Поверхность второго порядка. Исследования поверхности второго порядка метод сечение

14) — параболический цилиндр,

15) — две параллельные плоскости,

16) — две мнимые параллельные плоскости,

17) — две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).

В вышеперечисленных  уравнениях a, b, c, p — положительные параметры. Систему координат O'XYZ называют канонической.

Исследование формы  поверхности второго порядка методом сечения плоскостями

Если  дано каноническое уравнение поверхности S, то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:

Z = h — параллельными координатной плоскости XO'Y,

X = h — параллельными координатной плоскости YO'Z,

Y = h — параллельными координатной плоскости XO'Z.

Уравнения проекций линий пересечения поверхности S c этими плоскостями на соответствующие координатные плоскости получаются в результате подстановки в каноническое уравнение поверхности S Z = h, X = h, Y = h соответственно.

4.Исследование поверхности второго порядка

Дано уравнение  поверхности второго порядка:

S:

Приведение уравнения  поверхности к каноническому  виду

Положим:

. (4.1)

            Уравнение (4.1) каноническое.

Исследование формы  поверхности методом сечений  плоскостями

Каноническое  уравнение поверхности (4.1) задает однополостный гиперболоид.

1. Рассмотрим  линии  полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z = h (h = const). Эти линии определяются системой уравнений:

   (4.2)

Следовательно, — уравнение проекций линий на плоскость XO'Y.

Запишем полученное уравнение в виде:

 (4.3)

Уравнение (4.3) определяет семейство эллипсов с центром в точках и вершинами в точках и . Действительные оси эллипсов параллельны осям O'X  и O'Y.

 

Полуоси эллипсов : и увеличиваются с увеличением h.

При различных  значениях h получим семейство соответствующих эллипсов:

Если h < 0, то уравнение (4.3) не меняет вида .

Используя полученные данные, построим «карту» (см. рис.8).

Рис. 8. Сечения плоскостями, параллельными XO'Y

Рассмотрим  линии полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Y = h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость YO'Z имеет вид:

 (4.4)

 

Запишем уравнение (4.4) в виде:

 (4.5)

Уравнение (4.5) определяет семейство гипербол в плоскостях Y = h (h — любое действительное число) с фокусами в точках и , полуосями и .

При получим семейство соответствующих гипербол:

При уравнение (4.4) определяет две пересекающиеся прямые.

При запишем:

                                                                                       (4.6)

Уравнение (4.6) определяет семейство гипербол, которые повёрнуты на относительно осей координат.

 

Рис. 9. Сечения плоскостями, параллельными XO'Z

 

Рассмотрим  линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями Z = h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость YO'Z имеют вид

 (4.7)

Запишем уравнение (4.5) в виде:

 (4.8)

Уравнения (4.8) — это уравнения гипербол в плоскостях (h — любое действительное число), с фокусами в точках и , полуосями и .

При получим семейство соответствующих гипербол:

При уравнение (4.7) определяет две пересекающиеся прямые.

При запишем уравнение (4.7) в виде:

Уравнение (4.6) определяет семейство гипербол, которые повёрнуты на относительно осей координат.

Используя полученные данные, построим «карту» (см. рис.10).

Рис. 10. Сечения плоскостями, параллельными YO'Z

 

Проанализировав уравнение  и результаты исследования методом сечений плоскостями, отметим следующее:

1. уравнение задаёт однополостный гиперболоид.
2. оси O'X , O'Y, O'Z являются осями симметрии поверхности, плоскости O'XZ , O'YZ , O'XZ — плоскостями симметрии. Центром симметрии у поверхности является точка O(0,0,0);
3. рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Z = h, в сечениях получаем эллипсы .

4.  рассекая  поверхность вертикальными плоскостями X = h и Y = h (h – любое действительное число), в сечениях получаем гиперболы.

Поверхность однополостного гиперболоида бесконечна в направлении всех трех координатных осей. Построим её в канонической системе координат (см. рис. 11).

Построение поверхности  в канонической системе координат

Рис. 11. Поверхность в канонической системе координат

Список используемой литературы

1. Бобылева Л. В., Брюхина Л. С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Исследование кривых и поверхностей второго порядка: Учебно-методическое пособие  — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.
2. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997