Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Февраля 2013 в 16:15, реферат
Рассмотрим некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой у =f(x) на [а, b] (см. рис.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций и прямоугольников, и ее площадь Sл (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство .
1.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл…………………………………………………………………………..…..2
1.1 Задача, приводящая к понятию определенного интеграла………………2
1.2 Понятие определенного интеграла…………………………………3
1.3 Геометрический смысл определенного интеграла…………………….....4
1.4 Экономический смысл определенного интеграла…………………………..6
2.Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница………...7
2.1 Свойство определённого интеграла…………………………………….…7
2.2 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………….......9
2.3 Замена переменной и формула интегрирования по частям а определенном интеграле………………………………………………………...11
3. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...14
3.1 Вычисление площадей плоских фигур…………………………………...14
3.2 Вычисление объёмов тел вращения………………………………………21
3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой………………………………..24
4. Несобственные интегралы…………………………………………………....26
5. Примеры и решение задач……………………………………………………31
5.1.Вычисление определенных интегралов по формуле
Ньютона-Лейбница……………………………………………………………...31
5.2 Замена переменной в определенном интеграле………………………….35
5.3 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле………….38
6. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...41
-1 1
Решение: График функции получен из графика функции путём сдвига на 2 единицы вверх по оси ординат.(рис.10)
, где ,
Задача 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
(рис.11)
х = -3 х = -1
1 у = 1
-4 -3 -2 -1 0 х
рис.11
Решение: Т.к. , то
Задача 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
(рис.12)
рис.12
Решение: Так как а то по формуле (28.3), получим:
Задача 13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
(рис.13)
Решение: Здесь дан нижний предел интегрирования, а верхний найдём как абсциссу точки пересечения линий и , решив уравнение: . Следовательно, (т.к. );
Т.к. , то получим:
Задача 14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
, (рис.14)
у
8
4
1
0 1 2 4 х
Решение: Верхний предел интегрирования задан . Найдём нижний предел интегрирования, решив уравнение (т.к. это абсцисса точки пересечения двух линий и ).
Так как на отрезке , , то имеем:
Задача 15. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
и (рис.15)
у
-1 1
-1
Решение: Здесь не заданы пределы интегрирования, поэтому найдём их, решив уравнение:
Так как на отрезке
,а , то получим :
Задача 16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: и (рис.16)
-1 0
1
Решение. Так как не заданы пределы интегрирования, найдём их, решив уравнение:
, , ,
На отрезке , следовательно, , поэтому имеем:
Задача 17.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Рис.17
Решение. Пределы интегрирования найдем , решив уравнение:
, ,
Т.к. на отрезке , то имеем:
Задача 18. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
и
В
2
Решение: Для более точного построения парабол найдём их вершины:
а)
Итак,
б)
Итак, В(3;11) (см.рис.18)
Так как пределы интегрирования не даны, найдём их, решив уравнение:
,
,
, ,
,
Так как на отрезке
, а , то
г) Применение формулы (12).
, если
Задача 19. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
и и осью Ох (т.е. ).
у
Решение: Из точки пересечения двух парабол опустим перпендикуляр на ось Ох и разделим искомую площадь на две части (рис.19) .
Найдём пределы интегрирования:
а) ,
, , ;
б)
, , ;
И так, на отрезке криволинейная трапеция сверху ограничена графиком функции , а на отрезке графиком функции .
Поэтому:
Задача 20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
и осью Ох.
y
2
1
Решение: Из точки пересечения двух линий опустим перпендикуляр на ось Ох.(см.рис.20). Получим 2 части искомой площади. Найдём пределы интегрирования, решив 3 уравнения:
а)
т.к. 9 не является корнем иррационального уравнения , то оставим
б)
в)
Итак,
Задача 21. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
(рис.21)
у
4
S1 S2
1
0 1 2 х
Решение: Найдём все пределы интегрирования, решив уравнения:
а)
б)
в)
Итак,
д) Вычисление площадей фигур, если на отрезке функция принимает значение
Задача 22. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции при (рис.22)
Решение: Так как на , а на , то имеем:
Задача 23. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
(см.рис.28.41)
y
2
S1
1
0
1
S2
2
Решение: Так как графики функций и пересекают ось Ох в точках и т.д.
Причём на отрезке и , а на отрезке и , поэтому
Площадь можно вычислить и так:
е) Вычисление площадей фигур
с применением уравнения
Задача 24. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: и касательной в точке с абсциссой (рис.24).
-4 -2 0 2 4 х