Методология научных исследований

           , (70)

    где

           ; . 

    Здесь r_xz, r_yz, r_xy — коэффициенты корреляции соответственно между признаками X и Z, Y и Z, X и Y;

    σ_x, σ_y, σ_z — средние квадратические отклонения X, Y, Z.

    Теснота регрессионной связи Z  с X, Y оценивается выборочным совокупным коэффициентом корреляции

           , 

    причем  .

    Теснота связи между  Z  и X (при постоянном Y), между Z и Y (при постоянном X)  оценивается соответственно частными выборочными коэффициентами корреляции:

           ; (71)

           . (72)

    Эти коэффициенты, как и обыкновенный выборочный коэффициент корреляции, служат для оценки тесноты линейной связи между признаками.

    Для практического упрощения решения  задач множественной корреляции: нахождения уравнения регрессии; совокупной оценки тесноты связи между откликом и аргументами уравнения; частной  оценки тесноты связи между аргументами, целесообразно использовать ЭВМ. 
 

    II. Практическая часть

    1.  Математическое моделирование

     Задача 1. (1.2)

     Стальная  проволока длиной  l₀ = 1м,  с поперечным сечением F растягивается силой постепенно возрастающей до величины P.

     Найти работу растяжения.

     Из  механики известно, что удлинение  ∆l под действием силы

       , (1)

где K — коэффициент растяжения;

     — первоначальная длина.

     Элементарное  приращение в дифференциальной форме  можно записать

       . (2)

     Принимая  на бесконечно малом участке dl силу P постоянной, получим работу произведенную этой силой на рассматриваемом участке,

       . (3)

     Тогда можно записать

       . (4)

     Интегрируя (4) получаем общее решение задачи

       ;  . (5)

где с — постоянная интегрирования.

     Для определения С используем начальные условия: при P=0, A=0. Подставляя эти значения в (5) получаем   0=0+с т. е. с=0.

       Принимая,  что   , и подставляя это выражение в (5), получаем решение задачи

     

. (6)

     Задача  2. (1.4)

     Водород расширяется при постоянной температуре  от своего первоначального объема V₀ , имея первоначальное давление Р₀, при некотором внешнем давлении, которое бесконечно мало отличается от давления водорода. Найти работу, произведенную при расширении водорода.

     Запишем, как и в предыдущей задаче 1.3 выражение  для работы в дифференциальной форме

       . (1)

     В данном случае газ расширяется изотермически, т. е. при постоянной температуре, поэтому  подчиняется не закону Пуассона, как  выше, а закону Бойля-Мариотта, который  имеет выражение: 

       ; 

       . (2) 

     Подставив (1) в (2), получим дифференциальное уравнение  работы газа при его расширении

       . (3)

     Интегрируя (3), находим

       . (4)

где с — постоянная интегрирования.

     Приняв  начальные условия: V=V₀, W=0 и подставив их в (4), получаем уравнение , решая которое, находим  

       . (5)

     Подставив (4) в (5), получим решение задачи

       . (6)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    2. Физическое моделирование

      Задача  1.  (2.2)

      Оценить скорость V струи пара, выходящего из носика кипящего электрического чайника, если его мощность , коэффициент полезного действия , удельная теплота парообразования , плотность пара , сечение носика чайника соответствуют нормальным условиям окружающей среды.

      Из  теплофизики известно, что масса  образуемого пара в единицу времени

       . (1)

     Из (2.11)

       . (2)

      Плотность пара можно определить из уравнения  Менделеева-Клапейрона

       , (3)

где R — газовая постоянная;

     — давление пара;

     — температура пара;

   M — молярная масса.

      Из (3) находим

       . (4)

      Подставляя  значение (4) в (1), получим решение  задачи

       , (5)

где P — электрическая мощность;

   P_g – давление пара.

   Оценим  численное значение скорости струи  пара. Для этого зададимся значениями параметров, входящих в (5): ; ; ; ; ; ; , .

      Подставив заданные значения в (5), получим  .

      Решим данную задачу методом размерностей. Сначала проанализируем условия  задачи и выясним фундаментальные (основные) параметры от которых  зависит скорость струи пара. Ими  являются: мощность чайника Р, КПД ( ), удельная теплота парообразования , площадь сечения носика чайника S, плотность пара .

      Выражение функциональной связи имеет вид

       . (6)

      Заменим функциональную связь в явной  форме

       , (7)

где 0, х, у, z, α — показатели степеней, которые подлежат определению. Здесь нулевая степень свидетельствует об ее безразмерности и она из определения исключается.

      Запишем и проанализируем размерности физических величин входящих в (7): ; ; ; .

      Данные  размерности подставим в (7) и запишем  уравнение размерностей

       .

      После преобразования данного уравнения, освободившись от знаменателя, получим  алгебраическое уравнение вида

       . (8)

      Приравнивая показатели степеней однородных физических величин левой и правой части (8), составляем систему алгебраических уравнений:

        (9)

      Система (9) состоит их трех уравнений, а неизвестных, подлежащих определению, четыре. Следовательно, такая система не имеет однозначного решения. Для ее решения может  быть использовано два пути.

      Первый  — проанализировать внимательно  условие задачи и менее существенный фактор исключить из функциональной зависимости, если это не повлечет за собой искажения результата.

      Второй  путь — найти закономерные условия, из которых может быть определено значение одного из показателей степени  единиц физических величин.

      В данной задаче логично предположить, что скорость выходящего пара линейно  зависит от мощности электрического чайника, а поэтому принимаем, что  х=1. Тогда система уравнений принимает следующий вид:

        (10)

      Решив систему  находим  , , .

      Подставив численные значения показателей  степеней в уравнение (2), получим

       . (11)

      Как видно, уравнение (11) совпадает с уравнением (12).  
 

      Задача 2. (2.4)

      Найти выражение для скорости распространения  электромагнитных волн в вакууме.

      Основными функциональными характеристиками распространения электромагнитного  излучения (поля) являются: скорость электромагнитной волны с, диэлектрическая постоянная вакуума и магнитная постоянная

      Функциональную  связь этих величин можно представить  в виде

       . (1)

      Запишем (1) в явной форме

       . (2) 

где х, у — показатели степени, которые надо определить.

      Представим  размерности единиц физических величин  уравнения (2):

;  .

      После преобразовании, освобождаясь от знаменателя, получаем

       . (3)

      Приравнивая показатели степеней однородных величин  правой и левой части выражения (3), составляем систему уравнений

      

      Решив систему уравнений, находим:

       ; .

      Подставив значения х и у в (2.31), получим

       . (4)

      Подставив численные значения и в формулу (4), находим

       . 
 
 
 
 
 
 

    3. Метод наименьших  квадратов

     Задача 1. (4.1)

     Установить  зависимость удлинения Е отожженной стальной проволоки диаметром см, длиной 60 см в зависимости от нагрузки W в кг по экспериментальным данным, приведенным в таблице 1.

     Таблица 1 — Экспериментальные данные к  примеру 1

Номер опытов n	W, кг	Е, см	ЕW, см	W2, кг2	, см	,см	, см
1	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,00
2	25	0,0260	0,650	625	0,0262	-0,0020	0,000004
3	50	0,0503	2,515	2500	0,0523	-0,0023	0,000005
4	75	0,0776	5,820	5625	0,0785	-0,0090	0,000081
5	100	0,1040	10,400	10000	0,1047	-0,0007	0,0000005
6	112	0,1168	13,083	12544	0,1175	-0,0007	0,0000005
7	125	0,1318	16,475	15825	0,1309	0,009	0,000008
8	130	0,1378	17,914	16900	0,1361	0,0017	0,000003
	617	0,6441	66,857	63819