Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Февраля 2013 в 16:15, реферат
Рассмотрим некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой у =f(x) на [а, b] (см. рис.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций и прямоугольников, и ее площадь Sл (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство .
1.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл…………………………………………………………………………..…..2
1.1 Задача, приводящая к понятию определенного интеграла………………2
1.2 Понятие определенного интеграла…………………………………3
1.3 Геометрический смысл определенного интеграла…………………….....4
1.4 Экономический смысл определенного интеграла…………………………..6
2.Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница………...7
2.1 Свойство определённого интеграла…………………………………….…7
2.2 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………….......9
2.3 Замена переменной и формула интегрирования по частям а определенном интеграле………………………………………………………...11
3. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...14
3.1 Вычисление площадей плоских фигур…………………………………...14
3.2 Вычисление объёмов тел вращения………………………………………21
3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой………………………………..24
4. Несобственные интегралы…………………………………………………....26
5. Примеры и решение задач……………………………………………………31
5.1.Вычисление определенных интегралов по формуле
Ньютона-Лейбница……………………………………………………………...31
5.2 Замена переменной в определенном интеграле………………………….35
5.3 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле………….38
6. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...41
прямыми х = а и x = b и осью Ох, то площадь её находится по формуле
и определяются из равенств:
х( ) = а , х( ) = b.
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом t , t . y
Решение.
Найдём сначала
Находим:
Итак, , значит, .
3.2 Вычисление объёмов тел вращения.
Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Необходимо найти объём Vx тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , (см. рис. 13)
Для решения задачи применим тот же подход, который был использован выше для нахождения площади криволинейной трапеции. Разобьём отрезок на элементарные отрезки точками:
и на каждом из отрезков разбиение некоторым образом выберем точку , где I = 1,2, , n.
У
0 а b x
рис. 13.
Тогда некоторое приближение
для искомого объёма даст
I – е слагаемое которой ( I = 1, 2, … , n) – это объём цилиндра с
высотой и радиусом основания (см.рис.13.). Очевидно, что приближение для искомого объёма Vx , будет тем лучше, чем меньше длина отрезков разбиения , поэтому за искомый объём Vx естественно взять следующий предел
где max - максимальная из длин отрезков разбие5ния. Но выражение, стоящёё в правой части (7), не что иное, как предел интегральной суммы для функции , поэтому (см. определение определённого интеграла и формулу (1)) окончательно получаем
Можно дать геометрическую интерпретацию формулы (8). Объём можно считать как сумму площадей «нанизанных» плоских кругов каждой точке х отрезка , где S круга = πR2 , а R = - значение функции в каждой точке х.
Пример 8. Вычислить объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями , , , вокруг оси Ох. (рис.14.).
Решение. По формуле (8) искомый объём
у
1
0
Рис.14.
Формально заменяя
в формуле d
(8) переменную х на у, полу-
чаем формулу для вычисления
(9)
(на рис.15) вращаемая криволинейная трапеция заштрихована).
Пример 9. Найти объём тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями у = х2 , у = х3 .
У
1
0 1 х
рис.16.
Решение. Проецируя вращаемую фигуру на ось ординат (см.рис.16), убеждаемся, что искомый V равен разности двух объёмов: объёма Vy1 , полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями , , , и объёма Vy2 , для которого вращаемая фигура ограничена линиями , , . (С учётом предстоящего применения формулы (9) уравнения кривых записаны в виде , предполагающем переменную у независимой).
Применяя (28.9), получаем:
Окончательно
3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой.
Пусть дана плоская кривая АВ, уравнение которой , где .
У
M2
M1 M3
A
a
Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена её стремится к нулю.
Так, если функция и её производная непрерывны на отрезке , то кривая АВ имеет длину, равную
(примем без доказательства)
Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме
,
где х(t) и у(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и х( ) = а, х( ) = b, то длина кривой АВ находится по формуле
Эта формула может быть получена из формулы (10) подстановкой , , .
Пример 10. Найти длину окружности радиуса R (рис.18)
Решение. Найдём часть её длины от точки (0;R) до точки (R;0) (см.рис18). Так как для окружности, то
у
R
-R 0 R х , , то
-R
рис..18.
4. Несобственные интегралы.
Определенный интеграл , где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция непрерывна на отрезке , называют еще собственным интегралом. Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования, или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл Ι рода).
Пусть функция непрерывна на промежутке . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .
Таким образом, по определению
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если же указанный предел не существует
или он бесконечен, то говорят, что интеграл
расходится.
Аналогично определяется несобственный
интеграл на промежутке :
(2)
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой
где с – произвольное число.
В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см.рис.1)
Пример 1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Решение: 1) интеграл сходится;
2) интеграл расходится, так как при предел не существует.
3) , интеграл расходится.
4) Исследуем на сходимость интегралы и
т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но
т.е. расходится и, следовательно, расходится несобственный интеграл .
При работе с несобственными интегралами обычно выделяют две задачи:
а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.
В некоторых случаях решения этих двух задач удаётся объёдинить.В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведём без доказательства некоторые признаки сходимости.
Пример 29.2. Сходится ли интеграл
Решение: При имеем Но интеграл сходится. Следовательно, интеграл также сходится ( и его значение меньше 1).
Пример 3. Исследовать сходимость интеграла
Решение: Интеграл сходится, так как интеграл сходится и
Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл ΙΙ рода)
Пусть функция непрерывна на промежутке и имеет бесконечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
Таким образом, по определению,