Задача теплопроводности в пластине при различных условиях нагрева и охлаждения

           (6.27)

     Из  уравнения (6.27) следует, что расстояние точки А от поверхности определяется заданными условиями однозначности, которые справедливы для любого момента времени. Следовательно, касательные ко всем температурным кривым в точке пересечения с поверхностью пластины и неизменных граничных условиях всегда будут проходить через точку А.  Сказанное справедливо не только для пластины, но и для цилиндра, шара и тел других геометрических форм.

     Доказанное  свойство температурных кривых дает возможность определить характер изменения температуры в теле при заданном значении числа Bi. Рассмотрим при этом три случая.

1. Случай, когда Bi→∞ (практически Bi>100). Если число Bi стремится к бесконечности, то температура поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды, в которую помещена пластина. Последнее видно из уравнения (6.27): при Bi→∞ X₀=1/Bi=0. Это означает, что точка пересечения касательных к температурным кривым находится на поверхности пластины. Из следует: Bi→∞ при заданных физических параметрах и толщине пластины тогда, когда а→∞, т.е. когда имеет место очень большая интенсивность отвода теплоты от поверхности. В этих случаях процесс охлаждения определяется физическими свойствами и размерами тела. При этом , и тогда коэффициент ряда (6.22):  

     Общее решение для рассматриваемого случая принимает вид:

        (6.28)

     Тогда температура на оси пластины (Х=0)

        (6.29)

     

     Распределение температуры в пластине при Fo>0 показано на рисунке 12; здесь   Как было сказано, при Fo≥0,3 ряд (6.22) быстро сходится и ошибка не превышает 1%, если отбросить все члены ряда, кроме первого. При этих условиях уравнение (6.29) принимает вид:

         (6.30)

     

     Рисунок 12 – Распределение температуры в плоской стенке при ее охлаждении в условиях Bi→∞;

 

     Если  уравнение (6.30) прологарифмировать и решить относительно числа Fo, то получим:

          (6.31)

Учитывая, что  , уравнение (6.31) можно записать в виде

          (6.31’)

     По  формуле (6.31) можно определить время, необходимое для прогрева середины пластины до заданной температуры.

2. Очень малые числа Bi (практически Bi<0,1). Если число Bi мало, то все коэффициенты членов ряда D_n→0, поскольку теперь , за исключением D₁, который равен: 

     

     Из  выражения  видно, что малые значения числа Bi могут иметь место при малых размерах толщины пластины, при больших значениях коэффициента теплопроводности λ и малых значениях коэффициента теплоотдачи α. Следует заметить, что при малых значениях μ₁ функции tgμ₁ и sinμ₁ можно заменить через их аргументы, и тогда характеристическое уравнение (6.11) запишется:

     

     Учитывая сказанное, уравнение (6.22) можно переписать так:

        (6.32)

     Найдем  температуры на оси и на поверхности  пластины:

          (6.33)

        (6.34)

     Отношение температур на оси и поверхности  пластины

     

     При малых Bi температура на поверхности пластины незначительно отличается от температуры на оси. Это указывает на то, что температура по толщине пластины распределяется равномерно и кривая температур остается почти параллельной оси ОХ для любого момента времени (рисунок 13).

     

     Рисунок 13 – Распределение температуры в плоской стенке при ее охлаждении в условиях Bi→0; 

 

     Касательные к температурным кривым в точках пересечения их с поверхностью должны пересекаться с осью абсцисс в бесконечности:

     

     В рассматриваемом случае процесс  нагрева и охлаждения тела определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности пластины. Иначе говоря, процесс выравнивания температуры в теле происходит существенно интенсивнее, чем отвод теплоты с поверхности. Задача становится внешней.

3. Число Bi находится в переделах 0,1≤Bi<100. В рассматриваемом случае μ_n есть функция Bi, т.е. зависит от толщины пластины. Температурные кривые для любого момента времени будут выглядеть, как показано на рисунке 14.

     Рисунок 14 – Распределение температуры в плоской стенке при ее охлаждении в условиях, когда Bi – конечная величина;

 

     В этом случае интенсивность процесса охлаждения (нагревания) определяется как внутренним, так и внешним термическими сопротивлениями.

 

        7.МЕТОД СЕТОК ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 

       Рассмотрим  смешанную задачу для уравнения теплопроводности: найти функцию и(х, t), удовлетворяющую уравнению

      ,                                                (7.1)

начальному условию  u(x.0) = f(x) (0 < x < s)                                                   (7.2)

и краевым условиям u(0.t) = j(t) ; u(s.t) = y(t).                                               (7.3)

       Построим  на полуполосе  t ³ 0, 0 ≤ х ≤ s,  рисунок 15, два семейства параллельных прямых: х =  ih (i = 0,  1, 2,...), t = j× l (j = 0, 1, 2, ...).

