Число, стоящее до десятков
умножить на два,
К результату прибавить
оставшееся число.
Проверить делится
ли полученный результат на 7, или нет.
Например:
4690 - 46·2=92,
92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.
Признаки делимости на 8
Число делится
на 8 тогда и только тогда, когда число
из трех последних цифр
делится на
8.
Например:
6709112 – 112 делится
на 8, значит, 6709112 кратно 8.
Признаки делимости на 9
Для того чтобы
число делилось на 9, необходимо и достаточно,
чтобы сумма
его цифр делилась на 9.
Например:
598455 – 5+9+8+4+5+5=36:9=4
Признаки делимости на 10
Число делится
на 10 в том, и только в том
случае, если число оканчивается на 0.
Например:
33312890 –
делится на 10.
Признаки делимости на 11
Число делится
на 11, если разность суммы
цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы
цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность
может быть отрицательным числом или быть
равной нулю, но обязательно должна быть
кратной 11.
Испытаем
число 100397.
Нумерация
идет слева направо.
1+0+9=10
0+3+7=10
10-10=0, 0 кратно
11, значит, 100397 делится на 11.
Можно проверить
делимость числа на 11 другим способом:
Испытуемое
число разбивают справа налево на группы
по две цифры в каждой и складывают эти
группы. Если получаемая сумма кратна
11, то испытуемое число кратно 11.
Например,
испытаем число 15235.
Разбиваем
на группы
и складываем
их:
1+52+35=88.
88 делится
на 11, значит, 15235 делится на 11.
Признаки делимости на 12
Проверьте
делимость интересующего нас числа на
3 и 4. Число делится на 12 в том, и только
в том случае если оно одновременно делится
на 3 и 4. Например: 12653400 - делится на 3 и 4,
а значит и на 12.
Признаки делимости на 13
Число делится
на 13 тогда и только тогда, когда результат
вычитания последней цифры умноженной
на 9 из этого числа без последней цифры
делится на 13.
Например:
858 делится
на 13, так как
делится на
13.
Признаки делимости на 14
Число делится
на 14 тогда и только тогда, когда оно делится
на 2 и на 7.
Пример:
Число 45612
делится на 2 и на 7, значит, оно делится
и на 14.
Признаки делимости на 15
Для того чтобы
число делилось на 15, необходимо и достаточно,
чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы
оно оканчивалось нулем или пятеркой и,
кроме того, сумма его цифр делилась на
3.
Например:
1146795 –
1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.
Признаки делимости на 19
Число делится
на 19 без остатка тогда, когда число его
десятков, сложенное с удвоенным числом
единиц, делится на 19. Например; требуется
определить, делится ли на 19 число 1026.
1 0 2 6
1 2
1 1 4
8
1 9
Числа кратные
19 всегда делятся на 19.
19, 38, 57, 76, 95,
114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..
Применим
последовательно признак делимости. Число
десятков в признаке надо считать не цифру
в разряде десятков, а общее число целых
десятков во всем числе.
В результате
выполнения последовательных двух шагов
мы получили число 19, которое делится на
19, следовательно, число 1026 делится на
19.
Признаки делимости на 25
Число делится
на 25 тогда и только тогда, когда две его
последние цифры либо нули, либо образуют
число, делящееся на 25.Пример:
Число 34650
делится на 25, т.к. 50 делится на 25.
Признаки
делимости на 50
Чтобы число
делилось на 50, надо, чтобы на конце записи
числа две последние цифры делились бы
на 25 и представляли бы четное число. А
этому условию удовлетворяют только числа
50 и 100, но 100- трехзначное число, значит,
запись числа должна оканчиваться на 00
или 50.
Например:6957200,
67906850.
Глава V.
Понятия НОД и НОК.
Наибольшим
общим делителем (НОД)
двух целых чисел m и n называется их общий делитель d (т.е.
и
), который делится на любой другой общий
делитель m и n. Наибольший общий
делитель определён если хотя бы одно
из чисел m или n не ноль. Возможные
обозначения наибольшего общего делителя
чисел m и n: (m,n), а иногда НОД(m,n) или
GCD(m,n).
