Контрольная работа по "Высшей математике"

Вариант 49

Задание №1.

Найти предел функции:

 

 

Задание №2.

Найти предел функции, используя замечательные пределы:

 

 

 

 

Задание №3.

Найти , , , , если известно

 

Решение:

Преобразуем исходную функцию:

 

Найдем производные:

+

 

 

 

 

=

 

 

Вычислим искомые значения функций:

 

 

 

 

 

Задание №4.

Найти , , если известно

 

Решение.

 

 

 

 

Вычислим искомые значения функций:

 

 

 

Задание №5.

Провести полное исследование функции и начертить её график:

 

Решение.

Алгоритм исследования функции  состоит из следующих шагов.

1. Нахождение области определения функции.

В нашем примере нужно  найти нули знаменателя и исключить  их из области действительных чисел.

Знаменатель равен нулю при 

Область определения функции 

2. Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.

В нашем примере граничной точкой области определения является .

Исследуем поведение функции  при приближении к этой точке слева и справа, для чего найдем односторонние пределы:

 

 

Так как односторонние  пределы бесконечны, то прямая является вертикальной асимптотой графика.

3. Исследование функции на четность или нечетность.

Найдем :

 

Функция не является ни четной, ни нечетной. Перед нами функция общего вида.

4. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Найдем производную исследуемой  функции на области определения:

 

 

Итак, производная  на всей определения. Соответственно, исследуемая функция убывает на всей области определения.

Точек экстремума нет. Критическая  точка одна .

5. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

Находим вторую производную на области определения:

 

В нашем примере нулей  числителя нет, нули знаменателя  .

При знак второй производной «-» - функция является выпуклой , а при знак второй производной «+» - функция является вогнутой.

В нашем примере точек  перегиба нет, так как вторая производная  меняет знак проходя через точку , а она не входит в область определения функции.

Составим на основании полученных данных таблицу

		1
	-	-	-
	-	-	-
		-

 

6. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

Наклонные асимптоты  ищутся в виде прямых , где

 

 

Имеем горизонтальную асимптоту .

7. Вычисляем значения функции в промежуточных точках.

Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько  значений функции в промежуточных  точках (то есть в любых точках из области определения функции) и точки пересечения координатных осей с графиком функции.

Если , то .

Функция при

Для нашего примера также найдем значения функции в точках , , , .

	-3	-2	-1	0	2	3
	1,5	1	0	-3	9	6

Построим график исследуемой  функции.

Задание №6.

Определить какой из двух интегралов больше на отрезке 

 

Решение.

Для ответа на поставленное задание найдем разность интегралов на данном отрезке:

 

 

 

Так как разность двух интегралов на отрезке  отрицательная, то значение первого интеграла ( меньше значения второго интеграла () на этом отрезке

Задание №7.

Найти значение определенного  интеграла

 

Решение.

Подинтегральная функция является нечетной:

 

Отрезок интегрирования симметричен  относительно начала координат, поэтому

 

 

Задание №8.

Найти значение неопределенного  интеграла

 

Решение.

Вычислим неопределенный интеграл:

 

 

 

Задание №9.

Вычислить двойной интеграл по области D, если область D ограничена линиями , , x=1.

 

Решение.

Приведем исходный двойной  интеграл к повторному: