Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Ноября 2013 в 19:59, лекция
Работа содержит лекцию по дисциплине "Алгебра и геометрия"
Раздел 1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений.
Лекция 1.1. Числовые матрицы и действия над ними.
Краткое содержание: Место линейной алгебры и аналитической геометрии в естествознании. Роль отечественных ученых в развитии этих наук. Понятие матрицы. Операции над матрицами и их свойства.
Таблица чисел вида называется прямоугольной матрицей размерности . Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами A, B, C,…Числа, из которых состоит таблица, называют элементами матрицы. Каждый элемент имеет два индекса и , обозначающие соответственно номер строки ( ) и номер столбца( ), в которых расположен данный элемент. Используются следующие обозначения матрицы .
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность (т.е. одинаковое число строк и столбцов) и если числа, стоящие на соответствующих местах этих матриц, равны.
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, матрицу называют квадратной. В квадратной матрице число строк (или столбцов) называют порядком матрицы. В частности квадратная матрица первого порядка – это просто действительное число. Соответственно говорят, что вектор строка есть матрица размерности , а вектор-столбец имеет размерность .
Элементы, стоящие на главной диагонали квадратной матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол), называются диагональными.
Квадратная матрица все элементы которой не лежащие на главной диагонали равны 0 называется диагональной.
Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а все внедиагональные – 0, называется единичной и обозначается или , где n- ее порядок.
Основные операции над матрицами – сложение матриц и умножение матрицы на число.
Произведением матрицы А на число называется матрица той же размерности, что и матрица А, каждый элемент которой умножен на это число .
Например: ; .
Свойства операции умножения матрицы на число:
Линейной комбинацией матриц А и В одинакового размера называется выражение вида: aА+bВ, где a,b - произвольные числа
Суммой матриц А и В ( это действие применимо только к матрицам одинаковой размерности) называется матрица С такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В.
Свойства сложения матриц:
1)А+В=В+А(коммутативность)
2)(А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С(
Разностью матриц А и В ( это действие применимо только к матрицам одинаковой размерности) называется матрица С такой же размерности, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В.
Транспонирование. Если элементы каждой строки матрица размерности записать в том же порядке в столбцы новой матрицы, причем номер столбца будет равен номеру строки, то новую матрицу называют транспонированной по отношению к и обозначают . Размерность равна Переход от к называется транспонированием. Ясно так же, что . ,
Умножение матриц. Операция умножения матриц возможна лишь в том случае, если число столбцов первого множителя равны числу строк второго. В результате умножения получим матрицу, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя, а число столбцов с числом столбцов второго:
Правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в –й строке и –м столбце произведения двух матриц, нужно элементы –й строки первой матрицы умножить на элементы –го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. На математическом жаргоне иногда говорят: нужно –ую строку матрицы умножить на –й столбец матрицы . Ясно, что строка первой и столбец второй матрицы должны содержать одинаковое количество элементов.
В отличие от этих операций операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложно. Пусть заданы две матрицы А и В, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй: например, матрица А имеет размерность , а матрица В – размерность . Если
, , то матрица размерности
, где (i=1,…,m;j=1,…,k)
называется произведением
ПР.
Свойства операции умножения матриц:
Элементарные преобразования над матрицами:
Лекция 1.2. Определители с действительными коэффициентами. Нахождение обратной матрицы.
Краткое содержание: Определители и их свойства. Методы вычисления определителей с действительными коэффициентами. Нахождение обратной матрицы дляматриц третьего порядка.
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы. Определитель – это число, которое находится по вполне определенным правилам и обозначается или det A.
Определитель матрицы второго порядка находится так: или
Определителем третьего порядка называется число:
Для запоминания этой громоздкой формулы существует «правило треугольников»:
Определитель третьего порядка можно посчитать и другим методом - методом разложения по строке или по столбцу. Введем некоторые определения:
Минором квадратной матрицы А называется определитель матрицы А, который получается вычеркиванием –й строки и –го столбца: например для минор - .
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, в которых расположен элемент, четна, и с обратным знаком, если сумма номеров нечетна: .
Тогда: Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на их алгебраические дополнения.
ПР: Вычислим определитель: , разложив его по элементам первой строки.
Свойства определителей:
1.Определитель равен 0, если содержит две одинаковые строки (столбца) или нулевую строку (столбец).
2.Определитель
меняет свой знак при
3.Общий множитель в строке (в столбце) можно выносить за знак определителя.
