«Предикат» және «қатынас» ұғымын оқып-үйренудің әдістемелік ерекшеліктері

д) транзитивті деп, егер ;

е) байламды деп, егер болса.

Екі орынды қатынастарға қолданылатын амалдар. Екі орынды қатынастардың анықталу ерекшеліктері (специфика) теоретико- жиындық амалдарынан басқа. жиынындағы барлық екі орынды қатынастар жиынында екі жаңа алгебралық амалдарды анықтауға мүмкіндік береді. Егер және қатынастары жиынынан алынған екі орынды қатынастар болса, онда:

1) және қатынастарының композициясы (немесе көбейтіндісі) деп жиынында: ережесімен анықталған екіорынды қатынасын айтамыз.

2) қатынасының қайтарымы ( -ке кері қатынас) деп жиынында ережемен анықталған екіорынды қатынасын айтамыз.

  1 және 2 анықтамадан шығатын салдар.

Композиция  жиынында анықталған екі орынды алгебралық амал болса, ал қайтарым – бір орынды алгебралық амал болады. Екі орынды және қатынастарына композция амалын қолданудың нәтижесі арқылы, ал қатынасына қайтарым амалын қолданудың нәтижесін арқылы белгілейтін боламыз.

Екі орынды қатынастардың  сәйкестіктер болуы себепті, онда сәйкестіктерге қолданылатын амалдарды қатынастарға да қатысты амалдарға жатқызған  пайдалы. Алгебралық амалдардың жаңа мысалдардың  пайда болуына байланысты студенттердің  назарын олардың қасиеттерін анықтау есебіне аудару орынды.

Мысалы, жиынында қатынастардың композициясы амалы коммутативті, ассоциатативті болады ма? жиынында осы амалға қатысты нейтралды элемент бар ма? жиынындағы қандай қатынастар симметрияланады? қатынасы қатынасына қатысты симметриялы болады ма?

Математикалық объектілердің тамаша қасиеттердің бірі олардың дәстүрлі баяндалуы, яғни, белгілі бір деңгейде тарихи қалыптасқан, кейбір ұғымдар жүйесі тілінде негізгі (канондық) анықтаманың мүмкіндігінің  жалғыз ғана еместігінде, жалпы, әрқашан  бұл объектілердің басқада ұғымдар жүйесіндегі терминдерде сипаттамалары табылады.

Айта кететін  жағдай, математикалық объектілерді әртүрлі көзқараспен оқып-зерттеу, табиғи ұқсастыққа негізделген, әртүрлі ұғымдар жүйесінің мазмұндау, мәнерлеу мүмкіндіктерін анықтау мен салыстыруда оқушылардың ой-талдауындағы біртиптіліктен арылуға пайдасын тигізеді. Сонымен қатар, осыған ұқсас сипаттағы пропедевтивтік іс-шара әртүрлі сигнатурадағы алгебралық жүйелерді дұрыс түсінудің дағдысы мен біліктілігін қалыптастыруға көмектеседі.

Осыған байланысты, бинарлық қатынастардың композиция амалы мен қайтарым амалы терминдеріндегі а)- с) қасиеттерінің сипаттамаларын берген пайдалы, яғни жиынындағы кез келген екіорынды қатынасы үшін келесі тұжырымдардың орынды екендігін дәлелдеу керек:

а) – рефлексивті  ;

б) – иррефлексивті ;

в) – симметриялы ;

г) – антисимметриялы ;

д) – транзитивті ;

е) – байламды .

Тұжырымдардың а)- е) пункттерінің біреуінің дәлелдеуін студенттермен бірге орындауға болады. Бұл осыған ұқсас дәлелдеулердің ерекшеліктерін дұрыс түсінуге көмегін тигізеді.

Мысал үшін, д)- тұжырымының дәлелдеуін келтірейік.

 Айталық,  – транзитивті және болсын. Онда, элементі табылып және болады, яғни транзитивті болғандықтан және сонымен қамтылуы дәлелденді.

 Айталық, қамтылуы орынды, яғни және болсын. Онда қатынастардың көбейтіндісінің анықтамасына сәйкес . Бұл қатынасының транзитивтілігін дәлелдейді.