Числа m и n называются взаимно-простыми, если (m,n)=1.
Эффективным способом
вычисления наибольшего общего делителя
является алгоритм Евклида.
Понятие наибольшего
общего делителя естественно обобщается
на набор целых чисел. Он тоже вычисляется алгоритмом Евклида. Следует различать
понятия взаимной
простоты, когда НОД набора
чисел равен 1, и попарной
взаимной простоты, когда НОД равен 1
для каждой пары чисел из набора. Например,
НОД(6,10,15)=1, но любые пары из этого набора
не взаимно просты.
Поскольку понятие
делимости целых чисел естественно обобщается
на рациональные числа(например, 0.5 делится
нацело на 0.25, а 0.25 на 0.5 нацело не делится),
то понятия НОД и НОК распространяются
и на наборы рациональных чисел.
Наименьшее
общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n есть
наименьшее целое число которое делится
на m и n. Обычно
обозначается
, а иногда НОК(m,n) или
LCM(m,n).
Набор целых чисел
называется взаимно
простыми числами, если их наибольший
общий делитель равен единице
Свойства Пусть известно разложение
чисел m и n на простые множители
здесь
— различные простые числа, а
и
неотрицательные целые числа (они могут
быть нулями, если
в разложении отсутствует). Тогда НОД и
НОК выражаются формулами:
Для любых m и n
это частный случай более общей теоремы:
Если
— ненулевые рациональные числа, тогда
Наибольший общий делитель
чисел m и n может
быть определен как наименьший положительный
элемент всех их линейных комбинаций:
и, таким образом (m,n) представим
в виде линейной комбинации чисел m и n:
.
Это соотношение называется соотношением
Безу, а коэффициенты u и v —коэффициентами
Безу. Коэффициенты Безу эффективно
вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается
на наборы натуральных чисел — его смысл
в том, что подгруппа группы
, порождённая набором
, —циклическая и порождается одним
элементом
5.1. Алгоритм Евклида для целых
чисел.
Пусть
и
— целые числа, не равные одновременно
нулю, и последовательность чисел
определена тем, что каждое
— это остаток от деления предпредыдущего
числа на предыдущее, а предпоследнее
делится на последнее нацело, то есть
Тогда НОД(a,b), наибольший
общий делитель
и
, равен
, последнему ненулевому члену этой последовательности.
Существование таких
, то есть возможность деления с остатком
на
для любого целого
и целого
, доказывается индукцией по m.
Корректность этого алгоритма вытекает из следующих
двух утверждений:
Пусть
, тогда НОД (a, b) = НОД (b, r).
Доказательство
НОД(0,
) =
для любого ненулевого
(т.к. 0 делится на любое
целое число, кроме нуля).
Проще сформулировать алгоритм
Евклида так: если даны натуральные числа
и
и, пока получается положительное
число, по очереди вычитать из большего
меньшее, то в результате получится НОД.
Пример
Для иллюстрации, алгоритм Евклида
будет использован, чтобы найти НОД a = 1071 и b = 462. Для начала, от 1071 отнимем
кратное значение 462, пока не получим разность
меньше чем 462. Мы должны дважды отнять
462, (q0 = 2), оставаясь с остатком
147
1071 = 2 × 462 + 147.
Затем от 462 отнимем кратное
значение 147, пока не получим знаменатель
меньше чем 147. Мы должны трижды отнять
147 (q1 = 3), оставаясь с остатком
21.
462 = 3 × 147 + 21.
Затем от 147 отнимем кратное
значение 21, пока не получим знаменатель
меньше чем 21. Мы должны семь раз отнять
21 (q2 = 7), оставаясь без остатка.
147 = 7 × 21 + 0.
Таким образом последовательность
a>b>R1>R2>R3>R4>...>Rn в данном конкретном
случае будет выглядеть так:
1071>462>147>21
Так как последний остаток равен
нулю, алгоритм заканчивается числом 21
и НОД(1071, 462)=21.
