Шпаргалка по "Линейная алгебре"

Исследовать СЛУ-это означает определить какой является система (совместной или несовместной и в случае ее совместимости выяснить определенная эта система или неопределенная).

Критерий совместимости: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Критерий определенности: система линейных уравнений определенна тогда, когда ранг ее матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных данной системы.

Критерий неопределенности: система линейных уравнений неопределенна, если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестны.

 

21. Решение СЛУ в общем случае. Базисные и свободные неизвестные. Общее решение СЛУ.

Если СЛУ является неопределенно, то выразив какие-либо неизвестные xi1, xi2,…, xim через другие неизвестные xj1, xj2,…, xjn. Получим, что неизвестные xj1, xj2,…, xjn могут принимать любые значения, подставив которые находим переменные xi1, xi2,…, xim. Тогда переменные xi будут называться базисными, а xj-свободными. В таком случае форма записи решения в виде системы базисных переменных, выраженных через свободные неизвестные, будет называться общим решением СЛУ.

 

 

22. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными методом Крамера. Понятия определителя системы т вспомогательного определителя.

Алгоритм решения

1. Вычисляем определитель основной матрицы системы  и убеждаемся, что он отличен от нуля.

     

2. Находим определители  
   которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменой k-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.

 

3. Вычисляем искомые неизвестные переменные x1, x2, …, xn по формулам  4. Выполняем проверку результатов, подставляя x1, x2, …, xn в исходную СЛУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества.

Основной определитель системы - это определитель составленный из коэффициентов стоящих при неизвестных.  
Вспомогательный определитель составляется из основного заменой первого столбика столбиком свободных членов. Вот так

23.Решение систем n-линейных уравнений с n неизвестными методом обратно матрицы. Схема решения СЛУ методом обратной матрицы.

Решение СЛУ методом обратной матрицы возможно только в том случае, если матрица невырожденная, т.е. ее определитель отличен от 0.

Пусть существует.

В матричной форме квадратная система имеет вид:

Anxm*Xmx1=Bnx1

Умножим обе точки слева на А-1.

А-1*A*X= А-1*B

X= А-1*B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Решение систем m линейных уравнений с т неизвестными методом Гаусса. Прямой и обратный ходы метода Гаусса.

При решении системы методом Гаусса, необходимо получить из векторов столбцов системы n различных единичных векторов. При этом свободные члены участвуют в преобразовании. Вектор столбец свободных членов в последующем столбце и есть решение системы уравнений.

Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса.

Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

 

25.Решение систем mлинейных уравнений с n неизвестными методом замещения.

Метод замещения основан на методе Гаусса. Этот метод состоит в преобразовании расширенной матрицы системы вида, при котором образуется единичная матрица.

Т.Е. нужно брать строку или столбец и постепенно приводить все числа к НУЛЯМ, вычеркивая некоторые строки. В итоге из свободных членов получается решение

 

26.Однородные СЛУ. Критерий наличия ненулевого решения ОСЛУ. Следствия теоремы.

Однородной системой m линейных уравнений с n переменными называется система вида

ОСЛУ:

1)всегда совместны - имеет хотя  бы 1 решение т.к. всегда существует  по крайней мере 1 решение тривиальное (нулевое) x1=x2=...=xn=0

Критерий: Квадратная однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициента системы равен 0, т.е. ранг матрицы меньше числа неизвестных.

Следствия:

1. Ранг основной матрицы должен быть меньше числа неизвестных.

2. Определитель должен быть равен 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27. Решение ОСЛУ. Свойства решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений. Правило нахождения ФСР ОСЛУ.

Решение ОСЛУ называется n-ka чисел , которая при подстановке в систему обратят ее в верное уравнение числовое свойство решения.

Свойства:

• Сумма двух решений ОСЛУ также является решением этой системы.
• Произведение ОСЛУ на число, также является решением ОСЛУ.
• Любое решение ОСЛУ представлено в виде линейной комбинации нескольких решений, образующими и называемых фундаментальной системой решений.

ФСР однородной системы называется n-ч линейно независимых решений этой же системы.

Правило нахождения ФСР ОСЛУ.

1)преобразовать систему используя  метод Ж.Гаусса к трапецеидальному виду.

2)определить ранг системы и количество свободных неизвестных.

3) построить общее решение системы.

4) построить векторы ФСР используя  следующие правила:

* первую свободную неизвестную  приравнять к единице, остальные  к нулю, и получить первый вектор ФСР.

* Вторую свободную неизвестную  приравнять к единице, остальные  к нулю.

* Записать любое частное решение  системы через линейную комбинацию  ФСР.

 

28. Структура общего решения неоднородной СЛУ через соответствующую ей систему однородных уравнений.

Принцип присоединенной системы:

Этот принцип используется для построения любого решения неоднородной системы линейных уравнений.

Пусть задана неоднородная СЛУ. Чтобы получить любое решение данной системы необходимо:

Преобразовать систему и получить общее решение однородной системы. Строим ФСР и ОСЛУ. Тогда любое частное решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородно системы + частное решение однородной системы, представленной в векторной форме. Найти общее решение системы в векторной форме.

