Исследование заданного контура автоматической системы

A(w) = k/[

].

Фазовая характеристика:  j(w) = - argtg wT₁ – argtg wT₂.

 

Колебательное звено. При r<1 корни полинома знаменателя W(p) апериодического звена второго порядка комплексно сопряженные. Переходная характеристика представляет собой выражение, характеризующее затухающий колебательный процесс с затуханием r (возможные значения от 0 до 1) и частотой w₀ = 1/T, т.е. переходный процесс представляет собой затухающие  колебания  относительно установившегося  значения  (рис. 7). Примерами колебательного звена могут служить пружина с успокоительным устройством, электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п.

При r = 0 колебания носят незатухающий характер.

Аналитическая формула переходной характеристики звена:

H(t) = k[1-exp(-gt) (cos lt+(g/l) sin lt)] 1(t),  g= (l/p) ln (A₁/A₂),  l= w₀

.

Зная характеристики реального устройства можно оценить  его параметры как колебательного звена. Постоянная времени Т и коэффициент затухания:

T = T_k/

,   _{r = ln(A1/A3) / ,}

_{где Tk – период колебаний, А1 и А3 – амплитуды двух соседних полуколебаний одного знака относительно установившегося значения (см. рис. 7).}

АФЧХ колебательного звена:

W(jw) = k/[-T²w² + 2r Tjw +1].

Годограф (рис. 8) описывает кривую, заходящую в третий квадрант. Фазовый сдвиг на частоте ω₀ равен -π/2, и стремится к -p при дальнейшем увеличении частоты.

ЛАЧХ колебательного звена (рис.9):

L(w) = 20 lg k – 10 lg((1-T² w²)² + 4r²T²w²).

Реальная ЛАЧХ при w » w₀  значительно отличается от асимптотической. Это отличие тем существенней, чем меньше коэффициент демпфирования r. В предельном случае r = 0 получаем звено, у которого при w » w₀ амплитуда выходных колебаний стремится к бесконечности.

ЛФЧХ при малых частотах асимтотически стремится к нулю. При увеличении частоты до бесконечности  выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного на угол, стремящийся в пределе к -p.

Наклон ЛАЧХ 40 дБ/дек  и максимальный поворот фазы до -p характерны для всех звеньев второго порядка.

 

Интегрирующее (астатическое) звено. Идеальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

dy/dt = k u(t),

т.е. скорость изменения  выходной величины пропорциональна значению входного сигнала.

Общее решение:  y(t) = y(0) + k u(t) dt.

Пример реализации звена  – интегрирующая емкость (рис. 10).

Передаточная функция  звена: W(p) = k/p.

Переходная характеристика при u(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях и Весовая функция при u(t) = d (t) и нулевых начальных условиях (рис. 11).

АФЧХ интегратора: W(jw) = k/jw = -jk/w = k exp(-jp/2)/w.

Интегратор ослабляет  высокие частоты пропорционально  частоте и неограниченно усиливает («накапливает») низкие частоты. Годограф АФЧХ (рис. 12) расположен вдоль отрицательной мнимой оси. Фазово-частотная характеристика для положительных частот имеет постоянное значение -π/2, т.е. все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90^о.

 

Радиус - вектор АЧХ при изменении частоты от 0 до ∞ монотонно убывает от значения ∞, стремясь к 0. Коэффициент усиления бесконечно малых частот теоретически неограничен.

ЛАЧХ интегратора:

L(w) = 20 lg |W(jw| = 20 lg k – 20 lg w.

Логарифмическая характеристика представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, которая проходит через точку 0 дБ на частоте w = k.

При k = 1 звено представляет собой “чистый” интегратор W(p) = 1/p. Интегрирующее звено неограниченно "накапливает" входное воздействие. Примеры интегрирующих звеньев: поршневой гидравлический демпфер, электрическая емкость и т.п.

Идеальное дифференцирующее звено. Выходная величина звена пропорциональна скорости изменения входной величины (производной от входной величины), а уравнение динамики имеет вид: 

y(t) = k du(t)/dt.

 Передаточная функция:  W(p) = kp. При k = 1 звено осуществляет  чистое дифференцирование W(p) = p.

Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так  как величина всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена, а должна быть бесконечно большой.

Близок к идеальному звену операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис.13).

Переходная характеристика:

H(t) = k d1(t)/dt = k d(t),

где функция d(t) может имитироваться достаточно коротким (<<RC) импульсом с площадью, равной 1.

Импульсная характеристика:

h(t) = k dd(t)/dt.

Частотная передаточная функция:

W(jw) = kjw.

Дифференцирующее  звено с замедлением. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала. Реальное дифференцирующее звено является последовательным соединением двух типовых звеньев - идеального дифференцирующего kp и инерционного 1/(Tp+1). В конечном диапазоне рабочих частот характеристики такого звена могут быть сколь угодно близки к идеальным.

