Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка с использованием конечно-разностных уравнений

 

Отсюда согласно условиям (2), получим

                                 (12)

 

Линейная система (10), (12) состоит  из n+1 уравнений первой степени относительно неизвестных y₀, у₁ ,... , у_п. Для решения этой системы воспользуемся методом прогонки. Разрешая уравнение (10) относительно y_i ,будем иметь:

 

                                                     (13)

 

Предположим, что с помощью  полной системы (10), (12) из уравнения (13) исключена неизвестная у_i-1. Тогда это уравнение примет вид

 

                                       y_i= c_i(d_i — y_i+1)                                                                   (14)

 

где с_i, d_i (i= 1,2,..., п - 1) — некоторые коэффициенты. Отсюда

 

y_i-1= c_i-1(d_i-1 — y_i)

 

Подставляя это выражение  в уравнение (10), получим

 

 

и,  следовательно

                                       

                          (15)

 

Приравнивая левые части  формулы (14) и (15) и сравнивая коэффициенты при y_i+1 и свободные члены, получим для определения с_i и d_i рекуррентные формулы:

 

                   (16)

 

Определим теперь с₀ и d₀. Из первого краевого условия (5) получаем

С другой стороны, из формулы (14) при i=0 имеем

 

                                                    y₀= c₀(d₀ — y₁)                                                          (17)

 

Приравнивая левые части  двух последних выражений  и сравнивая коэффициенты при y₁ и свободные члены, находим

 

                               

                                       (18)

 

На основании формул (16), (18) последовательно определяются коэффициенты c_i , d_i (i = 1, 2 ,…,n-1) до c_n-1 и d_n-1 включительно (прямой ход).

 

Обратный ход начинается с определения у_п. Используя второе краевое условие (12) и формулу (14) при i=n-1, получим систему двух уравнений

 

                            (19)

 

Решим ее относительно у_п :

 

 

 

 

                                            

                                        (20)

 

Теперь по формуле (14) последовательно  находим y_n-1 , y_n-2, y_n-3, …,y₀.

Для контроля можно проверить  выполнение первого краевого условия. Вычисления удобно расположить в  виде таблицы 1.

 

Таблица 1                                                                                        Схема метода прогонки

i	0	1	2	…	n-2	n-1	n
ci	c0 (18)	c1	c2	…	cn-2	cn-1
di	d0 (18)	d1	d2	…	dn-2	dn-1
xi	x0=a	x1	x2	…	xn-2	xn-1	xn=b
yi	y0	y1	y2	…	yn-2	yn-1	yn (20)

 

 

Замечание.   Для простейших краевых условий у(а)=А, у(b) = В формулы для с₀, d₀, у₀ и у_n упрощаются. А именно, полагая α₀ = 1, α₁=0 и β₀ = 1, β₁ = 0, из формул (18) будем иметь: с₀= 0, d₀ = ∞, c₀d₀ = A.

 

 

Отсюда

 

                                                          (21)

 

Причем

 

                                            y_n=B,     y₀=A                                                                        (22)

 

Заметим, что метод прогонки обладает устойчивым вычислительным алгоритмом , т. е. ошибки округления не вызывают неограниченного возрастания погрешности решения.

 

 

 

Пример 1. Методом прогонки решить краевую задачу

 

                                                     

                                                        (23)

 

                                                               y(0)=0, y(1)=0                                                 (24)

 

Решение. Примем h = 0,1 и от уравнения (23) и краевых условий (24) перейдем к соответствующим конечно-разностным уравнениям

 

y₀=0,  y₁₀=0.

 

где m_i=-2-h²,    n_i=1,     . Cогласно формулам (21) имеем

c₁ = - 0,498,  d₁= - 0,001. Формулы (16)  в нашем случае дают

 

 

Найденные значения с_i и d_i (i = 1, 2, ... , 9) записываем в первых двух строках таблицы 62. Затем, используя формулу (14) и известное значение y₁₀ = 0, вычисляем y₉,  y₈, …,  y₁.

Для сравнения в последней строке таблицы 2 даны значения точного

решения

 

Таблица 2                                 Решение краевой задачи (23) — (24) методом прогонки

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ci	0	-0,498	-0,662	-0,878	-0,890	-0,900	-0,908	-0,915	-0,921	-0,926
di		0,001	0,002	0,004	0,008	0,012	0,016	0,022	0,028	0,035
yi	0	-0,025	-0,049	-0,072	-0,078	-0,081	-0,078	-0,070	-0,055	-0,032	0
	0	-0,015	-0,029	-0,041	-0,050	-0,057	-0,058	-0,054	-0,044	-0,026	0

 

 

При требовании повышенной точности приходится применять более  громоздкие приемы или вводить соответствующие  поправки.  В частности, этот метод дает более точные результаты, если при переходе от краевых условий (2) к конечно-разностным соотношениям воспользоваться трехчленными формулами для производных в точках х = а и х =b

 

 

Тогда из краевых условий (2) будем иметь

 

(27)

 

Для вычисления с₀ и d₀ берем первое краевое условие (27) и уравнение

 

 

взятое из системы (3) при  i=1.

