Лекция "О системах счисления"

Пример2. Перевести 0,5625₁₀ восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:        

  Ответ: 0,5625₁₀=0,52₈

 

 

Пример3. Перевести 0,665₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:        

 

 

Процесс умножения может продолжаться до бесконечности. Тогда его прерывают  на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа

Ответ: 0,665₁₀=0,10001₂

Переведите числа из десятичной системы счисления в  другую.

а) 0, 65625₁₀→А₁₆

б) 0,7₁₀→А₂ с точностью до 4 знаков после запятой

в) 0,4125₁₀→А₈  с точностью до 6 знаков

3. Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в другую.

Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную  части, осуществляют в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

 

Пример1. Перевести 26,25₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

переводим целую часть            переводим дробную часть

 

 

 

 

 

Ответ: 26,25₁₀=11010,01₂

Пример2. Перевести 123,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:

переводим целую часть            переводим дробную часть

 

 

 

Ответ: 123,5625₁₀=173,44₈

Перевести из десятичной системы счисления следующие  числа:

а) 173,5625₁₀→А₂

б) 404,65625₁₀→А₁₆

в) 125,25₁₀→А₈

4. Перевод  чисел из любой системы счисления в десятичную.

Правило Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

Пример1. Перевести число 110110₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

      5  4 3  2 1 0

      1 1 0 1 1 0 ₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰ =32+16+4+2=54₁₀

Ответ: 110110₂ = 54₁₀

Пример2. Перевести число 101,01₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       2  1  0 -1 -2

      1 0 1,0 1  ₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2 =4+0+1+0+0,25=5,25₁₀

Ответ: 101,01₂ = 5,25₁₀

Пример3. Перевести число 122100₃ из троичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       4  3  2 1  0

1 2 2 0 1 ₃=1*3⁴ +  2*3³ + 2*3² + 0*3¹ + 1*3⁰ = 81+54+18+1 = 154₁₀

Ответ: 12201₃ = 154₁₀

Пример4. Перевести число 163₇ из семеричной системы счисления в десятичную.

Решение:     163₇ = 1*7² + 6*7¹ + 3*7⁰  = 49+42+3= 94₁₀.

Ответ: 163₇ = 94_10.

Пример5. Перевести число 234,6₈ из восьмеричной системы в десятичную:

    Решение:

       2  1  0 -1

2 3 4, 6₈ = 2*8² +3*8¹ + 4*8⁰ +6*8^-1= 2*64+3*8+4+6*0,125= 128+24+4+0,75 =156,75₁₀

Ответ: 234,6₈ = 156,75_10.

Пример6. Перевести число 2Е₁₆ в десятичную систему счисления.

Решение:

       2  1

 2 Е₁₆ = 2*16¹ +14*16⁰ = 32 +14 = 46₁₀.

Ответ: 2Е₁₆ = 46_10.

 

Перевести из различных  систем счисления в десятичную:

а) 111100111₂                   г) 367,2₈

б) 1001110,11₂                         в) АВ2Е,8₁₆

5. Перевод  чисел из двоичной системы  счисления в  восьмеричную  и шестнадцатеричную системы счисления.

Перевод целых чисел.

Правило Чтобы перевести целое двоичное число в восьмеричную (8=2³) систему счисления необходимо:

• разбить данное число справа налево на группы по 3 цифры в каждой;
• рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

 

Пример1. Перевести число 11101010₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

11101010

3    5   2

Ответ: 11101010₂ = 352₈

 

Пример2. Перевести число 11110000010110₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111110000010110

7    6   0    2   6

Ответ: 11110000010110₂= 76026₈

Правило Чтобы перевести целое двоичное число в шестнадцатеричную (16=2⁴) систему счисления необходимо:

• разбить данное число справа налево на группы по 4 цифры в каждой;
• рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

 

 

Пример3. Перевести число 11100010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11100010

   Е       2

Ответ: 11100010₂ = Е2₁₆

 

Пример4. Перевести число 11110000010110₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11110000010110

3    С     1     6

Ответ: 11110000010110₂= 3С16₁₆

 

Перевод дробных чисел.

 

Правило Чтобы перевести дробное двоичное число в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления необходимо:

• разбить данное число, начиная от запятой влево целую часть и вправо дробную часть на группы по 3 (4) цифры в каждой;
• рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной (шестнадцатеричной)системы счисления.

Пример5. Перевести число 0,10110000111₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

0,10110000111

  В     0     7

Ответ: 0,10110000111₂ = В07₁₆

 

Пример6. Перевести число 111100001,0111₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111100001,0111

7    4   1    3   1

Ответ: 111100001,0111₂= 741,31₈

 

Пример7. Перевести число 11101001000,11010010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11101001000,11010010

  7     4     8      D       2

 

Ответ: 11101001000,11010010₂ = 748,D2₁₆

 

Перевести числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

а) 1101000101011₂

б) 100000011,000101110₂

в) 10010111011101,11101011₂

г) 111110000000111111111,000001111100000111110101₂

6. Перевод  чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной  систем счисления в двоичную  систему счисления.

 

Правило Для того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого числа заменить соответствующим числом, состоящим из 3 (4) цифр двоичной системы счисления.

