Применение кубатуры для регуляризации задачи идентификации значения оператора Лапласа

 

Определение 1. Пусть имеем уравнение , где , – банаховы пространства и – множество всех решений, Элемент называется нормальным решением уравнения , если     .

Определение 2. Пусть имеем уравнение , . Уравнение может не иметь решений, но существует точка минимума задачи

,

Тогда называется псевдорешением.

Из определения 2 следует, что  псевдорешение доставляет минимум невязке . Если уравнение (2) имеет точное решение, то этот минимум равен нулю и поэтому совокупность всех псевдорешений совпадает с совокупностью точных решений. Если уравнение (2) имеет единственное точное решение, то псевдорешение также единственное, и оно совпадает с точным. Среди псевдорешений выбирают наименьшее по норме.

Определение 3.  Псевдонормальное решение это .

Методы приводящие к приближенному построению псевдонормального решения, в том или ином случае приводят к точному решению. В общем случае, многие задачи, не имеющие точных решений, имеют единственное нормальное псевдорешение.

На практике уравнение (1) часто задается  с приближенной правой частью и приближенным ядром

,  ,

где погрешности 

,    ,    

Здесь , характеризуют уровень погрешности измерения или замены ядра на приближенное. Тогда реально имеем задачу:

,

которая является аппроксимацией исходной (1). Требуется найти приближения к решению задачи (1), устойчивые к возмущению ядра и правой части.

 

Регуляризирующий оператор

Пусть – некоторое однопараметрическое семейство линейных операторов, действующих из пространств Z в U, а - семейство элементов в пространстве U, причем эти семейства таковы, что для них выполняются неравенства:

,       (4)

.       (5)

Через R будем обозначать отображение, ставящее каждому набору { ,A_h,α} в соответствие элемент . В этом наборе – положительное число, называемое параметром регуляризации [1].

 

Определение 4. Отображение R называется регуляризующим оператором для уравнения (2), если существует функция:

       (6)

такая, что для любого E > 0 можно указать h(E) > 0 и δ(E) > 0 такие, что

0 < h < h(E)       (7)

0 < δ < δ (E)       (8)

выполняется неравенство:  

       (9)

где z_н – нормальное решение, а z_а вычисляется по формуле:

z_a = R(u_δ, A_h, α(h, δ))     (10)

Числа δ и h характеризуют погрешность исходных данных.

Функция ) задает согласование погрешностей исходных данных с параметром регуляризации. Из определения 4 следует, что если задан регуляризирующий оператор, то приближенно нормальное решение может находиться по формуле (10). При этом приближенно решение устойчиво к малым изменениям исходных данных [1], [2].

 

Дискретизация  двумерного уравнения  Фредгольма 1-го рода

 

Для приближенного решения интегрального  уравнения (1), заменим интеграл кубатурной формулой и далее сведем  к  системе линейных алгебраических уравнений. Для этого можно применять  различные кубатурные формулы [3], [4].

Рассмотрим  двойной интеграл по прямоугольной  области G:

Применим  правило приближенной квадратуры к  внешнему интегралу:

,

где R – остаток, a_i – квадратурный коэффициент, x_i – узлы. Каждое слагаемое в правой части содержит интеграл, который можно вычислить при помощи численного интегрирования.

,

где – квадратурные коэффициенты, R_i – остаток. Тогда

   

где c_ij = a_ib_j, ,   а x_i, y_i – узлы.

Вышеприведенные формулы для приближенного вычисления двойного интеграла называются кубатурными. Таким образом, мы должны применить  какую-либо кубатурную формулу к  двойным интегралам. Здесь узлы x_i, y_i и кубатурные коэффициенты выбираются из удобства вычисления и точности. В частности, основанные на формуле прямоугольников – левых, правых, центральных – удобные для численного счета. В общем виде приближенно с точность до остатка:

где - кубатурные коэффициенты, - узлы сетки на

В этом случае уравнение (1), с точностью  до остатка кубатурной формулы, заменяем на равенства

,          (11)

В частности  для кубатурных формул основанных на формуле прямоугольников , где , - шаги сетки узлов по оси и . После этого заменяем на сетку узлов с равномерной сеткой и шагами , . Сведем задачу (11) к системе линейных алгебраических уравнений вида . В общем виде имеем

где - кубатурные коэффициенты. Далее заменяем функцию в узлах на матрицу . Тогда имеем систему линейных уравнений:

,

где .  Матрицу разворачиваем в вектор столбец с индексами , приписывая к первому столбцу второй, ко второму третий, и т.д. Здесь индексы   .Представляем двойную сумму как произведение строки матрицы на вектор неизвестных – представляем как вектор

В частности  для ,  (формула прямоугольников) имеем следующее:

 _– разворачиваем в строку матрицы, так чтобы индексы , соответствовали индексам , вектора .

В результате получим систему линейных алгебраических уравнений

,где , ,

с индексами

,

  - вертикальный индекс, - горизонтальный индекс.

Отметим, что при сведении исходного  уравнения  с плохой обусловленностью задачи , получаем систему линейных алгебраических уравнений в силу некорректности задачи (1). Из-за погрешностей , можем получить решение, которое в узлах сетки сильно отличается от точного. Отсюда возникает вопрос об устойчивом к малым изменениям исходных данных в методе построения решения приближенного к точному.

 

      4.Метод регуляризации для систем линейных алгебраических уравнений

Пусть имеем точную и приближенную систему ,  где и , – погрешности. Здесь вектора . О точной системе нам ничего неизвестно, кроме того, что она отличается от приближенной не больше чем на погрешности , . Мы не можем ее выделить из общего класса таких систем. 

Задача метода состоит в том, чтобы по известным данным найти приближения к точному решению. Ясно, что в качестве приближения к точному решению нельзя брать решение приближенной системы т.к. вообще говоря, не будет устойчивости к изменениям исходных данных. Поэтому можно говорить лишь о нахождении приближений   таких, что при независимом . В качестве таких приближений можно брать значения регуляризующего оператора. Дадим в

 

Определение 5. Оператор зависящий от параметра со значениями в ,  называется регуляризующим оператором для уравнения , если он обладает свойствами:

1. существует такая пара положительных  чисел  , что оператор определен для всякого и любых и матриц размера :

, ;

 2. существует такая функция , , что для любого числа найдется пара чисел такая, что если   и при

, ,

будет  , где .

Система может быть однозначно разрешимой, вырожденной и неразрешимой.

 

Определение 6. Псевдорешением системы называют вектор   минимизирующий невязку в .

 

Определение 7. Вектор – нормальное псевдорешение системы , если он имеет минимальную норму из всех псевдорешений. Нормальное псевдорешение для любой системы существует и оно единственно [1].

При значительно большой меры обусловленности матрицы задача нахождения нормального псевдорешения некорректна. Поэтому целесообразно применение регуляризующего метода Тихонова А.Н.

Введем в рассмотрение функцию Тихонова А.Н:

,

где – параметр регуляризации. Как известно,  для любых :  и : , чисел существует единственный вектор минимизирующий функцию А. Н. Тихонова. Известно также, что точка минимума удовлетворяют уравнениям Эйлера

Отметим, что это уравнение вследствие положительной определенности  всегда имеет единственное решение.

 

 

Выбор параметра регуляризации  по обобщенной невязке

Для вывода зависимости  введем функцию называемую обобщенной невязкой:

,

где число  = = .

1. Пусть выполнено условие  и для любого вектор определяется через задачи минимизации функционала  Тихонова А. Н. Тогда обобщенная невязка  определена при всех и имеет положительный корень  : в этом случае приближенное решение уравнения полагается .

2. Если же  , то полагаем приближенное решение системы равным нулю.

Обычно на практике строят числовые последовательности , где и для всякого числа осуществляем останов по невязке при ,где достаточно малое число [1], [2].

 

Регуляризации при дискретизации  интегрального уравнения

Рассмотрим  уравнения Фредгольма 1-го рода точное

,                     

и приближенное

,

и дискретизацию этих уравнений. Применим к полученной С.Л.А.У. регуляризацию Тихонова А.Н. с выбором параметра по обобщенной невязке. Приближенное регуляризованное решение (каркас) получим в узлах сетки прямоугольника. По каркасу, интерполируя, найдем − точному решению. Можно также построить график поверхности приближенного решения на основе пакета SCILAB.

Все это применим к задаче идентификации  правой части, рассматривая уравнения:

, ,

где ядро и функция

.

Здесь ядро задано точно и поэтому погрешность  . Регуляризованное решение задачи идентификации . Далее, применяя дискретизацию и метод регуляризации к С.Л.А.У., по каркасу в узлах сетки находим приближение к точному решению задачи идентификации.

Заключение

В работе применен метод разностной регуляризации для двумерного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, а также к обратной задаче идентификации (нахождения) правой части для оператора , сводящейся к двумерному уравнению Фредгольма 1-го рода. Составлены программы в пакете SCILAB, осуществлены численные расчеты и построены графики для точного, приближённого решений и погрешности. Приведена таблица погрешности разностной регуляризации для контрольного примера.

Список  литературы

1.А. Н.  Тихонов, В. Я. Арсенин. Методы  решения некорректных задач. М.: Наука, 1986г.

2.А.Н. Тихонов, А.В.  Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. Численные  методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990г.

3. А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков Интегральные уравнения: Методы Алгоритмы Программы. К.: Наукова Думка, 1986г.

4. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. М.:Наука, 1978г.

 

 

Приложение

Рассмотрим задачу идентификации  правой части  в

,

 

Текст программы (с набором примеров)

//Курсовая работа

//Применение кубатур для регуляризации задачи идентификации значения оператора Лапласа

//Идентификация zt(x,y) с дискретной U(x,y)

//d^2U(x,y)/dx^2+d^2U(x,y)/dy^2+L*U(x,y)=zt(x,y),a<=х<=b,c<=y<=d.

//Приводим к однородным краевым  условиям для W(x,y).Тогда имеем:

//Ad^2W(x,y)/dx^2+Bd^2W(x,y)/dy^2+T(x,y)=zt(x,y),где

//W(x,y)=U(x,y)+f(x,y)и T(x,y)=-A*T1(x,y)-B*T2(x,y)+L*U(x,y).

//Методом функций Грина приводим  к 2D-ФР1 для функции W(x,y):

//B*int[a,b;G1(x,t)W(t,y)dt]+A*int[c,d;G2(y,s)W(x,s)ds]=

//=int{a,b;c,d;G1(x,t)G2(y,s)H(t,s)dtds}с H(t,s)=zt(t,s)-T(t,s).

//Далее разностная регуляризация. Вычисляем zt(x,y)=H(x,y)+T(x,y).

//Здесь функции T(x,y),f(x,y) построены при замене перехода к

//однородным краевым условиям  и связаны:

//T1(x,y)=d^2f(x,y)/dx^2,T2(x,y)=d^2f(x,y)/dy^2.Смена-снять//.

clear; clc;

disp("NUMERIC REGULARIZATION for IDENTIFICATION zt(x,y)in PDE:");

disp("d^2U(x,y)/dx^2+d^2U(x,y)/dy^2+L*U(x,y)=zt(x,y),a<=x<=b,c<=y<=d");