Исключая у₂ из этих двух уравнений, находим

 

                                                                              (28)

 

где . С другой стороны, из формулы (14) при i = 0 имеем

 

y₀=c₀(d₀-y₁).

 

Сравнивая последнее равенство  с (28), получаем

•                                        (29)

По известным значениям  с₀ и d₀ последовательно определяются коэффициенты c_i , d_i (i = 0, 1, …, п—1) до с_п-₁ и d_n-1 включительно (см. формулы (16)).

Обратный ход начинается с определения у_п.

Используя второе краевое  условие (27) и формулы (14), взятые при

i=n - 2 и i=n-1, получим систему трех уравнений

 

                                                               (30)

 

Решая эту систему относительно у_п, будем иметь

 

                                   (31)

 

Теперь по формулам (14) последовательно  находим y_n-1, y_п-2,…,y₀

Вычисления и в этом случае располагаем в виде таблицы 1.              [1]

 

2. Разработка блок- схемы

2.1Алгоритм

1)Вывод на экран исходных данных и вычисление шага;

 

2)Получение системы  при помощи конечно-разностных  уравнений и вывод  этой системы на экран;

 

3)Осуществление метода  прогонки;

 

4)Вывод  конечного   решения  системы на экран; 

 

 

 

2.2Блок – схема

 

Рис 6. Блок-схема программы

3. Отладка программы

3.1Код программы

program Project1;

 

{$APPTYPE CONSOLE}

 

uses

  SysUtils,

  Math;

 

const n=9;                // количество отрезков разбиения (отсчет начинается с нуля)

const a=0.7;             // начало отрезка 

const b=1;                // конец отрезка

const k0=1;              // α₀ формула (2)

const k1=0;              //α₁ формула (2)

const k2=0.5;        // А формула (2)

const q0=2;             // β₀ формула (2)

const q1=3;             // β₁ формула (2)

const q2=1.2;          // B формула (2)

 

var h:real;

var c:array[0..n] of real;

var d:array[0..n] of real;

var x:array[0..n] of real;

var y:array[0..n] of real;

var m:array[0..n] of real;

var l:array[0..n] of real;

var fi:array[0..n] of real;

var i:integer;

 

function p(x:real):real;

begin

  p:=1/x;                   // p(x) формула (1)

end;

 

function q(x:real):real;

begin

 q:=2;                      // q(x) формула (1)

end;

 

function f(x:real):real;

begin

 f:=x;                       // f(x) формула (1)

end;

 

begin

  h:=(b-a)/n;             // вычисление шага

  writeln('Differencial`noie uravnenie imeet vid: y"+p(x)*y`+q(x)*y=f(x)');    // вывод начальных условий на экран

  writeln('p(x) = 1/x , q(x)=2, f(x)=x');

  writeln;

  writeln('',k0,'*y(',a:2:1,') + ',k1,'*y`(',a:2:1,') = ',k2:1:1);

  writeln('',q0,'*y(',b,') + ',q1,'*y`(',b,') = ',q2:1:1);

  writeln;

  writeln('*******************************************************************"');

   // Получение системы конечно-разностных  уравнений        

  for i:=0 to n do

  begin

    x[i]:=a+i*h; // разбиение [a;b] на отрезки длиной h

    fi[i]:=f(x[i])/(1+p(x[i])*h/2);                                         // вычисление      формула (11)

    l[i]:=(1-p(x[i])*h/2)/(1+p(x[i])*h/2);                           // вычисление n_i формула  (11)

    m[i]:=(-1)*(2-q(x[i])*h*h)/(1+p(x[i]*h)/2);               // вычисление m_i формула (11)

  end;

  writeln('Sistema imeet vid:');                                       // Вывод системы на экран

  for i:=1 to (n-1) do writeln('y[',i+1,'] + (',m[i]:2:4,')*y[',i,'] + ',l[i]:2:4,'*y[',i-1,'] = ',fi[i]*h*h:2:4);

  writeln('',k0,'*y[0] + ',(k1/h):2:2,'*(y[1]-y[0]) = ',k2:1:1);

  writeln('',q0,'*y[0] + (',(q1/-h):2:2,')*(y[',n-1,'] - y[',n,']) = ',q2:1:1);

  writeln;

 

                                                // Осуществление метода прогонки        

     // прямой ход

 

  if ((k0*h-k1)<>0) then c[0]:=k1/(k0*h-k1)                      // вычисление с₀ формула (18)

  else c[0]:=0;

  if (k1<>0) then d[0]:= k2*h/k1                                          // вычисление d₀ формула (18)

  else d[0]:=0;

  for i:=1 to (n-1) do

  begin

    c[i]:=1/(m[i]- l[i]*c[i-1]);                                                  // вычисление с_i формула  (16)

    d[i]:=fi[i]*h*h - l[i]*c[i-1]*d[i-1];                                   //  вычисление d_i формула  (16)

    if (k1=0) then d[1]:=fi[1]*h*h - l[1]*k2/k0;