Разработка компьютерной программы для расчета простейшей модели эпидемии

 

 Министерство образования Российской Федерации

 

БКЭСИ – филиал ГОУ ВПО «МЭСИ»

 

Цикловая комиссия ИТ и ВТ

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

 

Учебная дисциплина: «Математические методы»

 

Тема: «Разработка компьютерной программы для расчета простейшей модели эпидемии»

 

Выполнил студент группы ДЛП-801 Борщёв Павел

 

Руководитель-преподаватель БФ МЭСИ Ноздрачёва Н. Л.

 

Отметка о допуске  к защите_________________________________

 

Оценка работы____________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Брянск – 2011

 

 Содержание

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Математические методы являются важнейшим  инструментом анализа экологических явлений и процессов, построения теоретических моделей, и математических позволяющих отобразить существующие связи в экологической жизни, прогнозировать поведение экологических факторов и явлений. Математическое моделирование становится языком современной экологической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Целью курсовой работы является разработка программного продукта для расчёта  простейшей модели эпидемии.

Для этого необходимо изучить литературу по теме «Математические модели в экологии, и программирование в экологии». Разобрать математическую модель оптимального расчета эпидемии в экосистеме.

Объектом исследования является применение математических методов при решении задач экологии, а именно задачи расчета модели эпидемии.

Предмет исследования – возможности среды программирования Delphi7 для реализации компьютерной модели эпидемии.

При написании курсовой работы планируется  использовать следующие методы: анализ, систематизация, обобщение, аналогия, проектирование.

Уровень исследования – теоретико-эмпирический.

Вид исследования – прикладной, потому что данная программа предназначена  для демонстрации возможностей компьютерной модели эпидемии в экологии.

Применение программы, разработанной  в рамках курсового проектирования, позволит наглядно продемонстрировать возможности применения математических методов и программирования при решении задач расчета эпидемии по некоторым факторам.

 

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОЛОГИИ

1. Математические модели в экологии

Надорганизменные системы, которые изучает экология – популяции, биоценозы, экосистемы, – чрезвычайно сложны. В них возникает множество взаимосвязей, сила и постоянство которых непрерывно меняются. Одни и те же внешние воздействия могут привести к различным, иногда прямо противоположным результатам, в зависимости от того, в каком состоянии находилась система в момент воздействия.

Предвидеть ответные реакции системы на действие конкретных факторов можно лишь через сложный  анализ существующих в ней количественных взаимоотношений и закономерностей. В экологии поэтому широкое распространение получил метод математического моделирования  как средство изучения и прогнозирования природных процессов.

Суть метода заключается  в том, что с помощью математических символов строится абстрактное упрощенное подобие изучаемой системы. Затем, меняя значение отдельных параметров, исследуют, как поведет себя данная искусственная система, т. е. как изменится конечный результат.

Модели строят на основании  сведений, накопленных в полевых  наблюдениях и экспериментах. Чтобы построить математическую модель, которая была бы адекватной, т. е. правильно отражала реальные процессы, требуются существенные эмпирические знания. Отразить все бесконечное множество связей популяции или биоценоза в единой математической схеме нереально. Однако, руководствуясь пониманием, что в надорганизменных системах имеется внутренняя структура и, следовательно, действует принцип «не все связи существенны», можно выделить главные связи и получить более или менее верное приближение к действительности.

В построении математических моделей сложных процессов выделяются следующие этапы.  

Прежде всего, те реальные явления, которые хотят смоделировать, должны быть тщательно изучены: выявлены главные компоненты и установлены  законы, определяющие характер взаимодействия между ними. Если неясно, как связаны между собой реальные объекты, построение адекватной модели невозможно. На этом этапе должны быть сформулированы те вопросы, ответ на которые должна дать модель. Прежде чем строить математическую модель природного явления, надо иметь гипотезу о его течении.  

Разрабатывается математическая теория, описывающая изучаемые процессы с необходимой детальностью. На ее основе строится модель в виде системы  абстрактных взаимодействий. Установленные  законы должны быть облечены в точную математическую форму. Конкретные модели могут быть представлены в аналитической форме (системой аналитических уравнений) или в виде логической схемы машинной программы. Модель природного явления есть строгое математическое выражение сформулированной гипотезы.

Проверка модели –  расчет на основе модели и сличение результатов с действительностью. При этом проверяется правильность сформулированной гипотезы. При значительном расхождении сведений модель отвергают  или совершенствуют. При согласованности результатов модели используют для прогноза, вводя в них различные исходные параметры.

