Автор работы: Пользователь скрыл имя, 20 Июня 2014 в 14:18, курсовая работа
Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуитивно.
Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики.
Введение
1.Понятие производной
1.2. Физический смысл производной
2. Правило дифференцирования
3 Производные высших порядков
4.Изучение функции с помощью производной. Возрастание и убывание функции.
5. Применение производной физике
6. Применение производной в алгебре
6.1. Применение производной к доказательству неравенств
7. Заключение
Литература
(7).
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию . При имеем:
Следовательно, убывает на , т.е. при значит, (8),
Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3: Пусть функция непрерывна на и пусть имеется такая точка с из , что на и на . Тогда при любом х из справедливо неравенство причем равенство имеет место лишь при .
Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство:
Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную:
.
Видно, что на и на . Следовательно, в силу теоремы 3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при .
7.Заключение
Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит интерес к производной.
Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0
Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.
Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.
Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).
Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем
Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.
Литература
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1967, т.1-3.
Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения.- Минск: Вышэйшая школа, 1982.-272с.
Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987.-160с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 1989, т. 1-3.