Екі орынды қатынастардың берілу тәсілдері. жиынындағы екі орынды қатынас -дан -ға сәйкестік ретінде кесте, график, граф  пен қима арқылы берілуі мүмкін.

Айталық, {1, 2, 3, 4, 5, 6} және

болсын. Онда жиынындағы екі орынды қатынас;

{(1;1); (1;2); (1;3); (1;4); (1;5); (1;6); (2;2); (2;4); (2;6); (3;3); (3;6); (4;4); (5;5); (6;6)}

М жиынының ішкі жиындары:

; ; ; ; ;

 қатынасын қималар арқылы  береді. қатынасының кестелік берілуі 1-кестеде келтірілген. қатынасының бағытталған графы мен графигі сәйкесінше 2а), 2б) суреттерінде келтіріген.

 

 

 

 

                                                                          Кесте 1.

  қатынасының кестесі

	1	2	3	4	5	6
1	<1,1>	<1,2>	<1,3>	<1,4>	<1,5>	<1,6>
2		<2,2>		<2,4>		<2,6>
3			<3,3>			<3,6>
4				<4,4>
5					<5,5>
6						<6,6>

 

Сурет 2.

қатынасының бағытталған графы мен графигі

 

Кестелер, графиктер, графтар түрінде берілген екіорынды  қатынастардың көрнекі кескіндері, олардың геометриялық сипаттағы  көріністеріне сүйене отырып берілгендіктен олар қатынастардың қасиеттерін мағыналық жағынан ұғынуға аз көмегін тигізбейді, себебі, бұл қасиеттер сәйкес кескіндердің арнайы ерекшеліктерінде өзінің айқын бейнесін табады. Осыдан кейін проблемалық сипаттағы бірнеше тапсырмаларды ұсыну қажет. Бұл тапсырмаларда екіорынды қатынастардың әртүрлі көрнекі көріністерін алумен қатар оларға талдаулар жасай отырып ақырлы жиынында берілген кез-келген екіорынды қатынасы үшін келесі тұжырымдардың орынды екендігін негіздеу керек:

а) – рефлексивті әрбір элементінің қатынасының графында бағытталған қабырғасы − тұзақ болса, яғни, осы төбеден шығып және осы төбеге енетін қабырға бар қатынасының кестесінде бас диагоналға сәйкес келетін тор көздердің барлығы толтырылған болса;

б) – симметриялы әрбір пар элементтері үшін қатынасының графында төбесінен төбесіне баратын бағытталған қабырға бар болса, онда төбесінен төбесіне баратын бағытталған қабырға бар және қатынасының кестесі бас диагональға қатысты симметриялы болса;

в) – транзитивті кез-келген элементтері үшін қатынасының графында төбесінен төбесіне баратын бағытталған қабырға және төбесінен төбесіне баратын бағытталған қабырға бар болса, онда төбесінен төбесіне баратын бағытталған қабырға бар болады қатынасының кестесінде номерлі жол мен бағаналы тор көз толтырылған болғандықтан және номерлі жол мен номерлі бағаналы тор көз толтырылған болғандықтан, онда кестедегі номерлі жол мен номерлі бағаналы тор көзде толтырылған болады.

Эквиваленттік қатынасы. жиынында анықталған рефлексивті, симметриялы, транзитивті қатынас эквиваленттік (қатынас) деп аталады.

Эквиваленттік қатынас ұғымы фактор-жүйе құру әдістемесінде  маңызды роль атқарады. Осыған сәйкес әдістеменің «жұмыс құралын» құраушы ұғымдар мен құрылымдарды пропедевтивтік оқып-зерттеуде эквиваленттік қатынасқа, оның маңыздылығына өзіне тиісті көңіл бөліну қажет.

Эквиваленттік қатынастарды алғашқы оқып-зерттеу  кезеңінде көрнекі-мағыналық мысалдардан  табиғи түрдегі математикалық сипаттағы мысалдарға көшуде рефлексивтік, симметриялық және транзитивтік қасиеттері тікелей тексеріледі.

