Методология научных исследований

           .

    Подставляя  размерности величин  в уравнение  (33), находим

           .

    Преобразуем данное соотношение, освободившись  от знаменателя,

           . (34)

    Приравнивая показатели степеней однородных единиц левой и правой части  соотношения (34), получаем систему алгебраических уравнений:

    

    Подставив найденные значения в (32), получим то же самое выражение .

    Более того, формулу (30) можно преобразовывать следующим образом. Приняв , где — плотность жидкости, – число Рейнольдса, получим окончательную формулу для определения силы

           . (35)

    Поскольку и k безразмерные величины, то их можно объединить в единый комплекс, как это сделано в (35).

    Понятие теории подобия

    Теория  подобия — это учение об условиях подобия физических явлений, опирающееся  на учение о размерностях физических величин и служащее основой физического  моделирования.

    Предметом теории подобия является установление критериев подобия различных  физических явлений и изучение с  помощью этих критериев свойств  самих явлений.

    Имеется достаточно большое разнообразие подобий, но все они произошли от первоначального  геометрического подобия. Физическое подобие является обобщением элементарного  и наглядного понятия геометрического  подобия.

    При геометрическом подобии существует пропорциональность (подобие) сходных геометрических элементов подобных фигур или тел. При физическом подобии поля соответствующих физических параметров двух систем подобны в пространстве и времени.

    Физические  явления, процессы или системы подобны, если в сходные моменты времени, в сходные точках пространства, значения переменных величин, характеризующих  состояние одной системы, пропорциональны  соответственно величинам другой системы. Коэффициент пропорциональности для  каждой из величин называется  коэффициентом  подобия.

    Разнообразие  видов физического подобия расширяется  с освоением новых явлений, процессов, веществ, которые характеризуются  подобием характерных величин для  каждого из них. Например, при кинематическом подобии существует подобие полей  скорости для всех рассматриваемых  движений; при динамическом подобии  реализуется подобие систем действующих  сил или силовых полей различной  физической природы (силы тяжести, силы давления, силы вязкости и т. п.); при  механическом подобии (подобие двух потоков жидкости или газа, подобие  двух упругих систем и т. п.) предполагается наличие геометрического, кинематического  и динамического подобий; при  подобии тепловых процессов подобны  соответственно поля температур и тепловых потоков; при электродинамическом  подобии — поля токов, нагрузок, мощностей, электромагнитных сил.

    С развитием исследований сложных  физических и физико-химических процессов, включающих механические, тепловые и  химические явления, совершенствуются и методы теории подобия  для этих процессов.

    Пропорциональность  для подобных явлений всех характеризирующих  их параметров приводит к тому, что  все безразмерные комбинации, которые  можно составить из этих параметров, имеют для подобных явлений одинаковые численные значения. Безразмерные комбинации, составленные из определяющих параметров, рассматриваемых явлений, называются критериями подобия. Любая комбинация из критериев подобия также представляет собой критерий подобия рассматриваемых  физических явлений.

    Ставится  задача: эти формулы проверить  и уточнить на примере действия силы R на опоры моста через реку. Экспериментировать на натуре сложно, дорого и невозможно в ряде случаев. Доступнее создать физическую модель, перенеся в масштабе параметры натуры на модель, и провести лабораторный эксперимент. Но чтобы закономерности, выявленные на модели, можно бы  перенести на натуру, необходимо при эксперименте выдержать принципы подобия, т. е. постоянство масштабов связи параметров модели «м» и натуры «н».

    В нашей задаче такими масштабами являются:

            

    Связь масштабов, также как и связь  размерностей, устанавливается на основании  определения  величин или на основании  физических законов. Например, и  или . Масштаб модели в целом, т. е. масштаб силы R, — это и есть безразмерная комбинация. Если принять во внимание, что , где ν — коэффициент кинематической вязкости, то .

    Можно составить различные безразмерные комбинации, которые будут являться критериями подобия исследуемых  физических явлений.

    Критерии  физического подобия

    Равенство всех однотипных критериев подобия  для двух физических явлений и  систем — необходимое и достаточное  условие физического подобия. Критерии подобия, представляющие собой отношения  одноименных физических параметров системы (например, отношение длин), называются  тривиальными и при  установлении определяющих (фундаментальных) критериев подобия обычно не рассматриваются. Равенство таких критериев для  двух систем является определением физического  подобия. Нетривиальные безразмерные комбинации, которые можно составить  из определяющих параметров, представляют собой критерии подобия. Всякая новая  комбинация из критериев подобия  так же является критерием подобия, что дает возможность в каждом конкретном случае выбрать наиболее удобные и характерные критерии. Число определяющих нетривиальных критериев меньше числа определяющих физических параметров с различными размерностями на величину, равную числу определяющих параметров с независимыми размерностями.

    Если  известны уравнения, описывающие рассматриваемые  физические явления, то критерии подобия  для этого явления можно получить приводя уравнение к безразмерному  виду путем введения некоторых характерных  значений для каждого из определяющих физических параметров, входящих в  систему уравнений. Тогда критерии подобия определяются как безразмерные коэффициенты, появляющиеся перед некоторыми из членов новой, безразмерной системы  уравнений.

