Статистический анализ средней продолжительности жизни в странах Африки

1. Тесная связь наблюдается  между изучаемым признаком Y – ожидаемая продолжительность жизни населения при рождении и факторным признаком X₄ – коэффициент смертности на 1000 жителей.

2. Связь между изучаемым  признаком Y  и факторными признаками X₃ и X₆ не подтвердилась при вычислении частных коэффициентов корреляции.

3. Наиболее сильная связь, выявленная на этапе расчёта парных коэффициентов корреляции, между факторными признаками X₂ и X₆, подтвердилась при вычислении частных коэффициентов корреляции.

4. Взаимосвязи между факторными признаками X₁ и X₂, X₁ и X₆, X₃ и X₄, X₄ и X₆, X₅ и X₆ не подтвердились при вычислении частных коэффициентов корреляции.

5. Воздействие других переменных усиливает взаимосвязь практически всех переменных. Так как их частные коэффиценты меньше чем парные.

4.3. Расчет множественных коэффициентов корреляции

Множественные коэффициенты корреляции служат мерой связи одной  переменной с совместным действием  всех остальных показателей.

Таблица 8.

Множественные  коэффициенты корреляции и детерминации исследуемых  показателей с выделением значимых коэффициентов (при α=0,05)

Множественный коэффициент  корреляции		Множественный коэффициент  детерминации r2	Значение статистики
			F набл
rY /{..}	0,7609	0,5790	9,1693
rX1/{..}	0,5009	0,2509	2,2330
rX2/{..}	0,7895	0,6233	11,0287
rX3/{..}	0,6243	0,3898	4,2585
rX4/{..}	0,8379	0,7021	15,7154
rX5/{..}	0,7516	0,5650	8,6573
rX6/{..}	0,8189	0,6705	13,5673

Для определения значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации нужно найти критическое  значение F-распределения для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы числителя ν₁=l и знаменателя ν₂=n-l-1.

Получаем  F_кр(0,05; 6; 40)=2,3358.

Если наблюдаемое значение F-статистики превосходит ее критическое значение  F_кр=2,3358, то гипотеза о равенстве нулю соответствующего множественного коэффициента корреляции отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, у нас все коэффициенты, кроме rX1/{..}, значимо отличаются от нуля.

Полученные данные позволяют  сделать следующие выводы.

Множественный коэффициент  корреляции rY/{..} =0,7609 значим и имеет достаточно высокое значение, что говорит о том, показатель Y – ожидаемая продолжительность жизни населения при рождении имеет тесную связь с многомерным массивом факторных признаков X₁ – территория стран, X₂ – численность населения,  X₃ - коэффициент суммарной рождаемости число детей на 1 женщину,  X₄ – коэффициент смертности на 1000 жителей, X₅– коэффициент младенческой смертности на 1000 рождений и X₆ – ВНП на 1 жителя.

Множественный коэффициент  детерминации показывает r²Y/{..} =0,5790, что 57,9%  доли дисперсии Y – ожидаемая продолжительность жизни населения, обусловлены изменениями факторных признаков.

Факторные признаки  тоже имеют достаточно высокие значения множественных коэффициентов корреляции и детерминации, что говорит об их сильной взаимосвязанности.

 

5. Компонентный анализ

Исходной для компонентного  анализа является матрица Х размерности (47x6), т.е. матрица, полученная из табл.1 отбрасыванием двух первых столбцов.

Найдем собственные значения и на их основе вклад главных компонент в суммарную дисперсию исходных показателей x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) x(6) с помощью пакета анализа данных SPSS. (табл.9).

Таблица 9.

Собственные значения главных компонент

Component	Initial Eigenvalues			Extraction Sums of Squared Loadings			Rotation Sums of Squared Loadings
	Total	% of Variance	Cumulative %	Total	% of Variance	Cumulative %	Total	% of Variance	Cumulative %
1	2,952	49,195	49,195	2,952	49,195	49,195	2,897	48,276	48,276
2	1,452	24,193	73,387	1,452	24,193	73,387	1,507	25,112	73,387
3	,640	10,670	84,058
4	,468	7,801	91,858
5	,264	4,392	96,251
6	,225	3,749	100,000
Extraction Method: Principal Component Analysis.

Согласно критерию Кайзера  отбираются только те факторы, собственные  значения которых больше единицы  (первая и вторая компоненты).

Первый фактор объясняет 49,19% сумарной дисперсии, второй – 24,19%. При этом общий вклад двух первых главных компонент в суммарную дисперсию составляет 73,388%, будем использовать их при построении моделей регрессии.

Собственные значения для  последовательных факторов можно отобразить на обычном линейном графике. Для  графического определения оптимального числа факторов Кеттел предложил  использовать критерий “каменистой осыпи”.

Критерий “каменистой  осыпи” состоит в поиске точки, где убывание собственных значений замедляется наиболее сильно. Справа от этой точки находится только “факториальная осыпь”, “осыпь” – это геологический термин для обломков, которые скапливаются в нижней части каменистого склона. Таким образом, число выделенных факторов не должно превышать количество факторов слева от этой точки(6).

Рис.7. Критерий “каменистой осыпи”

Таблица 10.

