Задача теплопроводности в пластине при различных условиях нагрева и охлаждения

       Если  в уравнении (4.5) положить а->-∞, то полученное выражение будет представлять температурное поле для граничных условий первого рода, ибо при а->-∞ получим t_ж≡t_c

       С учетом сказанного уравнение (4.5) принимает вид:

                                     (4.8)

       При этом температура на оси симметрии  пластины (х=0)

а перепад температур между осью симметрии стенки и  ее поверхностью

                                   _(4.9)

       До  сих пор мы полагали, что коэффициент  теплопроводности материала стенки постоянен. При больших перепадах  температур может возникнуть необходимость в учете зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. Часто эта зависимость имеет линейный характер:

       Тогда

                                      _(a)

       Разделяя  переменные и интегрируя последнее уравнение, получаем:

                                   _(б)

       При х=0 имеем t=t₀, в этом случае из уравнения (б) следует:

       Подставляя  найденное значение С в выражение (б) и решая квадратное уравнение относительно t, получаем следующее, уравнение температурной кривой:

                             _(4.10)

 

       5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 

       5.1 Общие положения 

       Перенос теплоты за счет теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты, когда температура системы изменяется не только от точки к точке, но и с течением времени, называют нестационарными.

       На  рисунке 6 показан характер кривых, полученных при нагревании однородного твердого тела в среде с постоянной температурой t_ж. По мере нагрева температура в каждой точке асимптотически приближается к температуре нагревающей среды. Наиболее быстро изменяется температура точек, лежащих вблизи поверхности тела. С увеличением времени прогрева это разность будет уменьшаться и теоретически через большой промежуток времени она будет равна нулю.            

                                                                                     
 
 
 
 
 

     Рисунок 6 – Характер изменения температуры тела во времени 

     В условиях передачи теплоты через стенку при внезапном изменении температуры одного из теплоносителей не вся теплота будет передаваться через стенку: часть ее уйдет на изменение внутренней энергии самой стенки (ее температуры), и только при наступлении стационарного процесса вся теплота будет передаваться через стенку от одной жидкости к другой 

     5.2 Аналитическое описание процесса 

     Аналитическое описание процесса теплопроводности включает в себя дифференциальное уравнение  и условия однозначности.

     Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид:

          (5.1)

     Условия однозначности задаются в виде:

      ● физических параметров λ, c, ρ;

     ● форм и геометрических размеров объекта  l₀, l₁, l₂, l_n;                      (5.2)

     ● температуры тела в начальный момент времени τ=0, t=t₀=f(x,y,z). 
 

     Граничные условия могут быть заданы в виде граничных условий третьего рода:

           

     Дифференциальное  уравнение теплопроводности (5.1) совместно с условиями однозначности (5.2) дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в отыскании функции

     t=f(x,y,z,τ,α,a,t₀, t_ж, l₀, l₁,…, l_n),    (5.3)

которая удовлетворяла бы уравнению (5.1) и условиям (5.2).

 

6.ОХЛАЖДЕНИЕ (НАГРЕВАНИЕ) НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЫ 

       6.1 Постановка задачи

       Дана  пластина толщиной 2δ. Если толщина  пластины мала по сравнению с длиной и шириной, то такую пластину обычно считают неограниченной.

       При заданных граничных условиях коэффициент  теплоотдачи а одинаков для всех точек поверхности пластины. Изменение температуры происходит только в одном направлении x, в двух других направлениях температура не изменяется

следовательно, в пространстве задача является одномерной. Начальное распределение температуры задано некоторой функцией t(x,0)=f(x). Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой t_ж=const. На обеих поверхностях отвод теплоты осуществляется при постоянном во времени коэффициенте теплоотдачи. Отсчет температуры пластины для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды, т.е. t-t_ж=θ.

     Так как задача в пространстве одномерная, то дифференциальное уравнение (5.1) принимает вид:

      (6.1)

     Начальные условия:

     при τ=0 θ=θ₀=f(x)-t_ж=F(x).    (6.2)

     При заданных условиях охлаждения задача становится симметричной и начало координат удобно поместить на оси пластины, как показано на рисунке 7.

     

     Рисунок 7 – К охлаждению плоской неограниченной пластины. При τ=0 задано t₀=const и 𝑣₀=const.  

     При этом граничные условия на оси  и на поверхности пластины запишутся  так:

      а) на оси пластины при х=0  

                                                                                                                              (6.3)                                                                                                                                                                                                                          

     б) на поверхности пластины при х=δ  
 

     Дифференциальное  уравнение (6.1) совместно с начальными условиями (6.2) и граничными (6.3) условиями однозначно формируют поставленную задачу. Решение дифференциального уравнения (6.1) с учетом начальных и граничных условий и дает искомое распределение температуры в плоской пластине. 

     6.2 Схема решения задачи

     Решение дифференциального уравнения (6.1) ищем в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только τ, а другая – только х (метод разделения переменных):

     θ=θ(τ,x)=φ(τ)ψ(x).     (6.4)

     После подстановки последнего выражения  в дифференциальное уравнение (6.1) получим:

или

φ’(τ)ψ(x)=aψ”(x)φ(τ).

     В этом уравнении легко разделяются  переменные, и его можно записать следующим образом:

     (6.5)

     Левая часть уравнения (6.5) есть функция только τ, а правая – функция только х.

     Если  зафиксировать аргумент х и менять только τ, то при любом его значении левая часть уравнения (6.5) равна постоянной величине, стоящей в правой части, т.е. φ’(τ)/φ(τ)=const. Аналогично при фиксации τ и изменении х правая часть уравнения (6.5) для любого значения х должна равняться постоянной левой части, которая зависит только от τ, т.е. ψ”(x)/ψ(x)=const.

     Так как равенство (6.5) должно иметь место при любых значениях х и τ, то обе его части должны быть равны одной и той же постоянной величине. Обозначим последнюю через ε и перепишем соотношение (6.5):

     

     Заметим, что неотрицательное решение  для функции ψ(х) получаем не при всех значениях ε, а только при ε<0. Так как ε пока произвольная постоянная по численному значению, то полагаем ε=-κ². Подставляя это значение для ε, получим:

     

откуда

            (6.6)

           (6.7)

     Постоянная  κ определяется из граничных условий, а знак минус выбирается из физических соображений. Для тепловых процессов, стремящихся к тепловому равновесию, знак может быть только минус.

     В результате получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений (6.6) и (6.7), которые легко интегрируются.

     Уравнению (6.6) удовлетворяет функция

     

     Уравнению (6.7) удовлетворяет функция вида:

     

     Подставляя  полученное выражение для φ(τ) и  ψ(х) в уравнение (6.4), получаем частное решение:

   (6.8)

     Выражение (6.8) удовлетворяет исходному уравнению (6.1) при любых значениях постоянных С₁, С₂, С₃ и k.

     Для того, чтобы уравнение (6.8) было решением поставленной задачи, его нужно подчинить начальным и граничным условиям. Подчиняя уравнение (6.8) граничным условиям при х=0

     

находим:

     

или 
       

откуда  С₂=0.

     Это значит, что частное решение  ψ(х)=С₂sin(kx) должно быть отброшено как не удовлетворяющее заданным граничным условиям.

     Если  учесть, что C₂=0, и обозначить С₁С₃=А, то уравнение (6.8) можно записать в виде

          (6.9)

     Подчинив  частное решение (2.9) граничному условию

     

получим:

        (6.10)

откуда  после простейших преобразований получаем:

     

где αδ/λ=Bi. Если обозначить kδ=μ, то последнее выражение можно записать следующим образом:

           (6.11)

     Из  анализа этого тригонометрического уравнения следует, что при каждом значении Bi существует бесконечное множество решений. Наиболее просто уравнение (6.11) можно решить графическим способом.

     Обозначим левую часть уравнения (6.11) через y₁=ctgμ, а правую - через y₂=μ/Bi. Пересечение котангенсонды y₁ с прямой y₂ дает нам значение корней характеристического уравнения, т.е. μ (рисунок 8).