В табличной форме, шаги были
следующие:
Шаг k |
Равенство |
Частное
и остаток |
0 |
1071 = q0 462 + r0 |
q0 = 2 и r0 = 147 |
1 |
462 = q1 147 + r1 |
q1 = 3 и r1 = 21 |
2 |
147 = q2 21 + r2 |
q2 = 7 и r2 = 0; алгоритм заканчивается |
5.2. Расширенный алгоритм
Евклида и соотношение Безу.
Соотношение Безу
Формулы для
могут быть переписаны следующим
образом:
НОД
здесь s и t целые. Это представление наибольшего общего
делителя называется соотношением Безу, а числа s и t — коэффициентами Безу.
Соотношение Безу является ключевым
в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.
Связь с цепными
дробями
Отношение
допускает представление в виде цепной дроби:
При этом цепная дробь
без последнего члена равна отношению
коэффициентов Безу
, взятому со знаком минус:
.
Последовательность равенств,
задающая алгоритм Евклида может быть
переписана в форме:
Последнее слагаемое в правой
части равенства всегда равно обратному
значению левой части следующего уравнения.
Поэтому первые два уравнения могут быть
объединены в форме:
Третье равенство может быть
использовано чтобы заменить знаменатель
выражения r1/r0, получим:
Последнее отношение остатков rk/rk−1 всегда может быть заменено
используя следующее равенство в последовательности,
и так до последнего уравнения. Результатом
является цепная дробь :
В приведённом выше примере, НОД(1071, 462) было посчитано и были
найдены частные qk 2,3 и 7 соответственно. Поэтому, 1071/462 может
быть
записана как :
Заключение
В результате
выполнения данной работы у меня расширились
знания по математике. Я узнала, что кроме
известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют
еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12,
13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях
без признаков делимости просто невозможно
обойтись.
Познакомившись
с признаками делимости чисел, считаю,
что полученные знания смогу использовать
в своей учебной деятельности, самостоятельно
применить тот или иной признак к определенной
задаче, применить изученные признаки
в реальной ситуации.
Считаю, что
применение признаков делимости чисел
в изучении математики является эффективным.
Знание их значительно ускоряет решение
многих заданий. Предложенный материал
«Признаки делимости чисел» можно использовать
как на уроках математики, так и во внеклассных
занятиях учащимися 5-9-х классов.
В дальнейшем
предполагаю продолжить работу над изучением
признаков делимости чисел
Для решения
этих проблем ставлю следующие задачи:
более глубокое изучение
литературы по теме «признаки делимости
чисел
подбор задач, решаемых
с помощью признаков делимости.
Я изложила
эту работу доступным языком, чтобы каждый
ученик, которому это интересно, мог взять
мой реферат и самостоятельно получить
дополнительные знания по признакам делимости
чисел.
Список литературы
- И. Я. Депман «История
арифметики» Москва 1965 Издательство «Просвещение»
- Г. И. Глейзер «История
математики в школе 7 – 8 классы» Москва
1982 «Просвещение»
- «Избранные вопросы
математики. 9 кл. Факультативный курс».
– М.: Просвещение, 1979.
- «Избранные задачи
и теоремы элементарной математики. Арифметика
и алгебра»/ Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов,
И. М. Яглом – 5-е изд. – М.: Издательство
«Наука», 1977.
- «Дополнительные главы
по курсу математики. Учебное пособие
по факультативному курсу для учащихся
7-8 классов»/ К. П. Сикорский – издание
2-е, исправленное и дополнительное – М.:
«Просвещение», 1974.
- Энциклопедический
словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.:
Педагогика, 1989.- 352 с.
- Я.И. Перельман. Занимательная
Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.
- Воробьев КН., Признаки
делимости, издательство
«Наука», 1974.
- Кордемский Б. А., Математическая
смекалка, Ленинград,
издательство технико-теоретической
литературы, 1956.
- Перельман Я.И., Занимательная
алгебра, Москва,
издательство «Наука»,
1988.
- .И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин « За страницами учебника математики» М. Просвещение. 1989 г. стр.97.