 

Пример1. Перевести число 528₈  перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

 5    2     3

101 010 011

Ответ: 528₈ = 101010011₂

 

Пример2. Перевести число 4ВА35,1С2₁₆  перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

 4    В       А     3     5    ,   1       С     2 

100 1011 101000110101  0001 1100 0010

Ответ: 4ВА35,1С2₁₆ = 10010111010001101010001 11000010₂

Перевести числа в  двоичную систему счисления

а) 6217,251₈                        в) 23654₈

б) А4ВС10А,5Е₁₆                           г) АСЕ560В₁₆

 

№1 Переведите число из римской системы счисления в десятичную:

MCMLXXXIV = ____________₁₀

 

№2 Переведите число в римскую систему счисления:

        1499 = _______________________

 

№3 Представьте число в развернутой форме:

235428,2₁₀ = ____________________________________________

12223101₄ = ____________________________________________

 

№4 Переведите числа из десятичной системы счисления в другие:

56₁₀ = _____________₂

56₁₀ = _____________₅

 

№5 Переведите числа в десятичную систему счисления:

11011011₂ = __________________₁₀

1222₃ = ____________________₁₀

3. Арифметические операции в системах счисления.

1. Сложение  в двоичной системе счисления.

                                                                        

Правило   0+0 =0 1+0=1 0+1=1 1+1=10

Пример1.  Сложить числа 1112 и 102. Решение:     111                +    10              1001 Проверка:  1112 = 710,   102= 210,   10012 =910       7+2=9 Ответ: 10012

     

Пример2. Сложить числа 11111₂ и 111₂

  

Решение:        11111

                   +     111

                     100110

Проверка: 11111₂=1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰=16+8+4+2+1=31₁₀

111₂ = 7₁₀

100110₂=1*2⁵+0+0+1*2²+1*2¹+0=32+4+2=38₁₀

31+7=38

Ответ: 100110₂

 

Пример3. Сложить числа 1111₂, 1011₂, 111₂.

Решение:

1111              +      1011       111                        100001

(Пояснение: 1+1+1=11, 1 пишем,1 в уме, 1+1+1=11 плюс 1 в уме равно 100, 0 пишем, 0 в следующий разряд,1- через разряд и т.д.)

   Ответ: 100001₂

 

Пример4.  Выполните сложение 1111,101₂+101,11₂.

Решение:

111,101       + 101,11           1101,011

(Пояснение: по правилам математики  при сложение дробных чисел  запятая записывается под запятой)

   Ответ: 1101,011₂

 

Выполните действия:

1. 11111001101₂+1111111₂                      3)  111,1101₂+101,0011₂
2. 101010111₂+111110₂                              4)  111,0101011₂+101011,1111₂

2. Вычитание  в двоичной системе счисления.

 

Правило   0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1 (занимаем у старшего разряда)

Пример1. Из числа 10012 вычесть число 1112. Решение:          _ 1001                 111                                                            10  Проверка:    10012 =9, 1112  = 7, 102 = 2,  9-7=2 Ответ: 102

 

Пример2.      Из числа 100001₂  вычесть число 111₂

Решение: _ 100001

        111

    11010

Ответ: 11010₂

 

Пример3.      Выполнить действие 100101,01₂ – 111,111₂

Решение: _ 100101,010

        111,111

    11101,101

Ответ: 11101,101₂

Выполните действия:

1)  11111001101₂-1111111₂                       

2)  101010111₂-111110₂                              

3)  111,1101₂-101,0011₂

4)  101011,11112 - 111,0101011₂

3. Умножение  в двоичной системе счисления.

 

Умножение в двоичной системе счисления  производится аналогично умножению  в десятичной системе счисления.

 

Пример1. Умножить число 101₂ на 110₂

Решение:     101

          *110

                 000

           +   101

               101   .

                11110               Ответ: 11110₂

Пример2.      Выполнить действие 1011,01₂ ∙ 111,11₂

Решение:     1011,01

*   111,11

    101101

  101101

      +   101101

    101101

  101101       ,

    1010111,0011

 

Ответ: 1010111,0011₂

Выполните действия:

1)  11111001101₂-1111111₂                       

2)  111,1101₂-101,0011₂

4. Деление в двоичной системе счисления.

 

Операция деления выполняется  также как и в десятичной системе  счисления.

 

Пример1. Разделить число 101000101₂ на число 1101₂.

Решение:

101000101  1101

  1101 11001

    1110

          1101

           1101

                1101

                     0  Ответ: 11001₂

 

Пример2. Выполните деление с точностью до 3 знаков после запятой 1001₂:11₂

Решение:

        1011  11

          11  . 11,010

          101

                11

           100

                  11

                    101

                      11

                      10  Ответ: 11,010₂

Выполните действия:

1. 101111001101₂:110101₂

2) Выполните деление с точностью до 4 знаков после запятой 1001₂:101₂

5. Сложение  и вычитание в восьмеричной системе счисления.

 

Используя таблицу и привычные  правила сложения, совсем не трудно  складывать и вычитать числа в восьмеричной системе счисления

 

Правило

Пример1. Вычислите 6348+2758 Решение:         634     +  275        1131          Ответ: 11318   Пример2. Вычислите 305,48+24,758 Решение:         305,4     +   24,75         332,35         Ответ: 332,358

 

Пример3. Вычислите 634₈-275₈

Решение:         634     -   275           337                              Ответ: 3378

Пояснение: Т.к. от 4 не отнять 5, то занимаем у следующего разряда (т.к. система  восьмеричная то 1 разряд составляет 8 единиц). От 8 -5+4=7 Аналогично, т.к. у тройки одну единицу заняли, то необходимо от 2 отнять 7, поэтому, заняв у следующего разряда, получаем 8-7+2=3 и т.д.