 

29. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Пусть задана некоторая матрицы А.

Число λ называется собственное значение квадратной матрицы А порядка n, если можно подобрать нулевой n-мерный вектор х таким, что Ах=λх.

Получается уравнение вида:

Таким образом, чтобы найти собственное значение квадратной матрицы А, нужно построить:

1. А-λЕ (построить матрицу)
2. А-λЕ (найти определитель)
3. А-λЕ  =0 (решить уравнение)

Если λ является собственным значением, то соответствующий ему ненулевой вектор х для каждого выполняющего Ах=λХ называется собственным вектором, соответствующие этому значения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30. Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Число z=x+iy называется комплексным числом, где х и у некоторые действительные числа, i-мнимая единица, величина которой равна i2=-1.

х-действительная часть комплексного числа.

у-мнимая часть комплексного числа.

Комплексное число может быть целиком действительным или мнимым, если одна из частей =0.

Запись комплексного числа z в виде x+iy, где x и y принадлежит R, называется алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами:

•       Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется число z=x+iy комплексным числом, где действительная часть = сумме действительных частей слагаемых, а мнимая часть=сумме мнимых частей слагаемых.

•        Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число, которое получается следующим образом:

Произведением чисел   называется число   такое, что справедливы равенства  ,  Обозначение:  .

• Чтобы найти частное отделение, необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю.

Частным от деления числа   ( ) называется число z, такое, что справедливо равенство  . Обозначение:  .

• Разностью комплексных чисел   называется число   такое, что справедливы равенства  ,  , т.е.

 

31. Комплексная плоскость. Взаимосвязь между комплексными числами и точками комплексной плоскости.

Комплексные числа и точки комплексной плоскости находятся во взаимосвязи, т.е. каждому комплексному числу становится в соответствии единственной плоскости и наоборот.

Комплексная плоскость — это двумерное вещественное пространство R2, которое изоморфно полю комплексных чисел C. Каждая точка такого пространства — это упорядоченная пара вида (x,y), где x и e — вещественные числа, и где первый элемент пары соответствует вещественной части, а второй элемент пары соответствует мнимой части комплексного числа z=x+iy.

 

32. Тригонометрическая фома комплексного числа. Модуль комплексного числа. Аргумент. Тригонометрическая форма:

Модулем комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости.

Модулем комплексного числа (r) называется величина равная .

Модуль определяется однозначным решением системы.

Аргумент комплексного числа-угол между вектором Oz и направлением оси Ox.

 

 

33. Возведение в степень комплексных чисел. Формула Муавра-Лапласа.

При возведении в степень можно пользоваться формулами сокращенного умножения, помня что:

i1=i

i2=-1

i3=-i

i4=1

Возводить в степень и извлекать корень из комплексного числа можно используя тригонометрическую формулу.

При возведении комплексного числа в любую целую степень модуль комплексного числа возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула Муавра для комплексных чисел   утверждает, что для любого 

 

34. Понятие вектора. Координаты. Модуль. Направляющие косинусы.

Вектором на плоскости называется направленный отрезок, характеризующийся направлениями и длиной вектора.

Направление вектора определяется координатами данного вектора.

Радиус-вектор называется вектор с началом в начале вектора А.

Длина вектора или его модуль определяются:

Направление вектора в пространстве определяется углами α, β, γ, которые вектор составляет с осями координат. Косинусы этих углов cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора.

 

35.Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Скалярным произведением двух векторов а и в будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженного на косинус угла между ними:

.

Углом между двух векторов, отложенных от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

 

36. Коллинеарные векторы. Ортогональные векторы. Условие ортогональности векторов.

Векторы А и В называются коллинеарными, если они одинаково направленны или противоположно направлены, т.е. имеют одинаковые направляющие косинусы (если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой).

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°.

Условие ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю.

a · b = 0

 

 

 

 

 

 

37.Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл производной.

Общее уравнение прямой на плоскости: ax+by+c=0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+m.

 

38. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

 

39. Уравнение прямой в отрезках:

 

40. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Угол между прямыми:

Пусть заданы две прямые: 

L1: y=kx1+m1

L2: y=kx2+m2

Чтобы найти угол между данными прямыми найдем tgα.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых:

• Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов

k1=k2

• Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в выполнении равенства:

a1a2+b1b2=0

 

41. Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Расстояние от точки до прямой:

 

42.Окружность. Уравнение окружности.

 Окружность с центром в точке О1 (x0;y0)-геометрическое место точек, равноудаленных от центра.

Уравнение окружности:

 где R-радиус окружности.

Если центр окружности – начало координат, то:

 

 

 

 

 

 

 

43. Эллипс-множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных фиксированных точек, называющих фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса:

, где a и b полуоси эллипса.

Для определения положения фокуса необходимо найти фокусное расстояние: с2=a2-b2, если a>b.