Исследование формы параболоидов методом параллельных сечений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

«Исследование формы параболоидов методом параллельных сечений»

 

 

 

 

Работу выполнил:

Филиппова Е.А. студент ПГС-I-9

Работу проверил:

проф. Ситникова Е.Г.

 

 

Москва, 2011

Содержание

1) Поверхности второго порядка………………………………………………………………………….3

2) Параболоиды. Разновидности параболоидов…………………………………………………..4

3) Эллиптический параболоид. Применение метода параллельных сечений для исследования его формы……………………………………………………………………………….......5

4) Гиперболический параболоид. Применение метода параллельных сечений для исследования его формы…………………………………………………………………………………....7

5) Список использованной литературы……………………………………………………………….9

6) Приложение…………………………………………………………………………………………………..10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

К поверхностям второго порядка  относятся (см. Приложение):

• эллипсоид;
• гиперболоиды (однополостный, двуполостный);
• параболоиды (эллиптический, гиперболический);
• конус второго порядка;
• цилиндр (эллиптический, гиперболический, параболический)

Геометрическое исследование поверхностей второго порядка проводится по заданным уравнениям с помощью метода параллельных  сечений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параболоиды. Разновидности параболоидов

Парабалоиды - поверхности, которые являются пространственными аналогами парабол на плоскости.

Существует два вида параболоидов:

1)эллиптический

, где  и – положительные числа каноническое уравнение  эллиптического параболоида

 

 

 

 

 

2) гиперболический

 

каноническое уравнение  гиперболического параболоида

 

 

 

Эллиптический параболоид. Применение метода параллельных сечений для исследования его формы

Эллиптический параболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется каноническим уравнением (1)

                    

Исследуем поверхность эллиптического параболоида методом параллельных сечений:

- плоскостью ; при из уравнения (1) имеем:

Мы видим, что полученное уравнение представляет собой восходящую параболу, симметричную относительно оси , с вершиной в начале координат; параметр этой параболы равен .

- плоскостью ; при из уравнения (1) имеем:

По аналогии с предыдущим сечением данное уравнение представляет собой восходящую параболу с параметром .

- плоскостями, параллельными координатной плоскости ;

Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида , а сечение параболоида этой плоскостью определяется уравнениями (2):

                                                                    

                                                                                                                                                              

 

 

Из уравнений (2) видно, что:

• при плоскость пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями , , расположенному симметрично относительно плоскостей ;
• при возрастании величины и возрастают;
• если возрастает бесконечно, то и возрастают также бесконечно;
• если , убывая, приближается к нулю, то и убывают и также приближаются к нулю; при имеем , ; это означает, что эллипс, образуемый сечением параболоида (1) плоскостью , вырождается в точку; иначе говоря, плоскость касается данного эллиптического параболоида;
• при уравнения (3) определяют мнимый эллипс; это означает, что плоскость при c данным параболоидом не встречается совсем.

Сопоставляя изложенное, можем  заключить, что эллиптический параболоид имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Он обладает двумя взаимно  перпендикулярными плоскостями  симметрии; при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены  с координатными плоскостями и . Точка, с которой совмещено начало координат называется вершиной эллиптического параболоида; числа и называются его параметрами. Заметим, что в случае уравнения (3) определяют окружность с центром на оси . Отсюда следует, что при эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг ее оси.

Пример

1) Поверхность, заданная  уравнением есть параболоид вращения, образованный вращением параболы около ее оси (ось ).

2) Поверхность, заданная уравнением  есть тот же параболоид, иначе расположенный (ось вращения совпадает с ).

Гиперболический параболоид. Применение метода параллельных сечений для исследования его  формы

Гиперболический параболоид - поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных  координат определяется каноническим уравнением (3)

 

Исследуем поверхность гиперболического параболоида методом  параллельных сечений:

- плоскостью  ; при из уравнения (3) имеем уравнение (4):

Мы видим, что полученное уравнение представляет восходящую параболу, симметричную относительно оси , с вершиной в начале координат; параметр этой параболы .

  - плоскостями, параллельными плоскости ; каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида , а сечение параболоида этой плоскостью определяется уравнениями (5)

 
Из уравнений (5) видно, что:

• при любом плоскость пересекает гиперболический параболоид по нисходящей параболе, расположенной симметрично относительно плоскости .

 Все эти параболы, как  показывает первое из уравнений (5), имеют общий параметр, равный ; вершина каждой из них лежит на линии, которая образуется сечением параболоида плоскостью , т.е. на восходящей параболе, определенной уравнениями (4).

- плоскостями, параллельными плоскостями ; каждая плоскость пересекает гиперболический параболоид по восходящей параболе, что видно из уравнений, определяющих такие сечения

 

 

 

одно из этих сечений, а  именно, соответствующее значению было рассмотрено нами в первую очередь.

- плоскостями, параллельными плоскости ; каждая плоскость имеет уравнение , а сечение параболоида этой плоскостью определяется уравнениями (6)

Из уравнений (6) мы видим, что:

• плоскости пересекают гиперболический параболоид по гиперболам,  расположенным симметрично относительно плоскостей и ;
• если , то соответствующая гипербола пересекает плоскость ;
• если , то соответствующая гипербола пересекает плоскость ;
• при  гипербола вырождается в пару прямых.

Все изложенные позволяет заключить, что гиперболический параболоид имеет форму седла. Он обладает двумя  взаимно перпендикулярными плоскостями  симметрии; при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены  с координатными плоскостями и . Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной гиперболического параболоида; числa называются его параметрами.

Пример

Поверхность есть гиперболический параболоид; оба главных сечения – параболы, равные между собой, но обращенные в противоположные стороны. Поверхность можно образовать параллельным смещением одной из парабол вдоль другой. Сечение плоскостью - равносторонняя гипербола с полуосями , . При она обращается в пару перпендикулярных прямых (,).

Список  использованной литературы

1) Ефимов Н.В. «Краткий курс аналитической геометрии», 2006 г.

2) Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», 1962 г.

3) Шипачев В.С. «Высшая математика», 2008 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

	Название  поверхности	Каноническое  уравнение	Схематическое изображение
1	Эллипсоид
2	Гиперболоид
	-однополостный
	- двуполостный
3	Параболоид
	-эллиптический
	-гиперболический
4	Конус второго порядка
5	Цилиндр
	-эллиптический
	-гиперболический
	-параболический