному движению точки к положению равновесия, фазовые траектории представляют собой пучок кривых, сходящихся в нулевой точке и имеющих общую касательную а — а в этой точке (рисунок 43). Нулевая точка в этом случае называется узлом.