Өзгергіштік және оны зерттеу жолдары

Екі және көпшыңды қисықтарға тән қасиет оларда варианттар жиілігі біргіндап өседі де, сонан соң біртіндеп кемиді және тағы да біртіндеп өсе бастайды.

Практикалық жұмыстарда кейде жекелеген варианттардың жиілігі кенет көтеріліп немесе төмендеп кететін жағдайлары байқалады (4-сурет).

 

Қисықтың осындай шығыңқы жері қателіктер протуберанцасы деп аталады. Олардың пайда болу себептері:

1. Зерттелуші объектілер санының жетіспеуі;

2. Зерттелуші белгілердің тым ұсақ градациялануы;

3. Санағанда немесе өлшегенде жіберілген қателіктер. 
   Мысалы бидайдың белгілі сортыньщ масақтарындағы дәндерді санау арқылы 5-кестеде келтірілген мәліметтер алдық делік.

 

5-кесте

Дәндер саны	Жиіліктері
25	4
26	8
27	2
28	16
29	11
30	13
31	14
32	8
33	12
34	7
35	6
36	3

 

Егер осы дәндер санының әрқайсысын жеке варианта етіп алсақ, онда жоғарғы 4-суреттедегідей қателіктер протуберанцасын аламыз. Егер осы дәндердің әрқайсысын жеке варианта жасамай (өте ұсақтамай), әрбір екі дәнді бір класқа біріктірсек, онда біздің қисығымыз бірқалыпты дұрыс болып шығады (5-сурет). Ол түсінікті, өйткені бір дәнге айырмашылық кездейсоқ болуы мүмкін.

Сонымен дәндер санын өте ұсақ градацияларға (25, 26, 27, 28) бөлу жоғарғы суреттегідей қателіктер протуберанцасын туғызады. Ал екі көрші жатқан дәндер санын біріктіріп класс жасау гистограмма алуға мүмкіндік берді. Кластардың ортасын түзу сызықпен қосу арқылы осы гистограммадан дәндер саны бірқалыпты тарап бөлінетін қалыпты вариациялық қисық алуға болады.

 

№ 3 Лекция

Арифметикалық орта шаманы, орта шаманың қатесін,

негізгі (квадраттық) ауытқуды, вариация

коэффициентін есепте

Материалды статистикалық өндеудің негізгі мақсаттарының бірі - тәжірибеден алынған жиынтықтардың өздеріне тән ерекшеліктерін сипаттайтын көрсеткіштерін табу және оларды бір-бірімен салыстыру болып табылады.

Статистикалық жиынтықтарды екі көрсеткіш жеткілікті, толығырақ сипаттай алады:

1. Белгінің орташа мөлшері.

2. Өзгергіштік немесе шашырап бытырау (рассеяния) дәре- 
   жесі.

"Белгілердің  орташа мелшері" үғымын қарастырайық, Статистикада арифметикалық орта  шама, өлшелінген (взвешенный) орта шама, геометриялық орта шама, гармониялық орта шама ұғымдары қолданылады. Биологиялық және ауылшаруашылық ғылыми-зерттеу жұмыстарында көбінесе арифметикалық орта шаманы табудың үлкен маңызы бар.

Өзінен оң және теріс ауытқуларының қосындысы нөлге тең 
шама - арифметикалық орта шама деп аталады. Мысалы үш 
өсімдіктегі жемістердің саны 4, 5, 9 болсын делік. Онда осы 
үш өсімдіктегі жемістердің орташа шамасы (4+5+9):3=6 бо- 
лады. Осы орта шамадан 4 минус 2-ге, 5 минус 1-ге, ал 9 плюс 
3-ке ауытқиды. Яғни оң және теріс ауытқулардың қосындысы 
(-2) + (-1) + 3 = 0. Арифметикалық орта шаманы табу үшін барлық варианттарды қосады және оларды бақылаулар санына бөледі.

Вариациялық  статистикада арифметикалық орта шама М немесе х (икс покрытое деп оқылады) арқылы белгіленеді және төмендегі екі формуланың кез келгені бойынша табылады:

х = Σ_Х немесе    М =    Σν .

п     п

Арифметикалық орта шаманы осылайша есептеп шығару тек бақылаулар саны аз болғанда немесе электрондық есептеу машиналарын пайдаланған кезде ғана қолданылады.

