Моделирование двумерного случайного распределения

6. Интервальное оценивание  параметров

Две статистики называют доверительным интервалом значимости для параметра θ , если выполняется условие

 

Число называется доверительной вероятностью, а - нижней и верхней доверительными границами.

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения:

 

 

Построим доверительные интервалы для каждого из параметров уровней значимости 0.05 и 0.01 для каждой компоненты. Уровень значимости выражает ошибку доверительного интервала.

1) Найдем доверительный интервал значимости для параметра модели  нормального распределения при известном

В качестве  центральной статистики возьмем . Известно, что . Поэтому

 

Зная, что , разрешим относительно .

 

Получаем доверительный интервал

 

Значения для и найдем по таблице:

1,9599642,575829

 

После подстановки и подсчета получаем

Для компоненты ξ:

 

 

Для компоненты η:

 

 

2) Найдем доверительный интервал значимости для параметра модели  нормального распределения при неизвестном .

 

 

Получаем доверительный интервал

 

Зная, из таблицы, что для и

 

 

После подстановки и подсчета получаем

Для компоненты ξ:

 

 

 

Для компоненты η:

 

 

3) Найдем доверительный интервал значимости для параметра модели  нормального распределения при неизвестном

В качестве  центральной статистики возьмем . Известно, что

. Поэтому

 

Зная, что , разрешим относительно .

 

Получаем доверительный интервал

 

Значения для и найдем по таблице:

1,9719572,600760

После подстановки и подсчета получаем

Для компоненты ξ:

 

 

Для компоненты η:

 

 

 

4) Найдем доверительный интервал значимости для параметра модели  нормального распределения при известном .

Получаем доверительный интервал

 

Зная, из таблицы, что для и

241,0579  162,7279

255,2642152,2409

После подстановки и подсчета получаем

Для компоненты ξ:

 

 

Для компоненты η:

 

 

7.Проверка гипотез

Проверка гипотезы о параметрах

Для компоненты ξ

 

 

 

Статистика: .

 

 

 

т.е. z попадает в критическую область, то с уровнем значимости

нулевая гипотеза отвергается.

Данная выборка не может быть взятой из совокупности с математическим ожиданием 2.

 

 

 

Статистика: .

 

 

 

т.е. z не попадает в критическую область, то с уровнем значимости

нулевая гипотеза не отвергается.

Данная выборка может быть взятой из совокупности с дисперсией 4.

Для компоненты η

 

 

 

Статистика: .

 

 

 

т.е. z не попадает в критическую область, то с уровнем значимости

нулевая гипотеза не отвергается.

Данная выборка может быть взятой из совокупности с мат. ожиданием -1.

 

 

 

Статистика: .

 

 

 

т.е. z не попадает в критическую область, то с уровнем значимости

нулевая гипотеза не отвергается.

Данная выборка может быть взятой из совокупности с дисперсией 3.

Проверка гипотезы о виде распределения для каждой компоненты.

Статистической гипотезой называется любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин.

Правило, согласно которому проверяют гипотезу H0 (принимают или отвергают), называется статистическим критерием проверки гипотезы Н0

     Для проверки  гипотезы о виде распределения  воспользуемся критерием согласия  χ2 Пирсона. Уровень значимости примем α = 0,05. Выдвигаются две гипотезы:

 

Статистика:

где  k – число интервалов группировки (k = 9)

- число значений  выборки, попавших в i – ый интервал

п = 200 – объем выборки

- теоретическая  вероятность попадания в i – ый интервал, рассчитанное на основе предполагаемого распределения.

Известно, что r - число оцениваемых параметров

 

 

 

 

Результаты вычислений приведены в таблицах:

Для компоненты ξ

-6,389	-2,7248	0,003217	0,013839	2,767753	4	1,232247	1,518433	0,548616
-4,1322	-2,11875	0,017056	0,048118	9,62369	9	-0,62369	0,388989	0,04042
-1,8755	-1,51273	0,065174	0,117106	23,42126	16	-7,42126	55,0751	2,3515
0,3812	-0,90671	0,182281	0,199546	39,90917	51	11,09083	123,0065	3,082162
2,6379	-0,30069	0,381826	0,238117	47,62348	46	-1,62348	2,635687	0,055344
4,8946	0,305333	0,619944	0,199009	39,80176	40	0,19824	0,039299	0,000987
7,1514	0,911381	0,818953	0,116465	23,29294	19	-4,29294	18,42933	0,791198
9,4081	1,517402	0,935417	0,047723	9,544685	10	0,455315	0,207312	0,02172
11,6648	2,123422	0,983141	0,013687	2,737434	5	2,262566	5,119205	1,870074
13,9215	2,729443	0,996828						8,762022

 

 

Получили Z=8.762022;

1-α=0,95 (т.е. на уровне значимости  α=0,05) и числа степеней свободы ν = k-0-1 = 8 (так как при подсчете функции распределения использовали теоретические параметры).