Рисунок 15

       Обозначим х_i =  ih ; t_j = j l, тогда можем записать                                                                                       (7.4)

,                                  (7.5)

.                                         (7.6)

       На  основании соотношений (7.5) и (7.6) для уравнения (7.1) получим два типа конечно-разностных уравнения

=                             (7.7)

                             (7.8) 

                               Рисунок 16                                Рисунок 17 

       Уравнение (7.7) соответствует явному двухслойному шаблону рисунок 16, а уравнение (7.8)  соответствует неявному двухслойному шаблону рисунок 17.

       Введём  обозначение s =l/h² , учитывая это уравнения (7.7) и  (7.8) можно привести к виду

                                        (7.9)

                                    (7.10)

       При выборе числа s в уравнениях (7.9), (7.10) следует учитывать два обстоятельства:

1. погрешность замены дифференциального уравнения разностным должна быть наименьшей;
2. разностное уравнение должно быть устойчивым.

Доказано, что  уравнение (7.9) будет устойчивым при 0<s≤1/2, а уравнение (7.10) — при любом s.

       Методом сеток можно решать смешанную  краевую задачу для неоднородного параболического уравнения

+ F(x,t)                                     (7.11)

       Тогда соответствующее разностное уравнение, использующее явную схему узлов, имеет вид

+ l  F_i,j                 (7.12) 

       Отсюда  получаем при s =1/2                    (7.13)

при  s = 1/6                                                     (7.14)

 

        8.АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ 

       Рассмотрим  смешанную задачу для уравнения  теплопроводности: найти функцию  и(х,y t), удовлетворяющую уравнению

                                        (8.1)

       Построим  в области 0≤ x ≤a, 0≤ y ≤a,рис. 5, два семейства параллельных прямых:

x= ih (i=0,1,2,...), y =jh (j = 0,1,2,...).

Рисунок 18. 

       Обозначим х_i =  ih; y_j = jh, тогда можем записать

                                       (8.2)

                                    (8.3)

                                           (8.4)

       На  основании соотношений (8.2), (8.3) и (8.4) для уравнения (8.1) получим конечно-разностное уравнение:

=a²( + )

       Преобразовав  уравнение, выразим u_ijk. В итоге получим:

       

 

       

       ЗАКЛЮЧЕНИЕ

       В процессе написания курсовой работы изучены задачи теплопроводности полуограниченной плоской пластины, а также задачи теплопроводности пластины при пористом охлаждении и внутренних источниках тепла. С помощью математических преобразований были выведены уравнения для распределения температуры в полуограниченной плоской пластине, а также в пористой пластине при ее охлаждении и внутренних источниках тепла. С помощью рисунков изучены графики, на которых показаны поведение температуры в пористой пластине. Также в курсовой работе рассмотрен метод решения задач теплопроводности — метод сеток для уравнения для параболического типа. 

 

       

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 

1. Исаченко, В.П. Теплопередача / В.П.Исаченко, В.А. Осипова, А.С.Сукомел.- М.: Энергия, 1969.- 439 с.  
2. Воеводин, В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы / В.В. Воеводин. - М.: Физмалит: Наука, 1966. – 248 с.
3. Крылов, В.И. Вычислительные методы. Т.1 / В.И. Крылов, В.В.Бобков, П.И.Монастырский - М.: Физмалит: Наука, 1976. - 304 с.
4. Березин, И.С. Методы вычислений.Т.2 / И.С.Березин, Н.П.Жидков - М.: Физмалит: Наука, 1966. - 620 с.
5. Самарский, А.А. Введение в численные методы / А.А.Самарский - М.: Физмалит: Наука, 1982. - 271 с.
6. Самарский, А.А. Теория разностных схем: Учебное пособие / А.А. Самарский. - 2-е изд., исправл. - М.: Физмалит: Наука, 1983. - 616 с.
7. Фадеев, Д.К., Вычислительные методы линейной алгебры. / Д.К.Фадеев, В.Н.Фадеева - М.: Физмагиз, 1960. - 656 с.
8. Коваленко, А.Д. Основы термоупругости / А.Д.Коваленко.- Киев: Науковая думка, 1970. - 370 с.
9. Коздоба,А.Л. Методы решения нелинейных задач теплопроводности / А.Л.Коздоба. - М.: Наука, 1970. - 227 с.
10. Бородич, Ю.С. Паскаль для персональных компьютеров / Ю.С.Бородич, А.Н.Вальвичев, А.И.Кузьмич.- Минск: Вышэйшая школа, 1991. - 365 с.