Роль математики в современном естествознание

Используя математические методы исследования науки должны учитывать  возможности математики, считаясь с  границами ее применимости. Имеется  в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод  на язык количественных описаний не дает прироста информации.

Итак, математика играет важную роль в качестве языка, особых методов  исследования, источника представлений  и концепций в естествознании.

Математика как специфический  язык естествознания.

" ... Все законы выводятся  из опыта. Но для выражения  их нужен специальный язык. Обиходный  язык слишком беден, кроме того, он слишком неопределен для выражения столь богатых содержанием точных и тонких соотношений. Таково первое основание, по которому физик не может обойтись без математики; она дает ему единственный язык, на котором он в состоянии изъясняться".

Во многих случаях математика  играет роль  универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений.

Естествознание все шире использует математику для объяснения природных явлений. Есть несколько  направлений математизации естествознания:

• Количественные анализ и формулировка качественно установленных фактов и законов;
• Построение математических моделей, создание математической физики, математической биологии и т.д.
• Построение и анализ конкретных научных теорий, в том числе их языка.

Естественный язык оперирует  качественными понятиями (характеризуют  качества предметов и явлений), математический язык отличается от него. Изучение новых  вещей и явлений начинается с  их качественного описания, затем  образовывают сравнительные понятия, выражая интенсивность какого-либо свойства с помощью чисел. Когда  интенсивность уже можно измерить, а это значит, представить в  виде отношения данной величины к  однородной величине, взятой в качестве единицы измерения, тогда появляются количественные понятия. Именно с ними часто связан прогресс в научном  познании. Количественный язык развивает  и уточняет обычный язык, основывающийся на качественных понятиях. Это значит, что количественные и качественные методы не взаимоисключающие, а взаимодополняющие.

Количественные язык и  понятия стали осознанно применяться  после появления экспериментального естествознания, до этого они использовались, но несистематически. Г.Галилей первый использовал язык количественных понятий вместе с экспериментальным методом исследования.

Плюс количественного  языка математики в том, что он краток и точен. Сравнивать или измерять что-то в числах гораздо проще, чем  описывать словами. Символы жестко привязаны к значениям, не допуская разночтений, интерпретаций и объяснений. С этой целью используются такие  математические методы как дифференцирование, интегрирование, функциональный анализ и другие.

Еще одним преимуществом  является то, что с помощью математического  языка можно точно сформулировать количествнные закономерности, которые характеризуют изучаемые явления, и то, что точная формулировка законов и научных теорий на математическом языке позволяет применить богатый математический и логический аппарат при получении из них следствий.

Все выше сказанное позволяет сделать вывод, что в любом процессе научного познания язык качественных описаний и количественный язык математики сильно взаимосвязаны. Эта взаимосвязь ясно прослеживается в сочетании и взаимодействии естественно-научных и математических методах исследования. Чем лучше мы знаем качественные особенности явлений, тем успешнее можем использовать для их анализа количественные математические методы исследования, а чем более совершенные количественные методы применяются для изучения явлений, тем полнее познаются их качественные особенности.

Математика играет важную роль в естествознании. Назовем некоторые  её функции:

• Функция универсального языка: язык, предназначенный для краткой, ёмкой и точной записи разных утверждений. То, что описано на математическом языке, можно перевести на обычный, но описание может оказаться слишком длинным и запутаным;
• Функция источника моделей, алгоритмических схем для отображения связей, процессов и отношений, из которых состоит предмет естествознания. Идеализируя исследуемый объект или явление, математическая модель или схема упрощает его и это позволяет выявить суть объекта или явления.

Математическая гипотеза – это метод естественно-научного познания, который основывается на повторении общих свойств реального мира, отраженных в математических формулах и уравнениях. В математической гипотезе к готовым математическим формам стараются подобрать конкретное содержание, подставляя в подходящее уравнение из смежных областей науки величины другой природы, а после этого проверяют на совпадение с характеристиками изучаемого предмета. С помощью этого метода Шрёдингер описал основные законы квантовой механики: приняв волновую гипотезу движения элементарных частиц, он отыскал уравнение, не отличающееся формально от уравнения классической физики колебаний нагруженной струны и дал его членам совершенно другое толкование(квантово-механическое). Так Шрёдингер получил волновой вариант квантовой механики.

Применение математики в разных отраслях естествознания.

Математика - наука о  количественных отношениях действительности. Математика является междисциплинарной  наукой, её результаты используются в  естествознании и общественных науках.

Известный математик, академик Б. Гнеденко, считая, что роль математики не ограничивается функцией аппарата вычисления, подчеркивал, что математика - определенная концепция природы. Математические методы применяются в физике, химии, в высокоматематизированных отраслях биолигии и многих других науках. По мнению академика А.Н.Колмогорова, область применения математического метода не ограничена, но в разных отраслях естествознания роль и значение математического метода различны. Выявить качественную однородность групп объектов и явлений сложно, а математические методы как раз основываются на однородных объектах, которые можно количественно и структурно сравнить. Поэтому трудно получить математические формулы и уравнения для объектов естествознания. Чем более различны объекты и явления, тем труднее они поддаются математизации.

Очень внушительный обзор мощных средств, которыми располагают  сегодня физики благодаря изобретательной  деятельности математиков прошлых  столетий, представлен в великолепном трактате Куранта и Гильберта  о методах математической физики. В этом труде ясно излагаются логические обобщения, оказавшиеся исключительно плодотворными не только для изучения разнообразнейших проблем в рамках классической физики, но и способствовавшие прояснению новых вопросов, с которыми мы столкнулись в ходе современного развития физической науки.

Из аналитической  геометрии Декарта возник очень  удобный математический инструмент в виде дифференциального исчисления, в которое сам Ньютон, в равной мере выдающийся физик и математик, внес столь фундаментальный вклад.

Это революционное  развитие породило чрезвычайно тесную связь между физическими и  математическими исследованиями; открытия в физике стимулировали работу математиков, а математические абстракции и обобщения  в свою очередь способствовали прояснению физических проблем. В качестве типичного  примера можно вспомнить, как  изучение явления теплопроводности побудило Фурье заняться разработкой  гармонического анализа, который до наших дней остается важным разделом чисто математических исследований и в то же время оказывается  все в большей степени незаменимым  инструментом во многих областях физики. Также можно упомянуть взаимосвязь  между фундаментальными результатами Фарадея в области электричества  и магнетизма и теорией Максвелла  электромагнитных полей, которая вызвала  развитие таких математических дисциплин, как векторный и тензорный  анализ, оказавшихся столь полезными  во многих разделах физической науки.

Математический метод  является основополагающим в небесной механике, например, в учении о движении планет. Закон всемирного тяготения  имеет очень простое математическое выражение и практически полностью  определяет исследуемый в этой области  круг явлений. Все результаты, которые  были получены на основе математического  метода, имеют высокоточное подтверждение  в реальности.

Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может  количественно описать явление, но и главный источник представлений  и принципов, на основе которых зарождаются  новые теории". Основная трудность  исследования – это выбор предпосылок  для математической обработки и  истолкование результатов, полученных математическим путём.

Математические методы широко используются и в химии, т.к. все химические элементы обладают общей  характеристикой – атомным весом. Сравнивая элементы по этому признаку, Д.И.Менделеев построил Периодическую  систему элементов. Применение математических методов в химии основывается на выделении общих свойств химических веществ и соединений.

Из-за специфических свойств систем, изучаемых в биологических науках и науках о Земле математические методы в этих областях часто играют подчиненную роль. Математизировать эти науки сложно, т.к. сложно найти качественную однородность данных систем. Дело обстоит проще в таких областях как геофизика, биофизика и пр., т.к. они опираются на изучение физических основ природных явлений.

Огромные успехи точных математических наук привели к появлению  среди ученых, особенно среди физиков, веры в то, что все реально наблюдаемое  в их опытах подчиняется законам  математики вплоть до мельчайших деталей. Установление математических законов, которым подчиняется физическая реальность, было одним из самых  поразительных чудесных открытий, сделанных  человечеством. Ведь математика не основана на эксперименте, а порождена человеческим разумом. Почему реально существующий мир должен подчиняться теории, математической структуре? Кант даёт такое объяснение: само наше восприятие выстраивает действительность, т. е. то, что отражается нашим разумом  и воспринимается как реальность, подчиняется математическим законам. Есть и другая идея: природа в  процессе эволюции вкладывает математику в наш разум как реально  существующую структуру, неотъемлемую от нее самой. Развитие наших способностей к абстрагированию и манипулированию  логическими символами должно быть ориентировано на реально существующие структуры реального мира.

"Вступая на проложенный  древними путь, скажем вместе  с ними, что если приступить  к божественному нам дано только через символы, то всего удобнее воспользоваться математическими из-за их непреходящей достоверности" (Н.Кузанский).

Наши геометрические и  логические возможности простираются далеко за пределы окружающего мира. А это означает, что реальный мир  подчиняется математическим законам  в значительно большей степени, чем нам известно сейчас. Но даже если эти структурные (математические) принципы экстраполируются все более  глубокими конструкциями и теоремами, то и в этом случае просто невероятно, чтобы действительность с исчерпывающей  полнотой отражалась математическими  конструкциями - от огромных космологических  размеров и до микрочастиц. Открытыми  остаются вопросы, как математика соотносится  с миром и дает возможность  познавать его; какой способ познания преобладает в математике - дискурсивный или интуитивный. По мнению В. Гейзенберга, "наиболее важными ему кажутся, прежде всего, математические законы природы, находящиеся за явлениями, а не сам многогранный мир явлений". Физику-теоретику нелегко с этим согласиться, но в эволюционной теории познания фактически неизбежно возникает предположение о том, что математические способности вида "хомо сапиенс" принципиально ограниченны, так как имеют биологическую основу и, следовательно, не могут полностью содержать все структуры, существующие в действительности. Иными словами, должны существовать пределы для математического описания природы.

По мнению некоторых  методологов, законы природы не сводятся к математическим соотношениям. Их надо понимать как любой вид организованности идеальных прообразов вещей. Есть три  вида организованности: простейший - числовые соотношения; более сложный - ритмика  первого порядка, изучаемая математической теорией групп; ритмика второго  порядка - "слово". Два первых вида организованности наполняют Вселенную  мерой и гармонией, третий вид - смыслом. В рамках этого объяснения математика занимает свое особое место в познании. "Чисто логическое мышление не может  принести нам никакого знания эмпирического  мира. Все познание реальности отправляется от опыта и возвращается к нему. Предложения, полученные при помощи чисто логических средств, при сравнении  с реальностью оказываются совершенно пустыми". (А.Эйнштейн).

В ходе изучения свойств  реальных объектов часто оказывается  так, что они приближенно соответствуют  аксиоматике того или иного раздела  математики (напр. положение небольшого тела можно приближенно описать, задав три его координаты, совокупность которых можно рассматривать  как вектор в трехмерном пространстве). При этом ранее доказанные в математике утверждения (теоремы) оказываются  применимыми к таким объектам.

Очевидно, что более простые  объекты нашего мира удовлетворяют  более простым системам аксиом, следствия  из которых математиками изучены  более полно. Поэтому естественные науки “низших” уровней оказываются  более математизированными.