Варианттарының саны көп күрделі вариациялық қатарларды өңдеген кезде арифметикалық орта шаманы осылайша есептеу көп еңбек сіңіруді қажет етеді. Сондықтан орта шаманы есептеу үшін "моменттер өдісі" немесе "кез келген бастама" әдісі қолданылады. Жай вариациалық қатарды мысал етіп алып, осы әдіс бойынша қалай есептеу керектігін қарастырайық (6-кесте). (Әрбір вариантасы тек біреуден ғана болып келетін вариациялық қатарды жай, ал әр вариантасы бірнешеу болып келетін вариациялық қатарды күрделі вариациялық қатар деп атайды).

 

 

6-кесте

 

Варианттар X	Кез келген бастама орта шамадан ауытқулар х— X
10 11 12	-3 -2 -1
13	-6
14 15 16 17	1 2 3 4

 

+10

Алынған кездейсоқ орта шамадан ауытқулар а немесе х—Х(икс покрытое) арқылы белгіленеді. Кездейсоқ алынған орта шама (немесе шартты орта шама) ретінде вариациялық қатардың дәл ортасында немесе ортасына жақын жатқан кез келген вариантаны аламыз және оны қос түзу сызықпен белгілеп шектейміз. Біз келтірілген осы мысалымызда кездейсоқ орта шама ретінде 13 вариантын алдық. Енді әрбір варианттың осы өзіміз алған кездейсоқ шартты орта шамадан ауытқуларын есептейміз. Біздің варианттық қатарымыз біртелеп өсу тәртібімен құрылғандықтан, кездейсоқ шартты орта шамадан жоғары жатқан варианттар (-) белгісімен, төмен жатқан вариантар (+) пен белгіленеді. Осы ауытқулардың енді алгебралық қосындысын табамыз.-6+10=+4

     Біз орта шамадан оң және теріс ауытқулардың қосындысы нөлге тең болатьнын білеміз. Сондықтан алынған ауытқулардың қосындысын ( ÷4 ) бақылаулар санына (8-ге) бөліп в әрпімен белгіленген түзетуді табамыз:      в=4/8=0,5 

Түзетудің формуласы; B ; Ал шын орта шама кездейсоқ шарты орта шамамен ( М0) түзетудің ( в) қосындысына тең, яғни М=М0+в. Тапқан ( в) алгебралық қосынды екенін және ол түзету оң (+) немесе теріс (-) таңбалы болуы мүмкін екенін әрине естен шығармау керек; егер біз теріс таңбалы түзету алсақ, онда М=М0+в. Біздің мысалымызда түзетуіміз (в) оң таңбалы сан болғандықтан М немесе Х=13+0,5=13,5  Тексеріп көрейік

 

М= =

 

n=8 яғни біз кездейсоқ шартты орта шамамен есептеп шығарғандағыдай нәтиже алдық.

 

Арифметикалық орта шаманы вариантгары бірнешеу болып келетін күрделі вариациялық қатардан тапқан кезде де осы сияқты ортада жатқан бір вариантты кездейсоқ шартты орта шама ретінде алады да ауытқуларын есептейді. Онан соң ауытқуларды (х—Х немесе а) өзінің тиісті жиіліктеріне көбейту арқылы оң және теріс ауытқулардың алгебралық қосындысын табады да оны бақылаулар санына бөледі. Осылайша табылған түзетуді өзінің таңбасына қарай кездейсоқ шартты орта шамаға не қосады, не одан алып тастайды. Мысал қарастырайық (7-кесте):

 

7-кесте

Х	f	—	—
		х-Х	f(х-Х)
10	2	-3	-6
11	4	-2	-8
12	5	-1	-5
13	8		-19
14	6	1	6
15	4	2	8
16	3	3	9
17	2	4	8
	п=34		+31

 

=0,35, оң сан болып шыққандықтан орта

шама 13+0,35=13,35

Кластарға жіктелген вариациялық қатарлардан орта шама тапқан кезде әр кластың кездейсоқ алынған шартты орта кластан ауытқуы бірге тең деп есептеледі. Сонан соң табылған түзетуді k немесе 1 әріптерімен белгіленетін класс мөлшеріне (класс аралықтарына) кебейтеді де, таңбасына қарай кездей-соқ шартты орта кластың шамасына не қосады, не одан алып тастайды. Кездейсоқ кластың орталық мәні W немесе х арқылы белгіленеді. Мысалы ретінде 8-кестенің мәліметтері бойынша орта шаманы есептейік.

8-кесте

Кластар	Кластың	Жиілігі	Ортадан
	орталық	f	ауытқулары	f (х- X )
	мәні W		—
			х-Х
20-24	22	2	-3	-6
25-29	27	4	-2	-8
30-34	32	6	-1	-6
35-39	37	10		-20
40-44	42	8	1	8
45-49	47	7	2	14
50-54	52	4	3	12
		41		34

 

 

 

Жиліктер мен ауытқулар көбейтіндісінің қосындысы теріс таңбалы -20 және оң таңбалы +34, ал олардың алгебралық қосындысы 14.

 Бақылаулар саны 41 (Σf=n)

Түзетуді (в) табу үшін 14-ті 41-ге бөлеміз, яғни 14÷41=0,34

Кез-келген кластың орталық мәнін (W немесе х) сол  класты құрайтын минимал  және максимал варианттарын қосып қосындысын екіге бөлу арқылы табады.

 

 

 

 

Өлшелінген орта шама

Практикалық және ғылыми мақсаттар кейде біркелкі материалды зерттеуден алынған бірнеше орта шамаларды біріктіруді және осылайша біріктіру негізінде зерттелген материалдың барлығын сипаттай алатын бір жалпы орта шама табуды қажет етеді. Әрбір жеке орта шаманы табуға себепкер болған бақылаулар санын оның салмағы деп атайды.

Мынадай бір мысал қарастырайық: совхоздың алдыңғы қатарлы бригадасы 200 га күздік бидайдың әр гектарынан 60 центнерден өнім жинады. Совхоз қалған 10000 га егістіктің әр гектарынан орта есеппен 30 центнерден өнім жинады. Совхоздағы күздік бидайдың орташа өнімділігі қандай?

200 га орта есеппен 60 ц/га-ден өнім берді

10000 га 30ц/га -    "     -

Орташа өнім ?

Егер орташа өнімді анықтау үшін біз арифметикалық орта шаманы пайдалансақ, онда совхоз әр гектардан (60 + 30) ÷ 2= 45 центнерден өнім, ал барлық егістіктен (200 га+10000 га) х 45ц=459000 ц күздік бидай алған болып шығады. Бұл шындыққа жанаспайды, өйткені совхоз небәрі (200 х 60)+ (10000 х 30)= 312000 центнер өнім жинады.

     60 ц/га деген сөз алдыңғы қатарлы бригада өзіне бекітіліп берілген 200 га егістіктің әр гектарынан орта есеппен 60 центнерден өнім жинағанын, ал 30 ц/га деген сөз қалған егістік көлемінің әр гектарынан орта есеппен 30 центнерден өнім жинағанын кәрсетеді. Демек, 200 орта шама 60 центнердің салмағы, ал 10000 орта шама 30 центнердің салмағы болып табылады. Алынған орташа өнім туралы дұрыс түсінігіміз болу үшін біз өлщелінген орта шаманы есептеп шығаруымыз керек, яғни әрбір орта шаманы өзінің салмағына көбейтіп, ол көбейтінділердің қосындысын салмақтардың қосындысына бөлу керек.

 

=30,5 ц/га

 

    Тағы бір мысал келтірейік. Қой фермасындағы 10 қошқардың әрқайсысы орта есеппен 11 кг, 400 саулық қой 5кг, 600 кәрі саулықтар 7 кг-нан жүн берді. Фермадағы қырқылған жүннің орташа шамасы қанша?

 

==6,24кг

 

Өлшелінген орта шама мына формуламен есептелінеді;

 

       х=

 

бұл фомуладағы  х1,х2,х3,,,,хk  әрбір жеке жиынтықтардың арифметикалық орта шамалары, ал n1 n2 n3 …nk әрбір жеке шамалардың салмақтары.

 

Белгілер әртүрлілігінің көрсеткіштері

 

    Зерттеу үшін алынған әрбір жеке жиынтықтардың жекелеген даналары орта мөлшерден әр дәрежеде ауытқиды, сондықтан зерттелуге тиісті іріктеуді (выборка) сипаттау үшін тек арифметикалық орта шаманы табу жеткіліксіз. Мұндайда осы әртүрлілік дәрежесін сипаттай алатындай көрсеткіштер келтіру керек. (Бірсыпыра оқулықтарда "белгілердің әртүрлілігі" де-ген сөздің орнына "бытырау", "өзгеру" деген терминдер қолданылады).