Аналитическое конструирование оптимального регулятора

Время регулирования Т_р, при расчете этих коэффициентов, выбирается из условия обеспечения высокого быстродействия второго уровня системы, для того, чтобы регулятор успешно подавлял возмущения, действующие на объект, и обеспечивал точность отработки фазовыми координатами объекта заданных значений, которые формируются в задатчике невозмущенного движения – модели объекта на первом уровне. Таким образом, время регулирования для второго уровня необходимо задавать намного меньше (на порядок меньше), чем для первого уровня системы:

 

.

 

Следовательно, Т_р = 0,2*4.987=0,997с.

Весовой коэффициент с  принимается равным 1, как и при определении неизвестных весовых коэффициентов функционала для первого уровня.

В результате расчета получены следующие значения весовых коэффициентов:

 

A1 = -175.277;

A2 =2409;

A3 = 280.126.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВТОРОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ

 

 

Поиск оптимального управления является решением задачи Лагранжа на условный экстремум. Для первого  уровня системы в данной работе, при нахождении  коэффициентов  оптимального управления используется метод динамического программирования (метод Р. Беллмана).

Метод динамического программирования основан на принципе оптимальности  Беллмана, который можно сформулировать следующим образом: оптимальное  поведение обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальные состояния и решение в начальный  момент, последующие решения должны составлять оптимальное поведение  относительно состояния, получившегося  в результате первого решения.

Объект управления задан системой дифференциальных уравнений возмущённого движения (5.1):

 

 (5.1)

 

В качестве критерия оптимальности  выбирается квадратичный функционал с  весовыми коэффициентами a₁,a₂,a₃, найденными в разделе 2.

 

.    (5.2)

 

Далее, необходимо синтезировать  оптимальный регулятор, который  описывается уравнением

 

.         (5.3)

 

Для решения поставленной задачи необходимо составить первое функциональное уравнение Беллмана

 

        (5.4)

 

 

где - функция Ляпунова.

 

Функция Ляпунова определяет устойчивость системы и её качество и определяется следующим соотношением

 

,

 

где n – порядок объекта; .

 

Составляется второе функциональное уравнение Беллмана

 

     (5.5)

то есть

 

Из (5.5)

(5.6)

Для нахождения управления необходимо отыскать .

Для данной системы функция  Ляпунова имеет вид

 

(5.7)

 

(5.8)

 

(5.9)

 

(5.10)

 

Тогда управление (5.3) будет иметь вид

 

 

.    (5.11)

 

Уравнение (5.4) с учётом (5.8-5.10):

 

.(5.12)

 

Для того чтобы уравнение (5.12) было справедливо необходимо равенство коэффициентов при соответствующих переменных. Таким образом, на основании этого получается система нелинейных алгебраических уравнений:

 

 

(5.13)

 

 

 

 

 

Данная система решается численными методами. В результате решения системы (5.13):

 

А₁₃=-5.922; А₂₃=65.588; А₃₃=63.758.

 

На основании (3.3) и (3.11):

 

n₁ = -2.122; n₂ = 23.503; n₃ =22.847.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 РЕАЛИЗАЦИЯ ОПТИМАЛЬНого УПРАВЛЕНИя

 

 

После окончания процедуры  синтеза, т.е. после отыскания коэффициентов  оптимального управления необходимо решить проблему реализации этого управления, а точнее необходимо отыскать структуру  оптимальной системы, которая и  решит проблему реализации.

Существуют два подхода  к проблеме реализации. Первый подход заключается в том, что поскольку  управление найдено, то реализацию его  можно проводить обычным образом, так, как это принято в теории и практике управления. Сущность этого  подхода заключается в том, что  желаемое качество может быть достигнуто различными структурами.

Второй подход состоит  в том, что, поскольку, синтезируемое  оптимальное управление единственно, то существует и единственная структура, которая обеспечивает заданное качество регулирования.

При реализации оптимального управления в данной работе используется второй подход. Для поиска единственной структуры, которая может реализовать  синтезируемое оптимальное управление, используется концепция Ляпунова о  возмущенном – невозмущенном  движении. В соответствии с ней  возмущенное движение – это разница  между фактическим движением  и невозмущенным:

 

х – х* = у.

 

В системе предварительно формируется невозмущенное (расчетное  желаемое) движение. Затем формируется  возмущенное движение системы, которое  сводится управлением, синтезированным  по критерию оптимальности – квадратичному  функционалу к нулю, путем приведения фактического движения системы к  движению невозмущенному.

Невозмущенное движение может  быть рассчитано, а может быть задано заранее. Но, при таком задании, его выбирают физически реализуемым синтезируемой системой, иными словами, движение всегда назначается с учетом динамических свойств объекта.

Используя концепцию Ляпунова о возмущенном – невозмущенном  движении, естественно прийти к единственно  возможной структуре оптимальной  системы автоматического управления, структурная схема которой изображена на рис. 6.1.

Рисунок 6.1 – Структурная  схема двухуровневой системы  оптимального управления

В качестве задатчика невозмущенного движения используется модель объекта с оптимальным регулятором, имеющим коэффициенты оптимального управления   n1 = 28.82547; n2 = -94.289; n3 = 45.919 и обеспечивающим апериодический переходный процесс и рассчитанное время регулирования tp=4.987 с. Задание z в виде функции Хевисайда подается на вход задатчика невозмущенного движения, который в соответствии с динамическими свойствами объекта формирует переходные процессы х1^*, х2^*, х3^*. Эти переходные процессы являются невозмущенным движением системы и будут реализуемы объектом, т.к. они сформированы в модели объекта, с учетом его динамических свойств.

