Стрелка и прямая Зоргенфрея

Содержание

Введение 3

Глава 1    Основные теоретические сведения 4

 

1. Топологическое пространство 4
2. База топологии 4
3. Метрическое пространство 4
4. Связность 5
5. Линейная связность 5
6. Хаусдорфовость 5
7. Компактность 5

 

Глава 2    Стрелка Зоргенфрея 6

1. Доказательство топологичности стрелки Зоргенфрея 6
2. База топологии стрелки Зоргенфрея 6
3. Метризуемость и хаусдорфовость 7
4. Связность, линейная связность стрелки 7
5. Компактность стрелки Зоргенфрея 7

 

Глава 3    Прямая Зоргенфрея 8

1. Топологичность прямой Зоргенфрея 8
2. База топологии прямой Зоргенфрея 8
3. Метризуемость, хаусдорфовость, связность, линейная связность прямой Зоргенфрея  8
4. Прямая Зоргенфрея – не компактна………………………….. 11

Заключение 12

Литература 13

 

Введение

 

Термин «топология» происходит от греческих слов «топос» (расположение) и «логос» (учение). Введением этого слова математика обязана Листингу (1808 – 1882), который результаты своих исследований собрал в работе «Начальные исследования по топологии» (1847). Листинг определял топологию как область математики, в которой изучается расположение в пространстве точек, линий, плоскостей, а также развиваются методы исследования фигур, их формы взаимного расположения.

Однако первые идеи зарождающейся топологии были высказаны еще Лейбницем (1646 – 1718) в его работе «Analysis Situs». Он говорил о существовании новой геометрии, которую называл геометрией положения.

Вклад в развитие этой науки внесли многие математики всего мира. Эйлер в 1752 году сформулировал теорему о соотношении между числами вершин, ребер и граней произвольного многогранника: α0 – α1 + α2 = 2. Кэли и Мебиус развили эту идею, а Листинг обобщил теорему (была получена аналогичная формула для тора). На рубеже XVIII – XIX в.в. Гаусс исследовал вопрос о пересечении кривых линий, их форме, строении, взаимном расположении. Затем Риман, Жордан и другие рассматривали кривые поверхности, классифицировали их. Введение числовой характеристики многообразия (1870) принадлежит Бетти. А теоретический фундамент топологии уже в XX веке создали Кантор и Пуанкаре. Работы в этой области ведутся и сейчас. Американские математики К. Аппель и В. Хейкен с помощью ЭВМ решают топологические задачи, поставленные еще в XVIII – XIX  в.в.

В данной работе будут подробно рассмотрены особые множества, которые называются стрелка и прямая Зоргенфрея. Эти множества будут исследованы на выполнимость основных топологических свойств: компактность, связность, линейная связность, метризуемость и др.

Цель, задачи….

Структура

 

Глава 1 Основные теоретические сведения.

 

1.1 Топологическое пространство

Пусть Х – произвольное множество. Топологией во множестве Х называется совокупность Ω его подмножеств, для которых выполнены три условия:

1. Объединение любого семейства множеств, принадлежащих совокупности Ω, также принадлежит совокупности  Ω;
2. пересечение любых двух множеств, принадлежащих совокупности Ω, также принадлежит совокупности Ω;
3. пустое множество Ø и все множество Х принадлежат совокупности Ω.

Множество Х с выделенной топологической структурой Ω называется топологическим пространством и обозначается (Х, Ω). Элементы множества Х называются точками пространства (Х, Ω). Множества, входящие в выделенную совокупность Ω, называются открытыми в Х множествами.

 

 

 

1.2 База топологии

Пусть (Х, Ω) – топологическое пространство. Семейство открытых подмножеств из Х называется базой топологии Ω, если для каждой точки и любой ее окрестности Вх выполняется следующее условие:

.

Теорема 1. Подмножество В топологии Ω является базой этой топологии тогда и только тогда, когда каждый элемент из Ω является объединением элементов из В.

Теорема 2. Семейство В множеств является базой топологии на множестве

 тогда  и только тогда, когда для любых  двух элементов  и любой точки существует элемент , такой, что .

 

 

 

1.3 Метрическое пространство

Пусть М – произвольное множество. Метрикой в множестве М называется такая вещественная функция ρ,определенная на множестве всевозможных пар элементов множества М:

 

, ,

что выполнены четыре условия:

1. ;
2. , ;
3. ;
4. .

Множество М с фиксированной метрикой  ρ называется метрическим пространством и обозначается (М, ρ) или просто М, если ясно, о какой метрике идет речь. Элементы множества М называются точками пространства (М, ρ) . Значение метрической функции ρ на паре элементов х,у называется расстоянием между точками х и у. Условия а) – г) называются аксиомами метрики. Они выражают основные свойства расстояния:

а) Неотрицательность: расстояние между двумя точками всегда неотрицательно.

б) Аксиома тождества: расстояние между точками равно нулю тогда и только тогда, когда точки совпадают.

в) Симметричность: расстояние от точки х до точки у равно расстоянию от точки у до точки х.

Условие г) называется неравенством треугольника, поскольку оно аналогично тому факту, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

 

 

 

1.4 Связность

Топологическое пространство называется связным, если его нельзя разбить на два непустых открытых множества. В противном случае оно называется несвязным. Таким образом, пространство Х несвязно, если в нем найдутся два непустых открытых множества U и V, которые не пересекаются, а в объединении дают все пространство Х (рис.):

 

Теорема. Объединение двух связных множеств, имеющих по крайней мере одну общую точку, связно.

Компонентой связности называют максимальное связное подмножество топологического пространства.

 

 

 

1.5 Линейная связность

Топологическое пространство называется линейно связным, если любые две его точки можно соединить путем.

Компонентой линейной связности пространства Х называется всякое его линейно связное подмножество, не содержащееся ни в каком строго большем линейно связном подмножестве пространства.

Критерий линейной связности. Пусть в топологическом пространстве Х каждая точка обладает линейно связной окрестностью. Тогда

1. компоненты пространства Х являются одновременно его линейно   связными компонентами;
2. если пространство Х связно, то оно и линейно связано;
3. компоненты пространства Х открыты в нем.

 

 

 

1.6 Хаусдорфовость

Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями:

  , , .

Утверждение: всякое метрическое пространство М хаусдорфово.

 

 

 

1.7 Компактность

Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

 

Глава 2 Стрелка Зоргенфрея.

 

2.1 Доказательство топологичности  стрелки Зоргенфрея

Назовем множеством Х полуинтервал [0,1) и рассмотрим систему В его подмножеств, такую, что . Эта система В называется стрелкой Зоргенфрея.

Зададим топологию τ. Пусть она состоит из Ø, В, всевозможных полуинтервалов , где , и их объединений. Докажем, что стрелка является топологическим пространством. По определению параграфа 1.1 надо проверить выполнимость трех условий:

1. объединение любого семейства полуинтервалов , где из τ является либо также полуинтервалом указанного вида, либо их объединением, либо множеством В. А значит также принадлежит топологии τ.
2. пересечение двух полуинтервалов из τ:

 

также принадлежит топологии τ.

3. пустое множество Ø и все множество В принадлежит τ по заданию топологии.

Из этого следует, что (В ,τ) является топологическим пространством. При этом множества из τ: Ø, В, , при , и их объединения называются открытыми. А замкнутыми являются множества, дополнение к которым открыто. То есть в нашем случае Ø, В, , где , и их объединения – замкнуты. Мы пришли к выводу, что все элементы стрелки Зоргенфрея являются открыто-замкнутыми.

 

 

 

2.2 База топологии стрелки  Зоргенфрея

Пользуясь определением параграфа 1.2, семейство открытых подмножеств из В является базой топологии и состоит из Ø, В, , где . При этом каждый элемент из τ можно представить в виде объединения элементов из D, т.е. D – покрытие множества В, .

Возьмем в пересечении элемент , где , , .

Если , то      , , и тогда   (здесь обозначения взяты из теоремы 2 параграфа 1.2).

Для непустого пересечения существует элемент , что выполняется:

 (см. рис.).

Этим мы доказали существование базы D у стрелки Зоргенфрея.

 

 

 

2.3 Метризуемость и хаусдорфовость

Исследуем стрелку на метризуемость. В учебном пособии А.Д.Александрова доказывается утверждение параграфа 1.6. Поэтому в первую очередь рассмотрим это пространство на наличие у него свойства отделимости.

Воспользуемся определением хаусдорфова топологического пространства. Возьмем две точки пространства В, так чтобы их пересечение не было пусто: . Тогда очевидно, что их окрестности будут пересекаться. А свойство хаусдорфовости требует, чтобы у любых двух различных точек существовали непересекающиеся окрестности. То есть стрелка Зоргенфрея таким свойством не обладает.

По закону логики: . Значит утверждение из учебника Александрова можно записать так: не хаусдорфово пространство не метризуемо. Так мы сразу получаем, что и наше топологическое пространство – не метризуемо.

 

 

 

2.4 Связность, линейная связность  стрелки

Стрелка Зоргенфрея – это множество, состоящее из всевозможных полуинтервалов , где , каждый из которых связен. Доказательство связности стрелки опирается на теорему параграфа 1.4.

Для любого элемента из стрелки Зоргенфрея мы можем подобрать другой элемент из стрелки, такой, что они будут пересекаться, т.е. имеют общую точку. Тогда их объединение также будет связным. Далее уже для этого объединения найдем элемент из В, чтобы их пересечение не было пусто, а тогда объединение будет связным. Так будем перебирать все элементы стрелки Зоргенфрея. В конце концов получим, что объединение всех полуинтервалов , где , а значит стрелка связна. Это множество нельзя разбить на два непустых открытых множества, которые не пересекаются, а в объединении дают все пространство В.

Исследуем стрелку Зоргенфрея на более сильное свойство – линейную связность. Воспользуемся критерием параграфа 1.5.

В нашем топологическом пространстве каждая точка обладает линейной связностью и имеет линейно связную окрестность. Выше было доказано, что множество В связно, а значит оно и линейно связно. Компоненты пространства В (а их всего одна) являются одновременно его линейными компонентами.

 

 

 

2.5 Компактность стрелки  Зоргенфрея

Предположим, что стрелка Зоргенфрея не является компактным пространством. Тогда по определению параграфа 1.7 существует такое покрытие этого пространства открытыми множествами, из которых нельзя выбрать конечное подпокрытие. Пусть - это покрытие, т.е. , .

Рассмотрим . Множества открыты и образуют покрытие пространства . То есть является полуоткрытым. Получили противоречие, значит предположение неверно. Стрелка Зоргенфрея – компактное топологическое пространство.

 

Глава 3 Прямая Зоргенфрея.

 

3.1 Топологичность прямой Зоргенфрея

Рассмотрим всю числовую прямую , а в качестве системы В рассмотрим множество полуинтервалов . Это числовое множество называется прямой Зоргенфрея. Оно является топологическим пространством с топологией τ, состоящей из Ø, В, всевозможных полуинтервалов и их объединений.

Доказательство по определению параграфа 1.1.

1. Объединение любого семейства элементов из τ принадлежит τ: объединение Ø с любым семейством других элементов из топологии τ дает именно это семейство, объединение всего множества В с каким-либо элементом из τ дает множество В, объединение любого семейства полуинтервалов дает новый полуинтервал, либо объединение полуинтервалов. Результаты всех рассмотренных случаев принадлежат τ.
2. Пересечение двух элементов из τ принадлежит τ: пересечение пустого множества Ø с любым элементом из τ дает этот элемент,