Проектирование активных фильтров на операционных усилителях

Номиналы резисторов считываются по формулам:

Чем выше порядок ФНЧ, тем более критичными являются требования приближения номинальных значений резисторов и конденсаторов к расчётным. Фильтр с МОС является наиболее простым и может широко применяться для реализации фильтров с инвертирующим коэффициентом усиления. Он имеет хорошую стабильность характеристик, низкое выходное сопротивление. Недостатком схемы является то, что ее целесообразно применять для значений коэффициента усиления и добротности , не превышающей 10. Если много меньше 10, то значение может быть большим при выполнении условия .

 

Фильтр нижних частот 2-го порядка на ИНУН.

Эта схема называется на ИНУН, поскольку ОУ и два подсоединенных к нему резистора и образуют источник напряжения, управляемый напряжением. Схема реализует функцию ФНЧ с неинвертирующим коэффициентом усиления и следующими параметрами.

 

 

Значения резисторов рассчитывается  по формулам:

Кэффициенты определяются аналогично схеме с МОС, которая описана выше. Если , то и также определяется , но в этом случае получаем (разомкнутая цепь), а . В большинстве случаев при значение принимают равным нулю (короткозамкнутая цепь). Если , то ИНУН работает как повторитель напряжения. Номинальное значение емкости выбирается близким к значению , мкФ, а значение емкости из выражения.

Фильтр на ИНУН позволяет добиться неинвертирующего коэффициента усиления при малом числе элементов, он прост в настройке. Однако подобно фильтру с МОС фильтр на ИНУН должен использоваться при значениях добротности .

 

Настройка ФНЧ 2-го порядка.

Для настройки ФНЧ 2-го порядка необходимо знать вид его АЧХ. На рис. 6. Изображена АЧХ ФНЧ 2-го порядка в зависимости от значений добротности. Если , то АЧХ фильтра имеет подъём (рис. 6.1.), а если , то подъём отсутствует (рис. 6.1.). В обоих случаях значение коэффициента усиления фильтра на частоте среза

 где значение коэффициента усиления на частоте , нормированные коэффициенты, приведённые в приложении.

Значения и при (рис. 6.1.) определяются из выражений.

 

 

Проектирование АФ верхних частот.

 

Фильтры высоких частот (ФВЧ) представляют собой устройства, пропускающие сигналы высоких частот и подавляющие сигналы низких частот. На рис.7 изображена идеальная и реальная АЧХ ФВЧ.

Для реальной характеристики обозначены полоса пропускания и полоса задерживания . Полоса частот между и называется переходной областью, а частота - частота среза.

 

Преобразование низких частот в верхние.

 

Используя логарифмическое представление, можно перейти от ФНЧ к ФВЧ, зеркально отобразив АЧХ относительно частоты среза. В этом случае следует для передаточной функции нормированного ФНЧ (имеющего рад/c) заменить переменную на . Следовательно, функция ФВЧ Баттерворта и Чебышева будут содержать следующие сомножители второго порядка:

,  (1)

где - частота среза; и - представляют собой приведенные в приложении нормированные коэффициенты для звеньев ФНЧ 2-ого порядка. При нечетном порядке фильтров присутствует также звено 1-ого порядка, обладающее передаточной функцией вида:

,   (2)

где - нормированный коэффициент ФНЧ  1-го порядка.

ФВЧ Баттерворта имеет монотонно возрастающую характеристику, а ФВЧ Чебышева характеризуется, как и ФНЧ, пульсациями в полосе пропускания.

Коэффициент передачи ФВЧ представляет собой значение его передаточной функции при бесконечном значении переменной . Следовательно, для звеньев 2-ого и 1-ого порядков коэффициент усиления также будет  равен . Добротность (для фильтров 2-го порядка).

Выбор минимального порядка ФВЧ осуществляется аналогично методике, приведенной для ФНЧ.

 

 

ФВЧ 1-ого порядка.

 

В случае нечетного порядка ФВЧ в нем должно содержаться звено 1-го порядка с передаточной функцией (2). Электрическая схема, реализующая эту функцию, изображена на рис. 8.

Значение емкости выбирается близким к значению мкФ значения сопротивлений определяются по формулам:

;          ;          .(3.а)

Нормированный коэффициент выбирается из соответствующей таблицы в справочнике для заданного вида и порядка фильтра.

Коэффициент передачи . Для получения сопротивление (закоротка), (разомкнутая цепь). В этом случае имеет место схема на повторителе напряжения.

 

ФВЧ 2-ого порядка.

 

ФВЧ с МОС.

Звенья ФВЧ Баттерворта и Чебышева 2-ого порядка, так же, как и прототипы в области нижних частот, могут быть реализованы по схеме с МОС. Фильтр с МОС, электрическая схема которого приведена на рис. 9, реализует функцию вида (1) с инвертирующим коэффициентом усиления при следующих соотношениях:

     (3.б)

 

Преобразование выражения (3) относительно элементов схемы, получим:

    (4)

Для получения наилучших параметров схемы значение емкости выбирается близким к .

Достоинства и недостатки этой схемы, а также удобство ее реализации так же, как и для ФНЧ прототипа.