Матрица факторных  нагрузок

	Component
	1	2
x1	-,026	,828
x2	-,073	,857
x3	,900	-,006
x4	,776	-,236
x5	,895	-,124
x6	-,823	-,122

Из матрицы факторной  нагрузки следует, что первая главная  компонента наиболее тесно связана  с показателями: x⁽³⁾ — коэффициент суммарной рождаемости число детей на 1 женщину (r(x⁽¹⁾, z⁽¹⁾)=0,90); x⁽⁴⁾ — коэффициент смертности на 1000 жителей (r(x⁽²⁾, z⁽¹⁾)=0,776); x⁽⁵⁾ — коэффициент младенческой смертности на 1000 рождений (r(x⁽³⁾, z⁽¹⁾)=0,895); x⁽⁶⁾ - ВНП на 1 жителя (r(x⁽³⁾, z⁽¹⁾)= -0,823). Вторая главная компонента z⁽²⁾ тесно связана с территорией (x⁽¹⁾) и численностью населения (x⁽²⁾).

Построение диаграммы  рассеивания

Рис. 8. Диаграмм рассеивания для главных компонент

Уравнение регрессии на главных  компонентах

Уравнение регрессии на главных  компонентах строится по данным вектора  значений результативного показателя Y и матрицы значений нормированных¹ главных компонент Z_н, представленных в табл. 11.

Таблица 11.

Значения нормированных  главных компонент и Y

i	yi	zнi(j)	zнi(j)
1	70,54	-1,4376	2,46
2	70,41	-1,5589	2,0662
3	55,4	-0,4613	1,3013
4	74,4	-2,1398	0,428
5	49,3	-1,851	1,2197
6	32,26	-0,5173	-0,5398
7	36,94	-0,7007	-0,859
8	42,77	-0,1464	-0,2209
9	39,47	-0,6905	-0,8278
10	36,96	1,0785	0,6751
11	48,05	-0,4039	0,0427
12	41,71	0,1254	-0,2547
13	50,02	0,1049	-0,6181
14	57,12	-0,0094	-0,7558
15	54,75	0,1155	-0,9943
16	66,28	-0,5261	-0,7080
17	48,51	0,8195	0,6045
18	48,93	0,8493	1,3667
19	51,08	0,2084	-0,5770
20	44,46	0,6022	-0,3129
21	56,8	0,2463	-0,1856
22	54,38	0,6490	-1,0006
23	56,53	-0,5205	0,0148
24	49,54	0,6329	-0,5797
25	46,97	0,9376	-1,0011
26	45,43	0,8594	0,6922
27	51,93	-0,0371	0,2423
28	42,21	1,5488	0,5491
29	51,01	0,1751	3,3941
30	56,37	-0,3095	-0,4086
31	42,84	0,9103	-0,7460
32	53,43	-0,1250	-0,7356
33	43,2	0,6586	-0,7138
34	61,18	-0,5464	-0,8080
35	43,13	0,2651	-0,9704
36	53,18	0,0139	-0,5929
37	41,24	1,3364	1,0721
38	45,22	-0,3556	0,5013
39	56,14	0,2328	0,1504
40	37,98	1,1417	-0,7313
41	31,3	0,8385	0,3540
42	44,88	0,6321	-0,0608
43	39,33	0,5919	-0,7132
44	71,25	-3,9563	-1,6871
45	44,56	0,4244	0,9250
46	35,25	0,8692	-0,0470
47	39,01	-0,5747	-0,4098

Некоррелированность главных  компонент между собой и тесноту  их связи с результативным показателем y показывает матрица парных коэффициентов корреляции (табл. 12).

Таблица 12.

Корреляционная  матрица

	y	z1	z2
y	1	-0,62677	0,14711
z1	-0,62677	1	0,0000
z2	0,14711	0,0000	1

 

Так как r(z⁽¹⁾,z⁽²⁾)=0, следовательно, главные компоненты некоррелированы между собой.

Уравнение регрессии на главных  компонентах строим с помощью пакета анализа данных SPSS по алгоритму пошагового включения. Результат представлен в табл.13-15.

Таблица 13.

Регрессионная статистика

Model Summary
Model	R	R Square	Adjusted R Square	Std. Error of the Estimate
1	,644a	,414	,388	8,01446
a. Predictors: (Constant), REGR factor score   2 for analysis 1, REGR factor score   1 for analysis 1

 

Таблица 14.

Дисперсионный анализ

ANOVAb
Model		Sum of Squares	df	Mean Square	F	Sig.
1	Regression	2000,616	2	1000,308	15,573	,000a
	Residual	2826,191	44	64,232
	Total	4826,807	46
a. Predictors: (Constant), REGR factor score   2 for analysis 1, REGR factor score   1 for analysis 1
b. Dependent Variable: y

 

Таблица 15.

Коэффиценты
Model		Unstandardized Coefficients		Standardized Coefficients	t	Sig.
		B	Std. Error	Beta
1	(Constant)	49,227	1,169		42,109	,000
	REGR factor score   1 for analysis 1	-6,420	1,182	-,627	-5,433	,000
	REGR factor score   2 for analysis 1	1,507	1,182	,147	1,275	,209
a. Dependent Variable: y