    Когда уравнения, описывающие физическое явление, неизвестны, критерии подобия  отыскиваются при помощи анализа  размерностей, определяющих физических параметров.

    На  примере вышерассмотренной задачи по определению силы действующей  на тело в потоке жидкости, составим возможные безразмерные комбинации:

            (36)

             (критерий числа Рейнольдса).

    Можно составить другие безразмерные комбинации:

            (37)

           (критерий числа Ньютона).

    Если  при составлении безразмерных комбинаций учесть силу тяжести G=mg, то можно получить соотношения:

            (38)

           (критерий числа Фруда).

    Безразмерные  комбинации Re, Nw, Fr, характеризующие соответственно числа Рейнольдса, Ньютона и Фруда, должны быть одинаковыми для модели и натуры.

    Виды  и теоремы подобия

    По  степени соответствия параметров модели и оригинала различают абсолютные, полные, неполные и приближенные подобия.

    Абсолютное  подобие — полное тождество в  пространстве и времени модели и  натуры. Это абстрактное, умозрительное  понятие.

    Полное  подобие — подобие трех основных процессов во времени и пространстве по основным критериям.

    Неполное  подобие —  связано с изучением  процессов только во времени или  только в пространстве.

    Приближенное  подобие — реализуется при  некоторых упрощенных допущениях, приводящих к искажениям, заранее оцениваемым  количественно.

    Перечисленные виды подобия подчиняются некоторым  общим закономерностям, которые  принято называть теоремами подобия. Известно три таких теоремы.

    Первая  теорема подобия  утверждает, что для подобных явлений должны существовать одинаковые критерии подобия, связана с наличием определенных сочетаний параметров, называемых критериями подобия, имеющими одинаковые значения для модели и натуры.

    Применение  первой теоремы для подобных процессов, возможно при описании их однородными  уравнениями вида

          

    где 1,2,…,S — номера процесса;

      — параметры соответственно модели и натуры.

    Опустив индексы процесса можно записать в общем виде

            

    где idem — одинаково для всех рассматриваемых процессов (от лат. idem — такой же);

      — критерий подобия.

    Вторая  теорема подобия указывает на возможность замены в уравнении переменных и сокращения их числа с m размерных до n безразмерных величин, с переходом к критериальному уравнению.

    Пусть, например, какой-то процесс описывается  линейным дифференциальным уравнением третьего порядка

            (39)

    где — время;

      — коэффициенты, имеющие постоянные  значения и размерности; 

      — безразмерный коэффициент.

    Путем введения подстановки  безразмерного (относительного) времени τ, уравнение можно привести к безразмерному виду

            (40)

    где и — безразмерные коэффициенты (числа подобия) функциональных зависимостей

    Третья  теорема подобия  — необходимыми и достаточными условиями подобия являются пропорциональность сходных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления.

    Последовательность  анализа задач физического моделирования  с позиций теории размерностей и  подобия является следующей:

    1. Анализ и постановка задачи.

    2. Выделение фундаментальных параметров, определяющих исследуемое явление.

    3. Составление общей функциональной  зависимости, связывающей производную  величину с определяющими величинами (параметрами).

    4. Преобразование уравнений к безразмерному  виду и выделение критериев  подобия.

    5. Характеристика условий подобия  и определяющих критериев.

    6. Проведение экспериментов с моделью  и пересчет полученных данных  на натуру. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    3. Теоретические основы  метода наименьших  квадратов

    Метод наименьших квадратов сопровождается громоздкими и кропотливыми вычислениями при большом числе наблюдений, которые необходимы для повышения  точности результатов измерения  и достоверности устанавливаемой  эмпирической зависимости. Широкое  внедрение в практику эксперимента ЭВМ это ограничение устраняет.

    Суть данного метода на простой нелинейной зависимости относительно искомых постоянных величин.

    Например, возьмем уравнение параболы второй степени

            (41)

    т. е. многочлен второго порядка, который  в упрощенной терминологии часто  называется «квадрика». Он наиболее удобен и широко применяется в практике обработки экспериментальных данных.

    Подставив в (41) соответствующие значения X, Y, полученные экспериментальным путем, получим ряд (по числу наблюдений n) линейных уравнений с неизвестными постоянными коэффициентами a, b, c… :

            (42)

    Эти уравнения называются  условными, так как они не позволяют определить численные значения постоянных коэффициентов  a, b, c… в целом для искомой зависимости.

    Задача  сводится к тому, чтобы определить коэффициенты a, b, c.. путем решения системы уравнений, в которой число уравнений n было бы больше или равнялось числу неизвестных, а неизвестные удовлетворяли бы уравнению которое достоверно описывает искомую зависимость, устанавливаемую по опытным данным.

    Поскольку результаты наблюдений всегда содержат погрешности и искомая экспериментальная  функциональная зависимость может  не изображаться в точности выбранной  формулой, в данном случае квадрикой, а не многочленом другого порядка, то оказывается невозможно найти  значения неизвестных постоянных a, b, c…, удовлетворяющих всем условиям (42).