Алгоритм текущего выделения периодической составляющей временного ряда

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Факультет автоматики и информационных технологий

Кафедра «Информационные технологии»

 

 

 

 

Расчетная работа

по  дисциплине «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ»

на  тему:

Алгоритм текущего выделения периодической  составляющей временного ряда

 

 

 

Исполнитель:

студент 3 – АИТ – 4

 

 

Проверил:

Волков  И.И.

 

 

 

 

 

Самара 2012

Цель работы

Разработать алгоритм текущего выделения периодической  составляющей на примере меандрового временного ряда. Построить графики формирования прямоугольного сигнала из суммы его первых гармоник.

 

Ход работы

Универсальность гармонического колебания заключается  в том, что любой периодический  сигнал может быть составлен (в этом случае говорят: синтезирован) только из гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Раздел теории сигналов, который занимается разложением сигналов на гармонические составляющие, называется гармоническим анализом сигналов или Фурье-анализом. Основные положения этой теории заключаются в следующем.

Любой периодический сигнал с периодом Т может быть представлен суммированием определенного набора гармонических колебаний с круговыми частотами, равными , где - номер гармоники (натуральное число). При этом гармонику с номером называют основной гармоникой, а гармоники с номерами - высшими гармониками. В общем случае количество таких гармоник может быть бесконечным. Сигнал, представленный суммой гармоник, может быть записан в виде:

 

Коэффициенты  и определяются интегрированием сигнала на интервале времени, равном периоду, по правилам

 

 

 

 

Заданный  временной ряд представлен на рис.1.

Рисунок 1. Меандровый временной ряд

 

Заданный  временной ряд определяется следующим  соотношением:

 

Выделим из временного ряда периодические составляющие, согласно соотношению (1). Для этого  необходимо вычислить коэффициенты и .

 

- нечетная функция. Интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен 0. Следовательно, для нечетной функции обращаются в 0 все коэффициенты , включая .

 

 

 

Подставим найденные коэффициенты в соотношение (1).

 

Синтезируем заданный меандровый временной ряд из одной его гармонической составляющей. В этом случае модель будет иметь вид:

 

Примем . График данной модели приведен на рис.2.

Рисунок 2. Формирование прямоугольного сигнала из основной гармоники

 

Синтезируем заданный меандровый временной ряд из суммы двух его гармонических составляющих. В этом случае модель будет иметь вид:

 

Примем . График данной модели приведен на рис.3.

Рисунок 3. Формирование прямоугольного сигнала из суммы двух его гармоник

Синтезируем заданный меандровый временной ряд из суммы трех его гармонических составляющих. В этом случае модель будет иметь вид:

 

Примем . График данной модели приведен на рис.4.

Рисунок 4. Формирование прямоугольного сигнала из суммы трех его гармоник

 

Синтезируем заданный меандровый временной ряд из суммы первых десяти его гармонических составляющих. В этом случае модель будет иметь вид:

 

Примем . График данной модели приведен на рис.5.

Рисунок 5. Формирование прямоугольного сигнала из суммы десяти его гармоник

 

Синтезируем заданный меандровый временной ряд из суммы первых семнадцати его гармонических составляющих. В этом случае модель будет иметь вид:

 

Примем . График данной модели приведен на рис.6.

Рисунок 6. Формирование прямоугольного сигнала из суммы семнадцати его гармоник

 

Модель  сигнала идеальной прямоугольной  формы будет иметь вид: