Совокупность отношений элементов языка

" v1 ··· " vn (n і 0)

будем писать как " v1 ··· vn, и подобным образом для квантора существования.

Свободные и связанные переменные

Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:

Определение 22 (Свободные переменные).

• Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,

• свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы ¬F,

• переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G),

• все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.

Определение 23 (Замкнутая формула). Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.

Определение 24 (Связаная переменная). Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K – квантор.

3.4 Найдите свободные переменные и связанные переменные формулы

$ y P(x, y) & ¬$ x P (x, x)

Представление предложений русского языка предикатными формулами

Перед тем как мы продолжим изучение синтаксиса логики предикатов, полезно потренироваться в переводе предложений с русского языка в язык предикатных формул. *

В этих упражнениях для перевода рассматривается сигнатура (4). Мы предполагаем, что объектные переменные служат для обозначения натуральных чисел и интерпретируем сигнатуру следующим образом:

• a представляет число 10,

• P(x) выражает условие ``x является простым числом'',

• Q(x, y) выражает условие ``x меньше чем y''.

В каждой из следующих задач представьте данное предложение русского языка предикатной формулой.

3.5 Все простые числа больше чем x.

Ответ: " y(P (y) Й Q(x, y)).

3.6 Существует простое число, которое меньше чем 10.

3.7 x равно 2. см. Указания

3.8 x равно 11. см. Указания

3.9 Существует бесконечно много простых чисел.

Подстановка

Определение 25 (Подстановка терма). Пусть F – формула и v – переменная. Результат подстановки терма t вместо v в F – формула, определённая рекурсивно следующим образом:

• результат подстановки t вместо v в атомарную формулу F получается из F одновременной заменой всех вхождений v на t,

• если результат подстановки t вместо v в F есть F' тогда результат подстановки t вместо v в ¬F есть ¬F',

• если результат подстановки t вместо v в F и G есть F' и G' тогда результат подстановки t вместо v в (F Д G) есть (F'Д G'),

• если результат подстановки t вместо v в F есть F' и w – переменная, отличающаяся от v, тогда результат подстановки t вместо v в Kw F есть Kw F',

• результат подстановки t вместо v в Kv F есть Kv F.

3.10 Найдите результат подстановки константы a вместо x в формулу из задачи 3.4.

Когда мы намереваемся рассмотреть подстановки вместо переменной v в некоторую формулу, удобно обозначать эту формулу выражением F(v), и обозначать результат подстановки терма t вместо v в этой формуле через F(t) .

3.11 Если v не является свободной переменной F(v), тогда F(t) равно F(v).

Пусть F(x) обозначает формулу

" y (P(y) Й Q(x, y)),

предложенную выше как перевод условия ``все простые числа больше чем x'' (задача 3.5). Формула вида F(t), где t – терм, обыкновенно выражает то же условие применённое к значению t. Например, F(a) есть " y (P(y) ЙQ(a, y)), что значит ``все простые числа больше чем 10'', F(z2) есть " y (P(y) Й Q(z2, y)), что значит ``все простые числа больше чем z2''. Существует, однако, одно исключение. Формула F(y), то есть, " y (P(y) Й Q(y, y)), выражает (неправильное) утверждение ``каждое простое число меньше чем оно само''. Проблема с этой подстановкой в том, что, когда мы подставляем переменную y вместо x в F(x), y ``захватывается'' квантором. Чтобы выразить утверждение ``все простые числа больше чем y'' предикатной формулой, мы будем использовать связанную переменную отличную от y и писать, например,

" z(P (z) Й Q(y, z))

Чтобы различать ``плохие'' подстановки, как в последнем примере, от ``хороших'', мы определим, когда терм t является подстановочным для переменной v в формуле F.*

• Если F – атомарная, тогда t является подстановочным для переменной v в F,

• t является подстановочным для переменной v в ¬F тогда и только тогда, когда t является подстановочным для v в F,

• t является подстановочным для v в (F Д G) тогда и только тогда, когда t является подстановочным для v и в F и в G,

• t является подстановочным для v в Kw F тогда и только тогда, когда

1. t не содержит w и является подстановочным для v в F, или

2. v не является свободной переменной формулы Kw F.

3.12 Терм, не содержащий ни одной связанной переменной формулы F, является подстановочным в F для любой переменной.

Определение 26 (Универсальное замыкание). Универсальное замыкание формулы F – это предложение

" v1 ··· vn F,

где v1, ... , vn – все свободные переменные F.

Семантика

Выполнимость

Логическое следование

Выводы в логике предикатов

В логике предикатов вывод определяется так же, как и в исчислении высказываний и секвенции имеют тот же синтаксис. Аксиомы тоже определяются так же, как в логике высказываний. Все правила вывода логики высказываний – правила введения и удаления для пропозициональных связок, правила противоречия и сведения к противоречию – включены в множество правил вывода логики предикатов, с метапеременными для формул понимаемыми теперь как предикатные формулы. В дополнение, есть четыре новых правил вывода: правила введения и удаления для кванторов.

