Автор работы: Пользователь скрыл имя, 30 Октября 2014 в 08:53, курсовая работа
Термин «топология» происходит от греческих слов «топос» (расположение) и «логос» (учение). Введением этого слова математика обязана Листингу (1808 – 1882), который результаты своих исследований собрал в работе «Начальные исследования по топологии» (1847). Листинг определял топологию как область математики, в которой изучается расположение в пространстве точек, линий, плоскостей, а также развиваются методы исследования фигур, их формы взаимного расположения.
Введение 3
Глава 1 Основные теоретические сведения 4
1.1 Топологическое пространство 4
1.2 База топологии 4
1.3 Метрическое пространство 4
1.4 Связность 5
1.5 Линейная связность 5
1.6 Хаусдорфовость 5
1.7 Компактность 5
Глава 2 Стрелка Зоргенфрея 6
2.1 Доказательство топологичности стрелки Зоргенфрея 6
2.2 База топологии стрелки Зоргенфрея 6
2.3 Метризуемость и хаусдорфовость 7
2.4 Связность, линейная связность стрелки 7
2.5 Компактность стрелки Зоргенфрея 7
Глава 3 Прямая Зоргенфрея 8
3.1 Топологичность прямой Зоргенфрея 8
3.2 База топологии прямой Зоргенфрея 8
3.3 Метризуемость, хаусдорфовость, связность, линейная связность прямой Зоргенфрея 8
3.4 Прямая Зоргенфрея – не компактна………………………….. 11
Заключение 12
Литература
Значит (В, τ) является топологическим пространством.
3.2 База топологии прямой Зоргенфрея
Множество D, состоящее из Ø, является базой топологии τ. Для любой точки х из В и любой окрестности Ох выполняется условие: Действительно, для любого полуинтервала и любого интервала, содержащего и являющегося его окрестностью, на действительной прямой можно найти полуинтервал :
.
Тогда любой элемент из топологии τ можно представить в виде объединения элементов из D:
- - покрытие множества В
- , где
- , где - элементы из τ, также можно представить в виде объединения D, т.к. каждый элемент данного объединения можно представить в виде объединения элементов из D.
3.3 Метризуемость, хаусдорфовость, связность и линейная связность прямой Зоргенфрея
Рассуждая аналогично параграфам 2.3, 2.4, получим следующие выводы.
- Прямая Зоргенфрея не метризуема, что следует из неотделимости.
- Прямая Зоргенфрея обладает свойствами связности и линейной связности.
3.4 Прямая Зоргенфрея – не компактна
Чтобы пространство В было компактным, надо чтобы любое покрытие этого пространства открытыми множествами содержало конечное подпокрытие.
Но для прямой Зоргенфрея можно найти такое покрытие, которое конечным подпокрытием не обладает. Например, покрытие всевозможными открытыми промежутками вида . Значит прямая Зоргенфрея – не компактное топологическое пространство.
Заключение
Данная работа посвящена топологии и некоторым топологическим свойствам множеств.
Дается краткая историческая справка о возникновении и развитии топологии, о математиках, внесших вклад в эту науку.
В первой главе перечислены основные теоретические сведения, используемые для доказательства в последующих главах.
Теоремы и критерии первой главы приводятся без доказательств. Их доказательства можно найти в литературе, список которой перечислен ниже.
Во второй и третьей главах исследуются на наличие основных топологических свойств конкретные множества: стрелка и прямая Зоргенфрея.
Вся работа базируется на понятии топологической структуры в множестве, исходя из аксиоматики открытых множеств, которая лежит в основе таких топологических свойств, как связность и компактность.
Может быть полезна, дальнейшие исследования в области
Литература: