Колебания. Вибрация. Волны

Непериодические колебания можно разделить на стационарные и нестационарные. Стационарные колебания можно определить как колебания, происходящие около постоянного среднего значения. К нестационарным колебаниям относятся затухающие и расходящие колебания. Если свойства колебательной системы изменяются во времени, то ее называют нестационарной.

Система называется консервативной, если ее полная механическая энергия остается неизменной при колебаниях. Неконсервативной, если энергия меняется при колебаниях.

Колебательная система называется линейной, если ее оператор является линейным и наоборот, нелинейной, если оператор является нелинейным. Одним из важнейших свойств линейной системы является принцип суперпозиции.

Автономные и неавтономные колебания. В автономных системах колебания происходят либо за счет внутренних источников энергии, либо за счет энергии, сообщенной в начале возмущения.

Системы с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Одним из важнейших показателей колебательных систем является число степеней свободы системы. Последнее зависит от характера идеализации реальной системы. Например, если заменить распределенную массу конечным числом сосредоточенных масс, то получаем систему с конечным числом степеней свободы. При этом колебания систем с конечным числом степеней свободы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями; колебания распределенных систем дифференциальными уравнениями в частных производных.

В зависимости от способа возбуждения колебания делят на несколько видов.

Свободные колебания — колебания, вызванные начальным отклонением системы и протекающие без дальнейшего активного внешнего воздействия.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешних, преимущественно периодических сил.

Связанные колебания — свободные или вынужденные колебания, возникающие в сложных системах и характеризующие взаимодействие их отдельных частей. Связанные колебания могут возникнуть, в частности, если между двумя реальными раздельными системами, одна из которых колеблется, а другая находится в покое, внезапно будет создана кинематическая связь. Вторая система также начнет колебаться, и в результате возникнут совместные колебания обеих систем, соединенных в общую систему.

Автоколебания — самоподдерживающиеся колебания, происходящие как при самовозбуждении, так и при возбуждении извне (толчок), питание которых происходит за счет постоянного источника энергии и сил преимущественно непериодического характера. Например, колебания скрипичной струны под действием более или менее равномерно движущегося смычка. Далее автоколебания будут рассмотрены более подробно.

Параметрически возбуждаемые колебания возникают вследствие периодического изменения параметров системы (массы, коэффициента жесткости и др.). Они могут одновременно возбуждаться внешней периодической нагрузкой.

Колебания, возбуждаемые внешней случайной нагрузкой. Один из типичных примеров такого возбуждения — воздействие неровной дороги на движущийся автомобиль. Действие профиля дороги на большом протяжении — случайный процесс. Как его описать с помощью статистических методов? Для этого определяют статистические характеристики процесса, по которым вычисляют вероятностные значения параметров колебаний.

Случайные колебания мачт и летающих объектов, вызванные порывами ветра и токами воздуха в атмосфере, тоже относятся к колебаниям, возбуждаемым внешней случайной нагрузкой.

Еще примеры — землетрясения, извержения вулканов, разрушительные действия морских волн — цунами.

5. Колебания механических систем.

Свободные и вынужденные колебания системы с одной степенью свободы. Резонанс

Простейшая механическая колебательная система (рисунок 20) состоит из твердого тела массой т, прикрепленного с помощью пружины к неподвижному основанию (или стенке). Движение тела ограничено единственно возможным направлением — вдоль оси пружины. Коэффициент жесткости с пружины — величина постоянная, не зависящая oт величины растяжения или сжатия пружины. Это означает что сила, с которой растягивается или сжимается пружина всегда пропорциональна величине, на которую удлиняется или укорачивается пружина. Сила, действующая на тело со стороны пружины, называется восстанавливающей. Колебания происходят при постоянном взаимодействии инерции массы тела и восстанавливающей силы. В данном случае, как говорят, восстанавливающая сила имеет линейную характеристику (рисунок 21).

.

Рисунок 20  Рисунок 21

Сначала рассмотрим свободные колебания. Будем считать, что внешняя сила отсутствует.

Предположим, что мы отклонили тело по оси х от положения равновесия, при котором пружина не нагружена, сообщив ему толчок. Возникнут гармонические колебания. Если окажется, что сумма взаимодействующих сил равна нулю, то это предположение можно считать верным. В самом деле, если принять, что движение совершается по гармоническому закону , где А — амплитуда, можно найти силу, действующую на тело со стороны пружины. По закону Ньютона эта сила определяется через ускорение и равна массе, умноженной на ускорение, которое равно второй производной по времени от пути, пройденного телом.

Итак, сила, действующая на тело со стороны пружины, будет

 

Перед выражением силы стоит знак минус, следовательно, сила от пружины действует на тело влево, т. е. пружина замедляет движение тела. Но тело движется вправо, оно растягивает пружину, и сила, действующая со стороны тела на пружину, направленная вправо, равна

                                           

Объединив формулы (9) и (10) и приравняв их к нулю, получим

                 

откуда

 

Величина есть круговая (или угловая) частота свободных гармонических колебаний системы, механическая модель которой изображена на рисунке 20.

Амплитуда А неопределенна. Она задается тем отклонением, в результате которого тело начало совершать колебания. Что касается начальной фазы φ, то она зависит от того, в какой момент по отношению к началу отсчета тело отклонилось.

Теперь посмотрим, каковы колебания той же механической системы при действии на груз внешней периодической силы в направлении х.

Снова предположим, что движение и в этом случае происходит по гармоническому закону ; сложим все силы, действующие на пружину, включая и силу Р.

 

Получим φ=0, а затем

 

 

На это движение налагаются свободные колебания.

