Інтерполяція по часу сталими функціями

Зміст

1. Вступ.                                                                                        2
2. Постановка задачі.                                                                   4
3. Алгоритм ПМГЕ.                                                                       5
4. Інтерполяція по часу сталими функціями.                             7                       
5. Інтегрування по просторових координатах.                           9
6. Врахування ненульової початкової умови                           13

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

На теперішній час встановлено, що метод граничних  елементів є дуже важливим і альтернативним по відношенню до вже існуючих чисельних методів, які застосовують для дослідження механіки суцільного середовища. Однією з найбільш важливих  областей його застосування є розв’язування задач дифузії, електростатики і багато інших задач, де використовується теорія потенціалу і чиї розв’язки являють собою класичні рівняння Лапласа і Пуассона. Всі ці задачі потенціалів в загальному випадку можна ефективно і економічно досліджувати методом граничних елементів.

Суть методу полягає в тому, що перетворюють диференціальне рівняння в часткових  похідних, яке описує як поводиться невідома функція всередині і  на границі області, в інтегральне  рівняння. Якщо потрібно знайти значення потенціалу у внутрішній точці області, то його можна визначати, використовуючи відомі значення на границі.

Вперше інтегральні  рівняння були використані для формулювання фундаментальних краєвих задач  теорії потенціалу в 1930 р. Фредгольмом, який довів існування розв’язків таких рівнянь за допомогою процедури їх дискретного представлення. Через важкість знаходження аналітичного розв’язку, застосування інтегральних рівнянь обмежились в основному теоретичними дослідженнями питань існування і єдиності розв’язку задач математичної фізики. Але поява швидких ЕОМ дала можливість використовувати процедуру дискретного представлення аналітично, а потім без великої складності  отримати числовий розв’язок.

Різні вчені  мали інші підходи до чисельного підходу розв’язку граничних інтегральних рівнянь Фредгольма.

Один з підходів такий:

1. Границя Г розбивається на певну кількість елементів, всередині яких вважається, що фундаментальний розв’язок і його нормальна похідна змінюються у відповідності з вибраними інтерполяційними функціями. Ці елементи можна утворити з допомогою прямих ліній, кругових дуг, парабол і т.д.
2. Використовується метод колокації, відповідно з яким для різних вузлових точок, розподілених всередині кожного елемента, записується дискретна форма рівняння, яка зв’язує значення потенціалу і його нормальної похідної в кожному вузлі.
3. Інтеграли по кожному елементу обчислюються з допомогою одної з схем чисельного інтегрування.
4. Беручи до уваги значення граничних умов отримується система лінійних рівнянь, рішення якої  знайдене  за допомогою прямого чи ітераційного методу, дає інші значення невідомої функції на границі.

При необхідності значення невідомої функції в будь-якій внутрішній  точці можуть бути знайдені по відомим значенням на границі з допомогою чисельного інтегрування рівняння Фредгольма.

 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

Розглядаємо двовимірну задачу дифузії-адвекції, яка описується рівнянням 

                        (1)

 

З граничними умовами:

                                                                                  (2)                                                                                             

                                                                (3)                                                                    

З початковою умовою:

                                                                                   (4)                                              

Коефіцієнт k в даному рівнянні може приймати будь-яке значення в залежності від того, яку фізичну задачу ми будемо розглядати. k не залежить від координат і від часу.                      

Для розв’язування такої  початково-крайової задачі застосуємо прямий  метод граничних елементів (ПМГЕ).

 

АЛГОРИТМ ПМГЕ

У випадку ПМГЕ розв’язання задачі (1)-(4) зводиться до інтегрального рівняння Фредгольма ІІ роду ():

 (5)

де Т* і q*- відповідно фундаментальний розв’язок (тобто такий, для якого виконується , де - дельта-функція ) і його нормальна похідна.

Відзначимо, що точка  береться в якості точки , для якої

, 

де  ; ;

, 

де  .

У рівнянні (5)  - це є кутовий коефіцієнт в граничній точці .Для гладкої границі він рівний ½.

Границю області  (Г) представимо у вигляді скінченого об’єднання N граничних елементів, які не перетинаються (обхід границі робимо у додатному напрямі), які потрібно апроксимувати. Проміжок часу інтегрування [0,T]  розіб’ємо на F інтервалів, а область розіб’єм на S скінченних елементів.

Шукані функції T і q (температура і тепловий потік відповідно) визначаємо шляхом інтерполяції по вузлових значеннях.

 

                     (6)

                                                                            

де  - це базисна функції просторових  змінних  - відповідно часових змінних.