Следует, однако, отметить, что сама по себе математическая модель не может служить абсолютным доказательством  правильности той или иной гипотезы, так как может оказаться, что разные гипотезы приводят к сходным результатам, но она служит одним из путей анализа реальности.

Расчетные методы в случае правильно построенной модели помогают увидеть то, что трудно или невозможно проверить в эксперименте, позволяют воспроизводить такие процессы, наблюдение которых в природе потребовало бы много сил и больших промежутков времени. В математических моделях можно «проигрывать» разные варианты – вычленять разные связи, комбинировать отдельные факторы, упрощать или усложнять структуру систем, менять последовательность и силу воздействий – все это дает возможность лучше понять механизмы, действующие в природных условиях.

Моделируют различные  по характеру процессы, происходящие в реальной среде, как, например, отдельные типы экологических взаимодействий хищник – жертва, паразит – хозяин, конкурентные отношения, мутуализм и др. Математическими моделями описываются и проверяются разные варианты динамики численности, популяций, продукционные процессы в экосистемах, условия стабилизации сообществ, ход восстановления систем при разных формах нарушений и многие другие явления. Сами методы математического моделирования биологических систем развиваются, совершенствуются и разнообразятся.

Например, одну из простейших математических моделей для системы паразит – хозяин в динамике численности насекомых разработал в 1925 г. статистик А. Лотка, который вывел следующие уравнения:

где N1 – численность популяции  хозяина; N2  – численность популяции  паразита; r1 – удельная скорость увеличения популяции хозяина; d2  – удельная скорость гибели популяции паразита; p1  и р2 – константы. График процесса паразитической инвазии, построенный по таким уравнениям, обнаруживает, что в результате взаимодействия двух видов должны возникать осцилляции (колебания) с постоянной амплитудой, которая зависит от соотношения между скоростями увеличения численности двух видов.

В это же время математик В. Вольтерра  выявил сходные закономерности для  системы хищник – жертва, обрабатывая  статистические данные рыбного промысла. Один из выведенных им законов – «закон периодического цикла» – гласит, что процесс уничтожения одного вида другим может привести к периодическим колебаниям численности популяций обоих видов, зависящих только от коэффициентов роста популяций хищника и жертвы и от исходной относительной численности.

В период, когда были сделаны эти  расчеты, экологи вели поиск причин циклических колебаний численности, которые были обнаружены к тому времени  у ряда видов. Делались попытки отыскать внешние факторы (космические, солнечные, атмосферные), ответственные за периодические изменения популяций. Модели А. Лотки и В. Вольтерра позволили выдвинуть идею, что периодический колебательный режим в популяциях может возникнуть в результате межвидовых отношений и без внешнего периодического воздействия. Эта идея оказалась плодотворной для дальнейшего развития теории динамики численности популяций. Однако сама модель являлась не адекватной, т. е. не описывала действительность, так как в природе практически не обнаруживаются подобные непрерывные осцилляции с постоянной амплитудой у пар видов, связанных по типу хищник – жертва или паразит – хозяин.

Уравнения А. Лотки и В. Вольтерра  были чрезвычайно упрощенными, так  как исходили из целого ряда нереальных допущений: что изменение численности популяции одного вида немедленно вызывает ответную реакцию популяции другого вида, что «аппетиты» хищника беспредельны, поиски жертв случайны, что плодовитость хищников пропорциональна численности всей популяции жертв.

Как показал Г. Ф. Гаузе (1934, 1935), даже в условиях упрощенного эксперимента с простейшими трудно добиться соблюдения этих допущений. В его опытах с инфузориями удалось получить лишь два цикла хищник – жертва, после чего система пришла к разрушению. В природе колебания численностей имеют более сложный характер. Во взаимодействиях хищника и жертвы широко распространен эффект «запаздывания» из за разницы в скоростях размножения, играют роль такие показатели, как степень насыщения («функциональная реакция») хищников, время, затрачиваемое ими на поиск и поимку добычи, способность переключаться на другую пищу, защитные приспособления жертв, размещение их в пространстве и территориальное поведение, возрастная и половая структура популяций и многое другое. Кроме того, рост численности популяций может сдерживаться и другими причинами, в том числе внутривидовыми взаимоотношениями.

В 1933 г. А. Никольсон, несколько усложнив математическую модель Лотки и введя  в систему дополнительных хозяев и паразитов, показал, что это  ослабляет осцилляции. В 1936 г. А. Н. Колмогоров разработал новые подходы и описал также возможности устойчивого стационарного состояния системы взаимодействующих через трофические связи видов. Позднее для систем хищник – жертва, паразит – хозяин было предложено множество других моделей. С введением в модели дополнительных параметров сильно усложняется математический аппарат и техника расчетов. Многие из этих ограничений позволило снять использование электронно вычислительных машин.