Әрбір ішкі жиында элементтер өзара  қатынасында болатындықтан келесі формаль анықтамаға көшуге болады.

Айталық, эквиваленттік қатынасы жиынында анықталсын және болсын. жиынының ішкі жиыны .

 элементімен туындаған эквиваленттік класс деп аталады (басқаша айтқанда,   эквиваленттік класы – бұл элементі бойынша қатынасының қимасы).

Сәйкес мысал  қарастырайық. Айталық, – бүтін сандар жиыны болсын. жиынында екі орынды қатынасын келесі түрде анықтайық: кез келген үшін және сандарының 3-ке бөлгендегі қалдықтары бірдей болса. қатынасының жиынындағы эквиваленттік екендігін тексеру қиын емес. Сәйкесінше 0,1,2 сандарымен туындаған эквиваленттік кластарын табайық. 0 саны 3-ке қалдықсыз бөлінетін болғандықтан, онда класына 3 санын қалдықсыз бөлінетін барлық бүтін сандар енеді [3].

Осыған ұқсас, 1 саны 3-ке қалдықпен бөлінетін болғандықтан, онда класына 3 санына бөлгенде бір қалдық беретін сандар енеді, ал 2 саны 3-ке бөлгенде 2 қалдық беретін болғандықтан класына 3 санына бөлгенде екі қалдық беретін сандар енеді.

Сонымен: ={…, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, …}; = {…, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, …}; = {…, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, …}.

Бұл мысалды  талдаудан байқайтынымыз:

а) эквиваленттік  класын туындатушы элемент осы класқа тиісті, басқаша айтқанда, класс  өзінің кез келген элементімен туындайды;

б) әртүрлі эквиваленттік  кластар қиылыспайды (басқаша айтқанда: егер екі кластың қиылысуы бос  жиын болмаса, онда олар беттеседі);

в) барлық эквиваленттіктер кластарының бірігуі  жиынын береді.

Жеке мысалдар негізінде а), б), в) шарттарының ерекшеліктерін анықтау арқылы олардың формаль тұжырымдамаларын беруге болады.

Айталық, эквиваленттік қатынасы жиынында анықталсын.

Онда: а) кез келген үшін; б) ; в) , .

Бұл тұжырымдарды дәлелдеуде қатынасының рефлексивтік, симметриялық және транзитивтік қасиеттерінің «жұмыс істеуін» көрсете білу өте маңызды, яғни, осы қасиеттерге негіздей отыра тұжырымдалған қортындыларды қалай алуға болатындығы.

а) – тұжырымы қатынасының рефлексивтік  қасиетінің салдары. Шын мәнінде, қатынасының рефлексивтілігінен (кез келген үшін) , ал бұл класының анықтамасына сәйкес ;

в) – тұжырымы а) тұжырымының салдары. б) тұжырымының  – бірінші бөлігін дәлелдейік.

Айталық, болсын. теңдігін дәлелдеу үшін қамтылу әдісін қолданайық.

Айталық, , яғни, болсын. Онда қатынасының симметриялығынан алатынымыз, , ал бұл қатынасымен бірге шартын береді. Яғни, қатынасы транзитивті. Қайтадан қатынасының симметриялығын пайдалансақ, шартынан алатынымыз , ал бұл екенін білдіреді. Шын мәнінде қамтылуы дәлелденді. Кері қамтылу осыған ұқсас дәлелденді.

Айталық болсын. болуына байланысты

а) пунктіне сәйкес, бұл жорамалдан алынатын салдар , яғни . Бұдан қатынасының симметриялығын қолдану арқылы алатынымыз, .

б) тұжырымының екінші бөлігінің  дәлелдеуін студенттерге өзіндік жұмыс  ретінде береміз.

ережесімен  бейнелеуі бойынша анықталған екіорынды қатынасы эквиваленттіктің маңызды мысалы болып табылады.

 

 

Қолданылған әдебиеттер

1. Гончаров С.С., Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методолгию науки. М.: Интерпракс, 1994. 225с.
2. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.
3. Никитин А.А., Михеев Ю.В. Математика: теория и практика, часть I. Новосибирск: Издательство ИДМИ, 2001. 248 с.