 

, т.е. критической области, т.е. гипотеза Н0 о нормальном распределении не отвергается, т.е. эмпирическая функция для ξ совпадает с нормальным N(2, 4)

Для компоненты η

-10,055	-3,32736	0,000438	0,004019	0,803863	3	2,196137	4,823016	5,999798
-8,0775	-2,61528	0,004458	0,024049	4,809798	3	-1,8098	3,275369	0,680979
-6,1	-1,90321	0,028507	0,088294	17,65874	15	-2,65874	7,068885	0,400305
-4,1225	-1,19113	0,1168	0,19916	39,83202	39	-0,83202	0,692256	0,017379
-2,1449	-0,47902	0,31596	0,276178	55,23556	58	2,764439	7,642123	0,138355
-0,1674	0,233049	0,592138	0,235564	47,11272	49	1,887282	3,561834	0,075602
1,8101	0,945123	0,827702	0,123558	24,71165	24	-0,71165	0,506446	0,020494
3,7876	1,657196	0,95126	0,039828	7,965655	8	0,034345	0,00118	0,000148
5,7651	2,36927	0,991088	0,007881	1,57628	1	-0,57628	0,332098	0,210685
7,7427	3,08138	0,99897						7,543746

 

 

Получили Z=7,543746;

 

, т.е. критической области, т.е. гипотеза Н0 о нормальном распределении не отвергается, т.е. эмпирическая функция для η совпадает с нормальным N(-1,3)

8. Принятие статистического решения

Компонента ξ – теоретические характеристики

Математическое ожидание

 

Дисперсия

 

Среднеквадратичное отклонение

 

Центральный k-ый момент

 

 

Применив к этому выражению формулу интегрирования по частям, получим:

 

Сравнивая эти две формулы, получаем

 

Зная, что получаем

 

Выборочные центральные моменты порядка 3, 4. 

 

 

Начальный k-ый момент

 

 

 

Начальные моменты порядка 2, 3, 4.

 

 

 

Коэффициент асимметрии

Так как для нормального закона , то асимметрия его также равна нулю:

 

Коэффициент эксцесса

Из выражения четвертого момента

 

имеем:

 

Мода

 

 

 

 

 

Медиана

 

 

Медиана – это квантиль порядка 0.5

 

Квантиль

 

 

Выборочные квантили порядка 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Компонента η – теоретические характеристики

Математическое ожидание

 

Дисперсия

 

Среднеквадратичное отклонение

 

Центральный k-ый момент

 

 

Применив к этому выражению формулу интегрирования по частям, получим:

 

Сравнивая эти две формулы, получаем

 

Зная, что получаем

 

Выборочные центральные моменты порядка 3, 4. 

 

 

Начальный k-ый момент

 

 

 

Начальные моменты порядка 2, 3, 4.

 

 

 

Коэффициент асимметрии

Так как для нормального закона , то асимметрия его также равна нулю:

 

Коэффициент эксцесса

Из выражения четвертого момента

 

имеем:

 

Мода

 

 

 

 

 

Медиана

 

 

Медиана – это квантиль порядка 0.5

 

Квантиль

 

 

Выборочные квантили порядка 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристики связи – теоретические характеристики

Ковариация

 

 

Коэффициент корреляции

 

 

 

Уравнения линейной регрессии

ξ на η

 

 

 

 

η на ξ

 

 

 

Корреляционные отношения

 

X по Y

 

Так как для нормального распределения  совпадает с уравнением линейной регрессии, то

 

 

Y по X

 

 

 

 

 

 

 

Компонента ξ

Характеристики	Теоретические	Выборочные
среднее	Eξ = 2
дисперсия
среднеквадратичное отклонение
начальный момент порядка 2
начальный момент порядка 3
начальный момент порядка 4
центральный момент порядка 3
центральный момент порядка 4
коэффициент асимметрии		=
коэффициент эксцесса		=
мода
медиана
квантиль порядка 0,1
квантиль порядка 0,2
квантиль порядка 0,3
квантиль порядка 0,4
квантиль порядка 0,5
квантиль порядка 0,6
квантиль порядка 0,7
квантиль порядка 0,8
квантиль порядка 0,9

 

         

 

 

 

 

 

Компонента η

Характеристики	Теоретические	Выборочные
среднее	Eη = -1
дисперсия
среднеквадратичное отклонение
начальный момент порядка 2
начальный момент порядка 3
начальный момент порядка 4
центральный момент порядка 3
центральный момент порядка 4
коэффициент асимметрии
коэффициент эксцесса
мода
медиана
квантиль порядка 0,1
квантиль порядка 0,2
квантиль порядка 0,3
квантиль порядка 0,4
квантиль порядка 0,5
квантиль порядка 0,6
квантиль порядка 0,7
квантиль порядка 0,8
квантиль порядка 0,9

 

 

 

 

 

 

Характеристики связи:

Характеристики	Теоретические	Выборочные
ковариация
коэффициент корреляции
уравнение линейной регрессии x на y
уравнение линейной регрессии  y на x
корреляционное отношение