В экологии сначала преобладали математические модели, основанные на предположениях о существовании в природе четких причинно следственных зависимостей между популяциями в сообществах (так называемый детерминистский подход ). В настоящее время меняется сам подход к математическому моделированию в экологии. Разработаны так называемые имитационные модели,  основное внимание в которых уделяется именно разнообразию внутренней структуры популяций и сообществ. Вместо отбрасывания «несущественных» связей математики пытаются определить роль внутреннего разнообразия в поддержании существования надорганизменных систем.

Математическое моделирование  широко применяется при решении  экологических проблем, связанных  с антропогенными воздействиями  на природную среду. В современных  математических моделях выделяют тактические и стратегические модели. Тактические модели  экосистем и популяций служат для экологического прогнозирования их состояния, в том числе при разного рода экзогенных воздействиях. Стратегические модели  строят в основном с исследовательскими целями, для вскрытия общих законов функционирования биологических систем, таких, как стабильность, разнообразие, устойчивость к воздействиям, способность возвращаться в исходное состояние. В задачи стратегических моделей входит изучение с помощью ЭВМ последствий разных стратегий управления экосистемами, чтобы иметь возможность выбрать оптимальную.

Модели, которые описывают  взаимодействие общества и природы  и в которых учитывают не только экологические, но и экономические, демографические и социальные показатели, называют эколого экономическими моделями.  Такие модели разрабатывают для долгосрочного прогнозирования экономического роста и общей оценки влияния человеческой деятельности на природную среду.

1.2. Современное моделирование эпидемии

Первые исследования, которые наметили пути преодоления указанного разрыва, были выполнены в 60-е годы в СССР акад. О.В.Барояном и проф. Л.А.Рвачевым [1, 2, 3]. Ими была разработана новая методология математического моделирования эпидемий – ЭПИДДИНАМИКА. Данная методология [2] основана на методе научной  аналогии в отображении эпидемического процесса (процесс «переноса» возбудителя инфекции от больных  к  здоровым)  с  процессом «переноса»  материи (энергии,  импульса  и  др.)  в уравнениях математической физики [6].

Действительно, в ходе развития эпидемии среди населения  территории,  пораженной  инфекционным  заболеванием,  формируется сложный самоподдерживающийся  процесс «переноса»  популяции  возбудителя  на сообщество восприимчивых людей. Эпидемиологическое содержание данного процесса связано  с  адекватным  его  отображением,  как  в  календарном  времени  «t»,  так  и  во «внутреннем времени «τ», которое фиксирует развитие инфекционного заболевания у множества  лиц,  пораженных  инфекцией.  Система  уравнений,  которая описывает развитие эпидемического процесса, представляет собой систему нелинейных уравнений в частных производных с соответствующими  начальными  и граничными  условиями, весьма «схожими» с уравнениями гидродинамики [10]. 

С применением этой методологии в ИЭМ им. Н.Ф.Гамалеи АМН СССР в 60-70-е годы  были  разработаны  уникальные модели  эпидемий  гриппа  для  территории СССР, которые  составлены  на  основе  балансов «потоков»  индивидуумов,  проходящих основные  стадии-состояния  инфекционного  процесса  типа  SEIR,  где:  S  - восприимчивые, E - в инкубации, I - инфекционные больные, R - переболевшие.  Математическая модель эпидемии гриппа «Барояна-Рвачева» представляет собой систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными и начальными условиями:

1. эпидемический процесс: 

a) dX(t)/dt = - [λ/P(t)]Ч[X(t)Ч∫Y(τ,t)dτ]; 

b) ∂U(τ,t)/∂τ + ∂U(τ,t)/∂t = - γ(τ)ЧU(τ,t);  

c) ∂Y(τ,t)/∂τ + ∂Y(τ,t)/∂t = γ(τ)ЧU(τ,t) -δ(τ)ЧY(τ,t)};

d) dZ(t)/dt = ∫δ(τ)ЧY(τ,t)dτ; 

2. граничные условия:        

a) U(0,t) = [λ/P(t)]Ч[X(t)Ч∫Y(τ,t)dτ];

b) Y(0,t)=0;

3. начальные условия:         

a) X(t0) = αЧP(t0); Z(t0) = (1-α)ЧP(t0);

b) U(τ,0) = U(τ); при 0 <τ< τu; 

c) Y(τ,0) = Y(τ); при 0 <τ< τy,