Вращательное движение твердого тела

КИНЕМАТИКА. Задача К2. Вращательное движение твердого тела.

Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r1=12 см, R1=4 см, у колеса 2 — r1=6 см, R2=8 см, у колеса 3 – r3=12 см, R3=16 см. На ободах колес расположены точки А, В и С. В столбце "Дано" таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где φ1(t) — закон вращения колеса 1, s4(t) — закон движения рейки 4, ω2(t) - закон изменения угловой скорости колеса 2, υ5(t) - закон изменения скорости груза 5 и. т.д. (везде φ выражено в радианах, s - с сантиметрах, t — в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s4, s5 и υ4 υ5 — вниз. Определить в момент времени t1=2 с указанные в таблице в столбцах "Найти" скорости (υ — линейные, ω — угловые) и ускорения (a - линейные, s - угловые) соответствующих точек или тел (υ5 - скорость груза 5 и т.д.).

Таблица К2

Рис. К2.0      Рис. К2.1

Рис. К2.2      Рис. К2.3

Рис. К2.4      Рис. К2.5

Рис. К2.6      Рис. К2.7

Рис. К2.8      Рис. К2.9

У к а з а н и я. Задача К2 — на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R2 и r2 и колесо 3 радиуса R3, скрепленное с валом радиуса r3, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s1=f(t).

Д а н о: R2=6 см, r2=4 см, R3=8 см, с=3 см, s1=3t3 (s — в сантиметрах, t - в секундах), А — точка обода колеса 3, t1=3 с. О п р е д е л и т ь: ω3, υ4, ε3, aA в момент времени t=t1.

Решение: Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R1), через υ1, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r1), - через u1. 
1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим её скорость: 
υ1=s1=9t2        (1) 
Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то υ1=υ2 или ω2R2=υ1. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u2=υ3 или ω2r2=ω3R3. Из этих равенств находим  
.     (2) 
Тогда для момента времени t1=3 с получим ω3=6,75 с-1. 
2. Определяем υ4. Так как υ4=υB=ω3r3, то при t1=3 с υ4=20,25 см/с. 
3. Определяем ε3. Учитывая второе из равенств (2), получим ε3=ω3=1,5t. Тогда при 
t1=3 с ε3=4,5 с-2. 
4. Определяем aA. Для точки А, ,где численно . Тогда для момента времени t1=3 с имеем 
 
Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2. 
О т в е т: ω3=6,75 с-1; υ4=20,25 см/с; ε3=4,5 с-2; aA=366,3 см/с2.