4.Определитель не меняется, если к строке (столбцу) прибавить любую другую строку (другой столбец), умноженную на произвольное число.
5.Определитель не меняется при транспонировании матрицы .
6.Определитель еденичной матрицы равен 1:
7.Определитель произведения матриц равен произведению определителей
Обратная матрица.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
Если при умножении квадратных матриц А и В в любом порядке получается единичная матрица (АВ=ВА=Е), то матрица В называется обратной матрицей для матрицы А и обозначается , т.е. .
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
Обратная матрица. Квадратная матрица наз невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.
Матрица, обратная к матрице обозначается . Если обратная матрица существует, то она единственна и
, где – присоединенная (союзная), составленная из алгебраических дополнений j:
Тогда определитель обратной матрицы связан с определителем данной матрицы следующим соотношением: . В самом деле, , откуда и следует данное равенство.
Свойства обратной матрицы:
Лекция 1.3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера .методам Гаусса и средствами матричного исчисления.
Краткое содержание: Метод Крамера и метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Матричный способ решения систем уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений. Однородные и неоднородные системы.
Система уравнений следующего вида:
(*) , где , - коэффициенты, - переменные, называется системой линейных уравнений. Решить систему линейных уравнений – это значит указать все решения системы, т.е. такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества. Система линейных уравнений называется:
а) совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
б) несовместной, если она не имеет решений;
в) определенной, если она имеет единственное решение;
г) однородной, если все ;
д) неоднородной, если есть .
Систему линейных уравнений (*) можно записать короче: Ax=b, где A – матрица, составленная из коэффициентов , x – вектор столбец неизвестных , b – вектор столбец свободных членов .
Можно обозначить вектор переменных через x, вектор правых частей уравнений через b, а матрицу коэффициентов через A:
, ,
Тогда по определению матричного произведения систему линейных уравнений можно записать короче: Ax=b.
При исследовании системы линейных уравнений главную роль играет определитель составленный из коэффициентов системы. Его называют главным определителем системы. Введем еще n определителей: определитель получается из определителя заменой j–го столбца на столбец b правых частей уравнений ( ).
Правило Крамера применяется к системам, у которых число уравнений m равно числу переменных n, т.е. m=n.
Правило Крамера:
1.Если , система Ax=b имеет единственное решение: , …, .
2.Если , а хотя бы один из определителей не равен 0, система несовместна.
3.Если , система имеет бесконечно много решений.
Метод Гаусса:
В случае систем большого числа уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов. Процесс решения по методу Гаусса состоит из 2х этапов: на первом этапе система приводится к ступенчатому виду (прямой ход), на втором этапе идет последовательное нахождение неизвестных из этой системы (обратный ход) Рассмотрим метод на примере системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
Допустим, что (если , то изменим порядок уравнений, выбрав первым такое уравнение, в котором коэффициент при x не равен нулю).
Первый шаг: Делим первое уравнение на , умножаем полученное уравнение на и вычитаем из второго; затем умножаем на и вычитаем из третьего; наконец умножаем на и вычитаем из четвертого. В результате первого шага приходим к системе
Второй шаг: Поступаем с вторым, третьим и четвертым уравнениями новой системы так же как на первом шаге. В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда.
Ранг Матрицы.
Рассмотрим матрицу А:
Выделим в матрице k строк и k столбцов (k<=min(m,n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составим определитель k-го порядка. Такие определители называются минорами k-го порядка этой матрицы. В нашей матрице выделен минор 2-го порядка.
Наибольший порядок миноров данной матрицы отличных от нуля наз. рангом матрицы
Обозначается r(A), rang(A),r. Очевидно, что r< min(m,n). Минор, порядок которого определяет ранг матрицы наз. базисным.
Свойства ранга матрицы:
Системы 2-х и 3-х линейных уравнений .
Пусть мы умеем вычислять определители (n-1)-го порядка и задана квадратная матрица n-го порядка
. Тогда определителем матрицы А (определителем n-го порядка) называется число, не зависящее от номера строки по которой разлагается определитель: . Аналогично определитель n-го порядка можно разложить и по j–му столбцу: . Где алгебраическое дополнение элемента .
С помощью определителей n-го порядка можно исследовать системы линейных уравнений с n неизвестными.
Рассмотрим систему линейных уравнений n-го порядка:
Т1. Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений совместна т.и.т.т., если ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной
Т2.Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение
Т3.Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений
(Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Если она не имеет ни одного решения, то несовместной.
Совместная система наз. определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.