Определение логистической закономерности

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение 
высшего профессионального образования

«ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математических методов и  информационных технологий 
в экономике

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 
по дисциплине 
"Логистика" 
на тему: 
определение логистической закономерности

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил  ст. гр. ПИ-419

__________О. С. Чижова

"____"___________2012 г.

Принял

_________Е. Т.  Гегечкори

"____"___________2012 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Омск 2012 

Логистика – наука о планировании, организации, управлении и контроле движения материальных и информационных потоков в пространстве и во времени от их первичного источника до конечного потребителя.

В основе логического анализа лежит  применение логистической функции, с помощью которой описываются  законы роста, присущего многим формам и уровням жизни, а также сфере материального производства и процессам насыщения потребительского спроса. Например, спроса на цветные телевизоры: сначала медленный, но всё ускоряющийся рост доли семей, имеющих телевизор, замедляется по мере приближения этого показателя к 100%.

График логической функции имеет  форму латинской буквы «S», положенной на бок. Поэтому его ещё называют S-образной кривой. Эта кривая имеет две точки перегиба и характеризуется переходом от ускоряющегося роста к равномерному (вогнутость) и от равномерного роста к замедляющемуся (выпуклость). В целом логистический закон отражает динамику многих процессов в пространстве и во времени (например, зарождения нового организма или популяции, их отмирания, различных переходных состояний и т.п.). Логистической закономерности присуще свойство отражать изменения возрастающего ускорения процесса на замедляющееся или, наоборот, – при обратной форме кривой. Эта важная особенность даёт возможность определить статистическим путём различные критические, оптимальные и другие практически ценные точки.

В основе логистической функции  лежит закономерность, выраженная уравнением Ферхюльста:

(1)

где Y – значение функции; x – время; A – расстояние между верхней и нижней асимптотами; C – нижняя асимптота, т.е. предел, с которого начинается рост функции; a, b – параметры, определяющие наклон, изгиб и точки перегиба графика логической функции (рис.1).

Для решения уравнения логистической  функции первоначально надо определить верхнюю и нижнюю асимптоты. Это  с достаточной точностью можно  сделать по эмпирическому ряду путём простого его просмотра. Значение верхней асимптоты можно проверить аналитически по формуле:

 

где ,, – три эмпирических значения функции, взятые через равные интервалы аргумента.

Затем уравнение логистической  функции выражается в следующей  логарифмической форме:

(2)

Обозначив левую часть этого  уравнения через lg Z, получим:

(3)

Для определения параметров этого  уравнения служит следующая система  нормальных уравнений, решаемая методом наименьших квадратов:

(4)

Если найти из этих уравнений  параметры a и b, то можно составить ряд величин (a+bx), равных теоретическим значениям Определяя величины , легко составить ряд теоретических значений функции . Если C=0, а верхняя асимптота = 100%, или 1, то уравнение логистической функции упрощается до формы:

 

Пример логистического анализа

В качестве примера логистического анализа рассмотрим определение  логистической закономерности, описывающей  темы роста объемов реализации компании Марс в 2005-2009 гг.

 Главными видами товаров, реализуемых компанией Марс в 2005-2009 гг., являлись шоколадные изделия, корма для животных и пр. Известны следующие данные об объемах реализации товаров по годам (табл.1).

Таблица 1

Показатель	Годы
	2005	2006	2007	2008	2009
Объем реализации, млрд. руб.	0,20	0,25	0,31	0,37	0,41

Динамика роста объема реализации компании Марс в 2005-2009 гг. представлена на рис. 2.

Рис.2. Динамика объёма реализации продукции компании Марс: по оси абсцисс – время (в годах), по оси ординат – выпуск в млрд.руб.

По данным РА "Эксперт РА", в 2005-08 гг. темы роста объемов реализации компании Марс составляли 20-25% в год. В 2009 году, под влиянием экономического кризиса, темп роста замедлился –  объем реализации составил почти 41 млрд., что на 10% выше показателя 2008 года.

Найдём уравнение этой закономерности, приняв A=10, C=0, n=5. Для составления системы нормальных уравнений предварительно рассчитаем величины , , , (табл. 2).

Таблица 2

Расчёт данных для системы нормальных уравнений

№	x	Y		Z=A/Y – 1	lgZ	x∙lgZ
п/п
1	1	0,2	1	49,000	1,690	1,690
2	2	0,25	4	39,000	1,591	3,182
3	3	0,31	9	31,258	1,495	4,485
4	4	0,37	16	26,027	1,415	5,662
5	5	0,41	25	23,390	1,369	6,845
∑	15	–	55	–	7,561	21,864
					a	1,758
					b	-0,082

По итогам таблицы составляем систему нормальных уравнений:

 

Подставляя в уравнение (1) вместо a и b их значения, а также величину A=10, имеем:

 

По этому уравнению рассчитываем ожидаемые значения функции . Расчёт показан в табл. 3.

 

Таблица 3

Расчёт значений

№	x	lgZ = a + b∙x
п/п
1	1	1,676	0,207	0,0000
2	2	1,594	0,248	0,0000
3	3	1,512	0,298	0,0001
4	4	1,430	0,358	0,0001
5	5	1,349	0,429	0,0004
∑	–	–	–	0,0007

Сравнивая вычисленные  значения ( с эмпирическими (Y), видим, что они достаточно полно согласуются между собой. Более наглядно это представлено на рис. 2, где на фоне эмпирической кривой пунктиром изображена и кривая вычисленных значений (.

Найдём точку перегиба – момент перехода возрастающей скорости в убывающую:

 

 

Точка пересечения с осью ординат  имеет следующие значения:

 

(млрд. долл.).

Ошибка составляет: