Множества, матрицы

Множества:операции, отношения и их свойства. Прямое произведение множеств.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными  буквами. Элементы множеств заключаются  в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). 
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением  и с помощью определяющего  свойства.

Например, перечислением  заданы следующие множества:

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел
• Х={x₁,x₂,...,x_n} — множество некоторых элементов x₁,x₂,...,x_n
• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что  для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

N	{1,2,3,...,n} Множество всех натуральных чисел
Z	{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q	Множество рациональных чисел. Кроме целых чисел имеются  ещё и дроби. Дробь — это  выражение вида  , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде  . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде  . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной  периодической.
R	Множество всех вещественных чисел. Иррациональные числа  — это бесконечные непериодические  дроби. К ним относятся: число   — отношение длины окружности к её диаметру; число   — названное в честь Эйлера и др.; Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

 

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.

Операции над  множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. 
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. 
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. 
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. 
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА). 
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства  перестановочности

A ∪ B = B ∪ A 
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Декартово или прямое произведение:

Пусть даны два множества А и В. Прямое произведение АхВ множества А и множества В есть такое множество АхВ, элементами которого являются упорядоченные пары (а;в) для всевозможных а∈А и в∈В.

 

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную  диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn .

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия  над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная  операция

2. Вычитание матриц - поэлементная  операция

3. Произведение матрицы  на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения  матриц на примере

5. Возведение в степень

 

m>1 целое положительное  число. А - квадратная матрица  (m=n) т.е. актуально только для  квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы  А. Транспонированную матрицу  обозначают A^T или A'

Строки и столбцы поменялись местами

Свойства  опрераций над матрицами

A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) λ(A+B)=λA+λB A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C (A')'=A (λA)'=λ(A)' (A+B)'=A'+B' (AB)'=B'A'

Понятие определителя квадратной матрицы

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице  .

Для неквадратных матриц понятие  определителя не вводится.

Для обозначения определителя квадратной матрицы A будем пользоваться обозначением  .

Пусть A - произвольная квадратная матрица порядка n. Если n=1, то матрица A состоит из одного числа A. Положим по определению, что определитель такой матрицы равен числуA, т.е.   . Если n=2, то матрица A имеет вид

Положим по определению, что определитель такой матрицы равен

Если n=3, то матрица A имеет вид

Положим по определению, что определитель такой матрицы равен

Основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при еётранспонировании:

Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её определитель равен нулю.

Свойство 3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы еёопределитель меняет знак.

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

Свойство 5. Если каждый элемент i-й строки (столбца) матрицы A представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен   , где элементыматриц B и C, за исключением элементов i-й строки (столбца), совпадают с соответствующими элементами матрицы A. A в i-х строках (столбцах) матриц B и C стоят упомянутые первые и вторые слагаемые соответственно.

Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть A - произвольная квадратная матрица,   – её элемент, стоящий в позиции (I,j). Вычеркивая из матрицы A i-ю строку и j-ый столбец, получим некоторую матрицу   , порядка   . Определитель матрицы   называется минором элемента  . Минор элемента   будем обозначать символом   .

Число   называется алгебраическим дополнением элемента   . Для обозначения алгебраического дополнения элемента   будем пользоваться символом  .

Разложение определителя по строке (столбцу)

Теорема 4.1. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Понятие определителя квадратной матрицы любого порядка.

Приведённая теорема 4.1 может быть положена в основу последовательного введения по индукции определителя четвёртого, пятого и всех последующих порядков.

Предположим, что уже введено  понятие определителя (n-1)-го порядка. Пусть  Минором каждого элемента   матрицы A является textbfопределитель (n-1) -го порядка.

Назовём определителем квадратной матрицы A число равное

Заметим, что в правой части  равенства (4) стоит сумма произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Можно доказать, если взять  сумму произведений элементов любой  другой строки (столбца)матрицы A на их алгебраические дополнения, то получится число, равное   .

Заметим также, что при n=3 разложение (4) совпадает с разложением определителя третьего порядка по первой строке.

 

МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ  ЭКОНОМИКИ

Цель балансового анализа  – ответить на вопрос, возникающий  в макроэкономике и связанный  с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем  производства каждой из отраслей, чтобы  удовлетворить все потребности  в продукции этой отрасли. При  этом каждая отрасль выступает, с  одной стороны, как производитель  некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции  и своей, и произведенной другими  отраслями. Математическая модель Леонтьева  позволяет анализировать связь  между отраслями.

Задача.  В таблице приведены данные об использовании стоимостного баланса за отчетный период, усл. ден. ед.: 

 

№ п/п	Отрасль	Потребление			Конечный продукт	Валовый продукт
		Q1		Q2
1	Q1	3	8		89	100
2	Q2	5	7		88	100

Требуется:

1)   составить матрицу прямых затрат и проверить ее продуктивность;

2)   вычислить объемы конечного продукта при увеличении валового выпуска каждой отрасли соответственно на 100% и 50%;

3)   Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление отрасли Q₁ увеличить в k = 1 раз, а отрасли Q₂ – на 10%.

Решение:  1.  Введем в рассмотрение матрицу   и векторы

 

 

Составим матрицу прямых затрат А, учитывая, что ее элементы

      

Легко видеть, что сумма  элементов столбцов (строк) А меньше единицы. Следовательно,  в силу второго критерия продуктивности (матрица продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы) матрица А продуктивна. 

 

2.    Уравнение линейного межотраслевого баланса имеет вид:

При увеличении валового выпуска  отраслей Q₁ и Q₂ соответственно на 100% и 50% получим новый вектор валового выпуска 

Вектор потребления   соответствующий вектору   найдем из уравнения баланса:  .

Изменения объемов конечного  продукта Q₁ на 182 – 89 = 93 ед. или 104,5%, Q₂         - на 129,5 – 98 = 41,5 ед. на 47,2%. 

 

3.  Конечное потребление отрасли Q₁ остается без изменения, а отрасли Q₂ станет равным   Получим новый вектор потребления

.

Новый вектор валового выпуска   найдем из уравнения баланса

Обратная матрица  

Откуда        

Валовой продукт отраслей необходимо увеличить Q₁ на 0,38%, Q₂ – на 9,88%.