Звено описывается уравнением: T dy(t)/dt + y(t) = k du(t)/dt.

Передаточная функция: W(p) = kp /(Tp+1).

При малых значениях  Т звено можно рассматривать  как идеальное дифференцирующее.

Переходная характеристика:

H(t) = (k/T) exp(-t/T) 1(t).

По переходной характеристике, имеющей вид экспоненты (рис. 14), можно определить передаточный коэффициент k и постоянную времени Т. Примерами звеньев являются четырехполюсники из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности. Дифференцирующие звенья применяются для улучшения динамических свойств САУ.

Частотная передаточная функция:

W(jw) = kjw/(jwT+1).

Годограф звена (рис. 15) описывает полуокружность с радиусом, стремящимся к бесконечности, при Т®0. При этом годограф прижимается к положительной мнимой полуоси и стремится к годографу идеального дифференцирующего звена. Частота w=1/T считается максимальной, до которой реальное звено может приниматься за близкое к идеальному.

Частотные характеристики звена приведены на рис. 16. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное. При w ® ∞ коэффициент передачи звена стремится к k/T. Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг стремится к нулю при w ® ∞.

Полагая р равным оператору дифференцирования из передаточной функции звена сразу получаем дифференциальное уравнение. Например, для апериодического звена

; ;

Раскрывая пропорцию  и полагая  , получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частотная характеристика

Понятие частотных характеристик  является важнейшим понятием, широко применяемым в теории управления. Методы, основанные на применении частотных характеристик, являются наиболее удобными в инженерной практике в классе систем с одним входом и выходом.

Функция W(jw), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией. Она может быть получена путем замены p на jw в выражении W(p). В более общей формулировке частотную передаточную функцию можно представить в виде отношения частотных спектров выходного и входного сигнала:

        n>=m

 Формально обобщенная частотная характеристика W(j ) :

  и представлена в виде

       

где P(w) - вещественная,  Q(w) - мнимая частотные характеристики,  А(w) - амплитудная частотная характеристика (АЧХ),  j(w) - фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Частотная характеристика W(j )  может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу W(j ), при изменении от 0 до прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Рис. Пример амлитудно-фазовой характеристики системы

 

Фазо-частотная  характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,

 

Для определения  числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка

Тогда ( )= , где знак «+» относится к i=1,2,…,l (числителю передаточной функции), знак «-»-к i=l+1,…,L(знаменателя передаточной функции).

Каждое из слагаемых  определяется выражением

Где P_i=Re w_i(j ),Q( )=Im w_i(j ).

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные  характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логарифмические амплитудные характеристики (ЛАХ)

системы

В практике автоматики широкое  применение находят частотные характеристики в логарифмических масштабах. Применение логарифмического масштаба позволяет наглядно изображать характеристики в большом диапазоне частот, представлять характеристики отрезками ломанных линии и определять характеристики сложных систем простым суммированием характеристик, входящих в эти системы элементов.

Частота в логарифмическом  масштабе измеряется в декадах. Две  частоты w₁ и w₂ отличаются на одну декаду если w₂/w₁ = 10, lg(w₂/w₁) = 1. Относительные амплитуды в логарифмическом масштабе выражаются в децибелах. Две мощности w₁ и w₂ отличаются на один децибел, если 10 lg(w₁/w₂) = 1.  Так как мощности относятся как квадраты образующих их первообразных (напряжений, токов, сил и т.д.), то две первообразные a₁ и а₂ будут отличаться на один децибел, если 10 lg(а₁² /а₂²) = 1 ® 20 lg(а₁/а₂) = 1. 

В CАУ широко используются логарифмические амплитудная (ЛАЧХ) и фазовая (ЛФЧХ) частотные характеристики (рис. 18). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

lg[W(jw)] = lg[A(w) exp(jj(w)] = lg[A(w)]+lg[exp(jj(w)] = L(w) + j(w).

ЛАЧХ получают из первого  слагаемого, которое умножается на 20, то есть L(w)=20 lg A(w). Величина L(w) откладывается по оси ординат в децибелах. Изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20 дБ. По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе, единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси w. Величина j(w) откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: -p ≤ j ≤ p.

Частотные характеристики являются исчерпывающими характеристиками системы, по которым можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

 

 

 

 

Практическое  задание.

Вариант №17

Значения параметров схемы.

R1  кОм	R2  кОм	R3  кОм	C1  мкф	C2  мкф
2	1	-	2	1

 

 Составим эквивалентную  схему, в которой выразим заданные элементы через комплексные сопротивления.

Комплексное сопротивление g₁

 

Комплексное сопротивление g₂

 

Полное сопротивление  цепи

 

 

Ток в цепи по закону Ома 

 

Выходное напряжение равно падению напряжения на сопротивлении g₂:

 

И поделив почленно на Uвх, получим выражение для передаточной функции

 

 

Из последнего выражения, учитывая, что  и раскрывая пропорцию, получаем дифференциальное уравнение системы: