Шпаргалка по "Логике"

• субъект (S) - понятие, отражающее сам предмет мысли, то, о чем что-то говорится;
• предикат (Р) - понятие, отражающее то, что именно говорится о предмете (его свойство или соотношение с другими объектами);
• связка (в языковой форме выражается словами "есть/не есть", "суть/не суть, "является/не является" и т.п., либо вообще только подразумевается). Отражает наличие /отсутствие определенной связи субъекта и предиката;
• квантор (всеобщности (") - "все", "каждый", "ни один… не" ("все … не") и т. п.; существования ($) - "некоторые", "многие", "часть" и т. п.; единственности существования ($!) - "этот", "данный" и т. п.), отражающий количественную характеристику суждения.

Символически структура простого суждения выражается формулой: (K)S-P, где <К> - некоторый квантор, а <-> - связка (если квантор отсутствует в явном виде, то суждение формально неопределенно по количеству, хотя эту характеристику обычно можно установить по смыслу).

Простые суждения подразделяются по качеству на: утвердительные и отрицательные, а по количеству на:

• единичные (что-либо утверждается или отрицается об одном предмете - "Этот свидетель дал показания");
• общие (что-либо утверждается или отрицается обо всех предметах некоторого класса - "Все свидетели дали показания");
• частные (что-либо утверждается или отрицается о части предметов некоторого класса - "Некоторые свидетели дали показания").

Особое место в классификации суждений по количественной характеристике занимают выделяющие и исключающие суждения.  
Выделяющие суждения выражают тот факт, что признак, выраженный предикатом, принадлежит (не принадлежит) только данному предмету. Выделяющие суждения могут быть единичными, частными и общими, например: "Только Иванов написал эту контрольную на отлично" - выделяющее единичное суждение, "Некоторые учащиеся (и только учащиеся) являются школьниками" - выделяющее частноутвердительное суждение, "Все квадраты (и только квадраты) являются прямоугольными ромбами" - выделяющее общеутвердительное суждение (определение).  
Исключающим называется суждение, в котором отражается принадлежность (или непринадлежность) признака всем предметам, за исключением некоторой их части. Например: "Все студенты нашей группы, кроме Иванова, сдали зачет по логике". Исключающие суждения выражаются предложениями со словами "кроме", "за исключением", "помимо", "не считая" и т.п. Значение выделяющих и исключающих суждений состоит в том, что содержащиеся в них мысли не допускают их неоднозначного понимания. Именно поэтому ряд научных положений, а также законов государства, статей Конституции, уголовно-процессуального и других кодексов выражен в этой логической форме.  
По характеру предиката различают суждения:

• атрибутивные. Атрибутивным называется суждение о признаке предмета, например: "Лист зеленый";
• с отношением. Релятивным называется суждение об отношении между предметами. Например, "Москва больше Красноярска";
• существования. В суждениях существования выражается сам факт существования или несуществования предмета суждения. Например: "Высшее образование есть".

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Распределенность  терминов в суждениях

Объединяя количественную и качественную характеристики, суждения делятся на:

• общеутвердительные (А) - "Все S есть Р",
• частноутвердительные (I) - "Некоторые S есть Р",
• общеотрицательные (Е) - "Ни один S не есть Р",
• частноотрицательные (О) - "Некоторые S не есть Р"
• В Средние века были приняты эти буквенные обозначения по первым гласным латинских слов affirmo - утверждаю и nego - отрицаю.

Термин считается распределенным (обозначается"+"), если он взят в полном объеме. Термин считается нераспределенным (обозначается"-"), если он взят в части объема.

 

	Суждение А: Общеутвердительное  "Все студенты нашей группы сдали зачет по логике"
	Суждение I: Частноутвердительное  "Некоторые студенты сдали зачет"
	Суждение Е: Общеотрицательное  "Ни один студент не сдал зачет"
	Суждение О: Частноотрицательное  "Некоторые студенты не сдали зачет"

 

15. Отношения между  простыми суждениями обычно иллюстрируют  с помощью схемы, получившей название логического квадрата. Логический квадрат (квадрат противоположностей) - это диаграмма, служащая для мнемонического запоминания логических отношений между видами суждений по объединенной классификации.

Вершины квадрата обозначают вид суждения по объединенной классификации А , Е , 0 , I. Стороны и диагонали символизируют логические отношения между простыми суждениями (кроме эквивалентных). Верхняя сторона есть О отношение А и Е - противоположность (контрарность); нижняя сторона - отношение между I и O - частичная совместимость(субконтрарность);две вертикальные стороны - отношения между А и I (левая), Е и О (правая) - подчинение; диагонали - отношения между А и О, Е и I- противоречие(контрадикторность).

Перейдем к рассмотрению отношений между сложными суждениями. Сравнимые среди сложных - это суждения, которые имеют одинаковые составляющие и различаются типами логических связок, включая отрицание: например, "Норвегия или Швеция являются членами НАТО" и "Неверно, что Норвегия и Швеция являются членами НАТО". Сравнивать эти суждения можно потому, что у них общие составляющие, хотя по логической форме они отличаются друг от друга: первое из них дизъюнктивное суждение, второе - отрицание конъюнкции. Наличие общих составляющих позволяет сопоставлять их по смыслу и установить зависимости по истинности. Несравнимыми среди сложных суждений являются суждения, которые частично или полностью различаются составляющими их суждениями. Например, нельзя сравнивать следующие два суждения: "Слух обо мне пройдет по всей Руси великой, и назовет меня всяк сущий в ней язык, и гордый внук славян, и финн, и ныне дикой тунгус, и друг степей калмык" и "Чем дальше в лес, тем больше дров". Различия в составляющих не позволяют установить смысловую и истинную зависимость между суждениями.

Между сложными суждениями складываются такие же виды отношений, как и между простыми. Характер этих отношений определяется с помощью таблиц истинности.

 

16. Сложное Высказывание  - высказывание, полученное с помощью логических связок из простых высказываний. Наиболее употребительны С. в., образованные с помощью слов: «и», «или», «если, то», «если и только если», «не». Вместо этих слов в логике используются символы: &, v, ->, º, ~. С. в. А& В называется конъюнкцией («А и В»), A v В - дизъюнкцией («А или В»), А -> В — импликацией («Если A, то В»), А = В — эквивалентностью («А, если и только если В»), ~ А — отрицанием («Неверно, что A», или «не-A»). Установление смысла и способа употребления логических связок, позволяющих образовывать С. в., является задачей наиболее фундаментальной и вместе с тем самой простой части логики — исчисления высказываний.

 

19. Интерпретация  предикатов

Роль предиката, по мнению некоторых исследователей, зависит от роли субъекта при определении семантической интерпретации предложения: семантика неоднозначного предиката в конкретном предложении определяется референцией субъекта. Так, в предложении Джон сильный предикат сильный имеет толкование "проявляет силу в определенных обстоятельствах" (например, может поднять большой груз), в то время как в предложении Связь между данными молекулами сильная, наоборот, предикат интерпретируется как "может противостоять большим напряжениям". Обобщая это положение, Э.Кинан противопоставляет простые существительные глаголам и прилагательным: последние получают закрепленное, "жесткое" толкование только в предложении, имена же могут иметь его уже в словаре. Тем самым объясняется, почему сравнительно мало распространены языки типа мальгашского, в котором субъект предложения при нормальном порядке слов идет после предиката и прямого дополнения: такой порядок затрудняет "оперативную" интерпретацию предиката предложения при его восприятии.

Однако наблюдения над некоторыми слоями лексики приводят к заключениям, противоположным данному. Так, предикаты типа мяукать, мычать, лаять и т.п. (так называемая "бестиальная лексика"), наоборот, индуцируют референцию имен, которые в отрыве от подобных предикатов могут интерпретироваться неоднозначно. Например, предложение Машка выскочила из-за сарая и замяукала не будет правильно проинтерпретировано до тех пор, пока слушающий не дойдет до предиката замяукала; только тогда имени Машка будет приписана интерпретация "имя кошки". Вне этого предложения имя Машка имеет широкий спектр детонации – от имени человеческого существа женского пола до кличек самых разных животных – кошек, коз, коров.

Тем не менее, связь интерпретации предиката с интерпретацией его актантов несомненна. Кроме того, необходимо различать, интерпретируя предикаты, имеем ли мы дело с базисным или с небазисным предикатом. К базисным предикатам относятся те, которые в качестве аргумента в интерпретируемом предложении не имеют ни одной пропозиции. Это определение является скорее формальным, чем содержательным, так как не ограничивает явным образом семантического содержания базисных предикатов. Семантическая сфера базисных предикатов устанавливается в статье Ю.С.Степанова (в данном номере журнала). Однако и при нашем определении семантическая сфера фактически ограничивается, например, предикаты "внутреннего мира интерпретатора", в частности, "предикаты пропозициональной установки" (Он полагает, что ..., Он считает, что ... т.п.) заведомо не относятся к базисным. Примеры базисных предикатов: бежать, бить, чувствовать себя, находиться и т.п. Небазисные предикаты – те, которые указанным свойством не обладают в данном предложении, типа предиката думать в предложении Петр думает, что Маша сидит дома.

 

23. Непосредственное  Умозаключение (в традиционной логике) - умозаключение из одной посылки. К числу Н. у. относятся обращение суждений, превращение суждений, противопоставление предикату, некоторые умозаключения по логическому квадрату, напр. от истинности общих суждений (А и Е) к истинности соответствующих частных суждений (I и О) и др. Иногда Н. у. ограничиваются умозаключениями из простых атрибутивных суждений, иногда же в их число включаются и умозаключения из суждений с отношениями, и умозаключения из сложных суждений (см.: Суждение). В последнем случае к числу Н.у. относятся и такие умозаключения из одной посылки, как, напр., умозаключения из суждений вида xRy, где R Ч симметричное отношение. Так, из посылки а = b можно получить заключение b = а; к их числу можно отнести и контрапозицию условного суждения (см.: Контрапозиции законы). Так, из суждения л Если число п делится на 6, то оно делится и на 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

20. Бинарное отношение

Бинарным отношением, между множествами и , называется любое подмножество прямого произведения . Часто чтобы обозначить принадлежность упорядоченной пары к бинарному отношению вместо записи используют обозначения или . При этом говорят, что находится в отношении к .

Если , то говорят, что задано на множестве .

Пример 1. Пусть и . Тогда подмножество в является бинарным отношением между множествами и

Пример 2. На множестве целых чисел отношение делимости, состоящее из упорядоченных пар , в которых делится на , является бинарным отношением. В этом случае обозначение заменяется на .

Пример 3. На множестве действительных чисел упорядочение является бинарным отношением на , состоящим из всех точек плоскости , лежащих не ниже прямой .

Пример 4. Для функции ее график является бинарным отношением между и .

 

Виды отношений:

• Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.
• Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.
• Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.
• Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.
• Полное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением линейного порядка.
• Антирефлексивное асимметричное отношение называется отношением доминирования.

 

22. Структура умозаключения

Любое умозаключение состоит из посылок и заключения или вывода из посылок. Посылки - это исходные суждения, а заключение - новое суждение.

При выявлении логической формы умозаключения посылки и заключение принято записывать столбиком. Посылки отделяются от заключения горизонтальной чертой. Над ней записываются посылки, а под ней - заключение.

Традиционный древнегреческий силлогизм:  
[посылка] Все люди - смертны. 
[посылка] Все греки - люди.

[заключение] Следовательно, все греки смертны

Логическим основанием выведения нового суждения является смысловая связь посылок. Они состоят из суждений, состоящих из одинаковых терминов, т. е. связанных по содержанию. Если взять разные по содержанию суждения, то вывод из ниѥ невозможен. Например, из суждений "Все планеты - небесные тела" и "Ручка - канцелярский прибор" нельзя сделать заключение. Ни в действительности, ни логически они не связаны.  
В зависимости от последовательности движения мысли и логической обоснованности выводного суждения умозаключения делятся на виды:  
1) дедуктивные: от более общего знания к менее общему; заключение с логической необходимостью вытекает из посылок, оно ими обосновано полностью и однозначно;  
2) индуктивные: от менее общего знания к более общему; заключение имеет чаще всего вероятностный характер;  
3) умозаключения по аналогии: от частного знания к частному; заключение носит вероятностный характер.