 

ФВЧ на ИНУН.

Схема ФВЧ на ИНУН, реализующая аппроксимирующие функции для фильтров 2-ого порядка Баттерворта и Чебышева (1), изображены на рис. 10.

 

По аналогии с ФНЧ для этой схемы получаем выражение:

    (5)

Коэффициент усиления такой схемы - не инвертирующий, а значения элементов схемы определяются следующим образом:

 

    (6)

Значение емкости с целью оптимизации номиналов резисторов выбираются близкими к мкФ, а в общем случае - произвольно. В случае , , при этом значения и не меняются.

Изменяя сопротивления и в равном процентном отношении, можно изменять частоту среза , без воздействия на добротность.

Преимущества ФВЧ и ИНУН те же, что и его прототипа ФНЧ.

 

Расчет и настройка ФВЧ.

 

Расчет ФВЧ осуществляется по той же методике, что и ФНЧ - прототип.

АЧХ  звена 2-ого порядка для ФВЧ Баттерворта или Чебышева представлены на рис. 11 (а - при ; б - при ).

На рис. 11 б подъем и частота , на которой он расположен, определяются из следующих соотношений:

    (7)

           (8)

В обоих случаях значение АЧХ на частоте

Настройка ФВЧ осуществляется с помощью элементов схемы до тех пор, пока АЧХ не станет иметь сходство с характеристикой, изображенной на рис. 11, а или б.

 

 

 

                                                        Расчетная часть.

В задании сказано, что АЧХ фильтра может иметь пульсации в полосе пропускания и должна быть монотонна в полосе задерживания. Это значит, что в качестве коэффициента аппроксимирующего полинома следует использовать коэффициенты для фильтра Чебышева.

Выбор минимального порядка ФВЧ  произведем в соответствии с формулой:

, где

Подставляя эти значения имеем:

n=4,02386

Т.к. порядок фильтра - целое число, то n=4.

Разобьем фильтр на элементарные звенья в следующем порядке:

Номер каскада	Порядок звена,
1-й каскад	2
2-й каскад	2

По таблице найдем коэффициенты и для  дб:

Номер каскада
1-й каскад	0,279072	0,986505
2-й каскад	0,673739	0,279398

 

Передаточная функция 1-го и 2-го звеньев выглядит так   ;

Выведем общую формулу для передаточной функции 1-го и 2-го звеньев ФВЧ, исходя из следующего соотношения:

 

; где ;

;

Формулы для  аргумента и модуля передаточной функции звеньев второго порядка выглядят следующим образом:

  (1)

 

(2)

 

В общем случае:

 

получим логарифмические амплитудные характеристики звеньев по формуле (2):

 

Для всего фильтра получим:

 

Фазовые характеристики звеньев по формуле (1

 

 

 

Фазовая характеристика фильтра:

По полученным соотношениям построим амплитудную и фазовую характеристики фильтра:

По ЛАХ видно, что:

 

 

Расчет и построение графиков ведется в MATHCAD 8.0 Professional

 

 

В качестве схемы для реализации заданного фильтра выберем схему с МОС, так как она проста в реализации, имеет хорошую стабильность характеристик, низкое выходное сопротивление и является наиболее подходящей для ФВЧ.

Вычисление значений элементов

Первый каскад

 мкф 

                   

Второй каскад

 мкф 

                   

Мы нашли идеальные значения резисторов. Теперь найдем их номиналы.

 

Выбранные элементы представлены в таблице 1.

Таблица 1

Идеальные		Реальные элементы (Обозначения на схеме)
Обозначение		Обозначение	Номинал
Каскад 1
R11	1772	R1	1800
R12	280,6К	R2	280K
Каскад 2
R21	4753	R3	4800
R22	59,25КK	R4	59K

 

Получим реальные значения коэффициентов

для первого звена фильтра (на реальных элементах)используя формулу (3.б):

 

                 

 

Получим реальные значения коэффициентов

для второго звена фильтра (на реальных элементах)используя формулу (3.б):

 

              

 

Сравним реальные и идеальные коэффициенты.

 

Результаты сравнения представлены в таблице 2.

 

Таблица 2

	Каскад 1
Идеальные	0,279072	0,986505
Реальные	0,283478	1,000036
	Каскад 2
Идеальные	0,673739	0,279398
Реальные	0,680348	0,280963

 

По таблице 2 видно, что различия между идеальными и реальными коэффициентами наблюдаются в первом знаке после запятой.

Получим амплитудные и фазовые характеристики звеньев через пересчитанные коэффициенты В и С:

 

                

 

                 

 

 

        

 

Ниже приведены графики для ЛАХ и ФЧХ:

 

 

По ЛАХ видно, что:

 

 

 

Моделирование

 

Моделирование произведем с помощью пакета «Electronics Workbench  4.1» по следующей схеме: .

 

В результате моделирования были получены следующие данные:

 

 

Ниже представлены экспериментальные АЧХ и ФЧХ:

 

 

 

Заключение

 

Сравним полученные результаты:

 

	fcр, Гц	f1,Гц	TW1,Гц	a1
Идеальные	1800	1241	559	1
Расчетные	1795	1233	562	1
Опытные	1856	1232	624	1