Так как величина задания  z - амплитудное значение функции Хевисайда равно 1, то для обеспечения выходной функции модели в установившемся режиме, равной заданию и, соответственно, необходимых уровней невозмущенных движений в статике, осуществляется компенсация модели, путем введения перед заданием z компенсирующего усилителя.

Невозмущенные движения х1^*, х2^*, х3^* используются в качестве задания по соответствующим фазовым координатам. Поскольку управление U^* прикладывается одновременно ко входу объекта и его модели, то при отсутствии внешних возмущений на объекте и постоянных параметрах объекта будут выполняться равенства х1(t)=х1^*(t), х2(t)=х2^*(t), х3(t)=х3^*(t). Следовательно, возмущенное движение не возникает, у1=у2=у3=0, поэтому U=0. Если все эти условия или одно из них не выполняется, то указанное равенство нарушается ( ), формируется управление U, которое направлено на устранение влияния внешних возмущений объекта или его переменных параметров. То есть система управления всегда будет работать при малых отклонениях у1, у2, у3.

Таким образом, в системе  присутствует два регулятора, то есть управление разделено на две составляющих. Составляющая U^* обеспечивает отработку задания х1^*, х2^*, х3^* и является программным управлением, обеспечивая желаемый режим невозмущенного движения, то есть желаемое качество регулирования, сформированное на первом уровне.

Управление U всегда стремится погасить возмущенное движение у1, у2, у3, независимо от причины его возникновения и сводит фактическое движение системы х1, х2, х3 к невозмущенному х1*, х2*, х3*. Значения коэффициентов оптимального управления этого регулятора равны n₁ = -2.122; n₂ = 23.503; n₃ =22.847 и рассчитываются из условия желаемого переходного процесса - апериодического и значительно большего быстродействия, чем в задатчике невозмущенного движения. То есть, время регулирования здесь примерно на порядок меньше, чем в программном регуляторе. Это способствует эффективному подавлению внешних возмущений, действующих на объект, или изменений его параметров и обеспечивает точность отработки переменными х1, х2, х3 – фазовыми координатами объекта их заданных значений х1*, х2*, х3*.

Управления U и U^* - это управления первого и второго уровней подключены параллельно ко входу объекта и действуют автономно, одновременно и независимо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 АНАЛИЗ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ

 

 

Для оценки качества работы разработанной системы оптимального управления необходимо промоделировать ее движение при отработке задания, а также при воздействии на объект возмущений.

Графики переходных процессов в модели (первый уровень) приведены на рисунках 7.1-7.2.

Анализируя приведенные  графики можно сделать вывод, что найденные коэффициенты регулятора первого уровня обеспечивают заданное еще на этапе разработки качество – апериодический переходный процесс  и рассчитанное время регулирования  tp=4.987 с. Также установившееся значение выходной координаты модели – состояние в статике соответствует уровню поданного на вход системы задания z=1.

Графики переходных процессов в объекте (второй уровень) при отсутствии возмущений приведены  на рисунке 7.3-7.4.

Анализируя приведенные  графики можно сделать вывод, что переходные процессы фазовых  координат объекта в точности повторяют переходные процессы модели, то есть найденные коэффициенты регулятора второго уровня обеспечивают заданное еще на этапе разработки качество – апериодический переходный процесс  и рассчитанное время регулирования  tp=4.987 с. Также установившееся значение выходной координаты объекта – состояние в статике равно установившемуся значению выходной координаты модели и соответствует уровню поданного на вход системы задания z=1.

Как видно из графика 7.5, управление второго уровня в объекте равно нулю, что является следствием отсутствия возмущенного движения в системе.

 

 

 

 

Рисунок 7.1 – График переходного  процесса х1*(t), х2*(t), х3*(t) в модели (первый уровень) при отсутствии возмущений

Рисунок 7.2 – График переходного процесса u*(t) в модели (первый уровень) при отсутствии возмущений

Рисунок 7.3 –  График переходного процесса х1(t), х2(t), х3(t) в объекте (второй уровень) при отсутствии возмущений

Рисунок 7.4 – График управления второго уровня при отсутствии возмущений

 

Теперь необходимо произвести исследование разработанной оптимальной  системы на отработку возмущений.

В теории и практике управления принято типовое возмущающее  воздействие, уровень которого не превышает 20% от уровня задания. Поэтому в данной работе, для наглядности высокого уровня эффективности разработанного регулятора, система исследуется  на воздействие координатного возмущения, уровень которого равен  0.2, т.е. f=0.2. Возмущение подается на вход второго звена объекта.

Результаты моделирования  представлены в виде графиков на рисунках 7.5-7.7.

Анализируя приведенные  графики можно сделать вывод, что найденные коэффициенты регулятора второго уровня обеспечивают очень  эффективное подавление возмущений и высокую точность отработки переменными х1, х2, х3 – фазовыми координатами объекта их заданных значений х1*, х2*, х3*, сформированных программным регулятором в задатчике невозмущенного движения. То есть, рассчитанные коэффициенты оптимального регулятора второго уровня обеспечивают заданные время регулирования tp=1,007с и апериодический переходный процесс на выходе объекта при действии возмущения в 20%. Статическая ошибка при этом равна 3%. Такие показатели качества свидетельствуют об очень высоком качестве регулирования разработанной системы оптимального управления.

 

 

Рисунок 7.5 – График переходного процесса х1(t), х2(t), х3(t) в объекте (второй уровень) при отсутствии возмущений

Рисунок 7.6 – График управления второго уровня при координатном возмущении

Рисунок 7.7 – График возмущенного движения в системе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЫВОДЫ

 

 

В результате выполнения курсового  проекта была разработана система оптимального управления было произведено аналитическое конструирование оптимального регулятора.