Підставляючи (6) в рівняння (5) маємо:

      (7)

                 (8)

- довжина j-того елемента. Дані  рівняння показують в дискретній  формі зв’язок між і-тим вузлом, в якому  задається фундаментальне  рівняння, і усіма j-тими елементами (включаючи випадок i = j) на границі.

Якщо розглядати схему (7),то тут інтегрування по часу розпочинається із початкового моменту  і не вимагає обчислення значення функції T у внутрішніх точках на кожному часовому кроці. Щоб обчислити значення функції T i q на даному кроці по часу  ми використовуємо граничні значення функції T і q з попереднього кроку по часу шляхом сумування граничних інтегралів. Цей метод був запропонований Wrobel L.C. і має недоліком те, що потрібно постійно запам’ятовувати інформацію з попередніх кроків. А у схемі (8) кожний крок по часу розглядається як нова задача.

ІНТЕРПОЛЯЦІЯ  ПО ЧАСУ СТАЛИМИ ФУНКЦІЯМИ

Нехай інтерполюючи функція ,тобто значення Т і q є кусково-постійними на кожному часовому кроці. Таке припущення є правильним, бо дані функції повільніше змінюються у порівнянні з функціями Т* i q*.

Вимагатимемо, щоб рівність (7) задовольнялась точно  у вибраному наборі точок.

,                                                         (9)

Де елементи матриць  i G обчислюються за наступними формулами:

;                                                     (10)

, де                           

.

 Зауважимо,  що  - символи Кронекера.

Розглянемо інтеграл:

, робимо заміну:

Отримаємо:

 

Подивимось  на границю даного інтеграла ( ):

А це наближений графік даної функції, коли ми візьмемо замість ,

Тобто, даний інтеграл можна знайти методом Гауса.

Аналогічно  маємо:

Звідси,

Аналогічно  до попереднього випадку маємо графік даної функції:

Знову шукаємо інтеграл методом Гауса.

 

 

ІНТЕГРУВАННЯ  ПО ПРОСТОРОВИХ КООРДИНАТАХ

Для обчислення граничних інтегралів інтерполюючи функції по просторових змінних  вибирають лінійними або квадратичними.

Спочатку розглянемо випадок, коли функції T i q змінюються лінійно по довжині елемента. Тоді значення цих функцій в будь-якій точці елемента на f-тому кроці по часу (враховуємо, що ) можна визначити  через їх значення у вузлах за допомогою двох лінійних інтерполюючи функцій однорідної координати .

Визначимо функції  за такими формулами:

;

;                                                                                (11)

Тоді запишемо T і q у вигляді:

                              (12) 

Тоді інтеграли  зі схеми (7) можна записати так:

 

,      (13)

де елементи і обчислюються за формулами (10).

, - коефіцієнти впливу, що характеризують зв’язок між розглядуваною граничною точкою та вузлом на елементі в момент часу , беручи до уваги, що кінцевий час  - .

Як бачимо, всі  компоненти матриці  зі системи (9), дорівнюють сумі компонент -го елемента і -го елемента, якщо використовується нумерація граничних елементів проти годинникової стрілки.

Матрицю схематично можна зобразити:

Тобто, як ми бачимо розмір матриці  - .

Матриця будується аналогічно, тільки потрібно не забути, що розмір даної матриці буде , де n – кількість кутових вузлів. Це видно з того, що значення T в кутових вузлах однакове, а значення потоку q – різне в залежності від того яким чином ми напрямляємо нормаль до границі в цій точці. Тобто з боку математики в нас дві точки, хоча насправді вона фізично одна.

Тому стовпчики матриці ,що відповідають кутовим вузлам роздвоюються, а за кутові коефіцієнти беремо ½.

Ще одна відмінність  між матрицею i – це те, що в немає на діагоналі доданків типу .

Для того, щоб  обчислити інтеграли (13) необхідно  здійснити відображення довільного елемента на даній границі  на стандартний елемент .

Враховуючи, що для двовимірної задачі якобіан  переходу маємо, що .

Підставимо  це в (13) отримаємо :

;

;                                              (14)

 

Ці інтеграли  можна знайти чисельно, використовуючи метод Гауса.

 

 

 

 

ВРАХУВАННЯ НЕНУЛЬОВОЇ ПОЧАТКОВОЇ УМОВИ

Для того, щоб  знайти значення інтеграла, який містить  функцію початкової температури  , потрібно (так як написано вище) розбити область Г на S скінченних елементів.

Тобто ,

Який можна  обчислити квадратурною формулою Гауса.

,

де  - ваги, функція задана у точках інтегрування, - площа s-того скінченного елемента. Для апроксимації області використовуються чотирикутні скінченні елементи . 
Список використаної літератури:

1. К.Бреббия, Ж.Теллес, Л.Вроубел: “Методы граничных элементов”,Москва “Мир”, 1987.