 

В этом случае амплитуда является определенной. Заметим, что величина Р/с есть упругое перемещение пружины при условии, что сила Р действует статически. При действии силы по гармоническому закону это перемещение умножается на коэффициент усиления системы , зависящий от отношения вынуждающей частоты р к собственной частоте о)0 системы. Из формулы (13) видно, что с приближением значений р к значению со0 амплитуда А неограниченно растет. Это хорошо видно на графике (рисунок  22), изображающем зависимость коэффициента усиления Р от отношения р/а0. Состояние системы, соответствующее точке p/ао=1, называется резонансом.

Нужно только иметь в виду, что неограниченное возрастание амплитуды характерно лишь для идеализирования. Что касается начальной фазы ф, то она зависит от того, в какой момент по отношению к началу отсчета тело отклонилось.

 

 в которой отсутствует сопротивление, вызванное трением.

Рассмотренные здесь гармонические колебания — свободные и вынужденные, несмотря на то что они описывают идеализированные системы, все же очень важны для теории колебаний. Они являются основой для изучения значительно более сложных колебаний. В теории колебаний мно- I не процессы удается свести к комбинации р с 23 нескольких гармонических колебаний. Гармоническими заменяют колебания, являющиеся не гармоническими, но близкими к ним, и многие другие. В то же время многие процессы в машинах и сооружениях протекают сходно с гармоническими колебаниями, близко к ним. Это указывает на большое практическое шнчение таких колебаний.

Чтобы приблизить колебательные системы к реальным, число учитывают сопротивление, вызванное внутренним трением, демпфирующим, «смягчающим» колебания.

Фактически все реальные колебательные системы обладают внутренним трением. И поэтому при описании свободных и вынужденных гармонических колебаний вводят дополнительную силу, которую порождает вязкое или сухое трение, а также особые условия деформирования упругого (сег.цемента — пружины.

Такая колебательная система изображена на рисунке 23. Роль источника дополнительного сопротивления — трения выполняет условный поршень, движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью. Простейший закон изменения трения — пропорциональность соответствующей силы скорости пере- вщения, т. е. сила трения равна произведению постоянного коэффициента на скорость движения тела k-v. В ос- I альном схема не отличается от идеальной схемы (см. рисунок 20).

При учете этой дополнительной силы свободные колебания системы при отсутствии внешней силы Р будут происходить в соответствии с законом

Частота «ц затухающих колебаний определяется из условия сложения сил, действующих от груза на пружину и от пружины на груз. Но в данном случае вместо формул (9) и (10) должна быть формула

в которой учтена сила трения, пропорциональная скорости и равная

Раскрыв все эти выражения, получим

 (16)

где частота затухающих колебаний, связанная с частотой , незатухающих колебаний соотношением 

(17)

Амплитуда А и фаза ф определяются по формулам:

 

Неопределенность двух постоянных связана с тем, что отклонения и скорости в начальный момент заданы произвольно.

Затухающее колебательное движение показано на рисунок 14.

Из формулы (17) видно, что существует критическое значение трения , при достижении которого движение перестает быть колебательным и переходит в движение с монотонным убыванием отклонений во времени.

Можно предположить, что при действии на систему с трениеуг внешней силы по закону движение проис¬ходит в соответствии с законом

Если силы, действующие от тела на пружину и от пру¬жины на тело, равны, то с учетом внешней силы, а также силы трения получим вынужденные колебания.

                                 . (20)

И в этом равенстве следует выразить косинус и синус суммы углов через косинусы и синусы углов, затем, если подобрать фазу ср из условия

                            Рисунок 24

 

 

 

На это движение налагаются свободные колебания.

График зависимости коэффициента усиления от час- юты р показан на рисунок 24. В отличие от графика для системы без трения, изображенного на рисунок 22, здесь эта величина ограничена. Ее максимальное значение получается приблизительно при р=ы0.

В теории колебаний и в технике измерений колебательных процессов большую роль играют такие величины, как одмитанс — отношение скорости колеблющегося тела к соответствующей внешней гармонической силе и соответственно импеданс — обратная адмитансу величина, а к роме того, динамическая податливость — отношение перемещения колеблющегося тела к внешней гармонической силе и соответственно динамическая жесткость — обратили величина.

Эти величины, зависящие от частоты,— важные характеристики сложной системы и ее частей, подсистем. С их помощью как при расчетах, так и по результатам эксперимента мосстанавливается колебательное взаимодействие подсистем, входящих в систему.

Если система имеет трение, то указанные отношения представляют собой комплексные величины и изображаются секторами, имеющими модуль (длину) и фазу (угол отклонения).

Линейные и нелинейные колебания.

Прежде всего заметим, что названия «линейные» и «нелинейные» сами по себе ни в какой мере не отражают физическое существо процесса колебаний. Однако эти термины твердо укоренились в литературе по теории колебаний и в практике. Поэтому нужно разобраться, что фактически подразумевается под терминами «линейный» и «нелинейный».

Формально эти понятия относятся к закономерности, характеризующей изменения восстанавливающей силы при колебаниях, представляющей собой реакцию на колеблющееся тело со стороны упругой среды, гибкого стержня или пружины, связанной с этим телом. Если восстанавливающая сила строго пропорциональна перемещению, вызванному деформированием объектов (направление силы и компонента перемещения противоположны), то восстанавливающая сила имеет линейную характеристику. Если при этом сила дополнительного сопротивления трения также строго пропорциональна скорости перемещения, то с учетом этих зависимостей и математическое описание колебаний будет простым, линейным. Причем без сопротивления трения колебания будут гармоническими, а при наличии сопротивления трения — затухающими (при отсутствии внешней силы).

Если же зависимость между восстанавливающей силой и перемещением и между силой сопротивления и скоростью не пропорциональна, а выражается нелинейной функцией, т. е. восстанавливающая сила и сила сопротивления имеют нелинейные характеристики, то математическое описание более сложное, и движение не будет гармоническим.