Правила для кванторов всеобщности

G |– F(v) (В")     G |– " v F(v)	G |– " v F(v) (У")     G |– F (t)
где v не является свободной	где t является
переменной для любой формулы в G	подстановочным для v в F(v)

В каждой из следующих задач выведите данную формулу из пустого множества посылок.

3.19 (P(a) & " x (P(x) Й Q(x))) Й Q(a).

3.20 " xy P(x, y) Й " x P (x, x).

Правила для кванторов существования

G |– F(t) (В$)     G |– $ v F(v)	G |– $ v F(v) G И { F(v) }|– C (У$)     G |– C
где t – подстановочный	где для C и любой формулы из G
для v в F(v)	v не является свободной переменной

В каждой из следующих задач выведите данную формулу из пустого множества посылок.

3.21 (P(a) Ъ P(b)) Й $ x P(x).

3.22 ¬$ x P(x) є " x ¬P(x).

Корректность и полнота логики предикатов

Множество правил вывода для логики предикатов обладает свойством корректности и полноты подобно свойствам пропозициональных выводов.

Теорема корректности. Если существует вывод замкнутой формулы F из множества формул G, тогда G влечёт F.

Теорема полноты. Для любой замкнутой формулы F и любого множества предложений G, если G влечёт F, то существует вывод F из некоторого подмножества G.

Полнота логики предикатов для случая счётного G и для другого множества правил вывода была доказана Куртом Гёделем в 1930 году.

Функциональные символы и равенство: синтаксис

Логика предикатов, определённая выше немного более ограничена, чем что обыкновенно называется ``логикой первого порядка'', и наша следующая цель – удалить эти ограничения. Во-первых, мы обобщим понятие терма. В дополнение к объектным константам и объектным переменным, мы разрешим построение термов с использованием символов для функций, ``функциональных констант''. Во-вторых, мы добавим к языку знак равенства, и уравнения будут включены как новый тип атомарных формул.

Наше наиболее общее понятие сигнатуры определяется следующим образом.

Определение 28 (Сигнатура, константы). Сигнатура – это множество символов двух типов – функциональных констант и предикатных констант – с неотрицательным целым числом, называемым арностью, связанным с каждым символом. Объектная константа – это функциональная константа арности 0. Функциональная константа унарна, если её арность равна 1, и бинарна, если её арность равна 2.Пропозициональная константы, так же как унарные и бинарные предикатные константы, определены как выше.

Определение 29 (Терм). Возьмём сигнатуру s, не включающую ни дополнительных символов, указанных в начале данной части, ни знака равенства. Множество X строк замкнуто относительно правил построения термов, если

• каждая объектная константа принадлежит X,

• каждая объектная переменная принадлежит X,

• для каждой функциональной константы h арности n (n > 0) и любой строки t1, ... , tn, если t1, ... , tn принадлежит X, тогда также принадлежит h(t1, ... , tn).

Строка является термом, если она принадлежит все множествам, которые замкнуты относительно правил построения.*

3.23 Каждый терм содержит объектную константу или объектную переменную. Верно или нет ?

В логике первого порядка существуют три типа атомарных формул:

• пропозициональные константы,

• строки вида R(t1, ... , tn) где R – предикатная константа арности n (n > 0) и t1, ..., tn – термы,

• строки вида (t1 = t2), где t1, t2 – термы.

Взяв в качестве множества атомарных формул данное множество, мы получаем, что определение формул (первого порядка) совпадает с определением предикатных формул в начале этой части.

Для любых термов t1 и t2, t1 № t2 обозначает формулу ¬(t1 = t2).

Функциональные символы и равенство: семантика

Выводы в логике первого порядка

Определение вывода в логике предикатов с функциональными константами и равенством включает новый тип аксиом и два новых правила вывода. Правила, как и раньше, содержат метапеременные, служащие для обозначения формул и термов.

Новые аксиомы выражают рефлексивность равенства и имеют вид Ж |– t = t , где t – произвольный терм. Новые правила вывода – правила замены:

G |– t1 = t2G |– F(t1) (З=)     G |– F(t2)

G |– t1 = t2G |– F(t2)   G |– F(t1)

где t1 и t2 свободные для v в F(v).*

Для каждой из следующих формул найдите вывод из пустого множества посылок.

3.27 x = y Й f(x, y) = f(y, x).

3.28 " x $ y (y = f(x)).

3.29 $ y (x = y & y = z) Й x = z.

3.30 $ x (x = a & P (x)) є P (a).

Теории первого порядка

Теория первого порядка сигнатуры s определяется с помощью аксиом. Интерпретация, при которой истинны все аксиомы теории первого порядка G, называется моделью G. Если теория первого порядка Gвыполнима, мы также говорим что она непротиворечива. Логические следствия теории первого порядка называется её теоремами. Доказательство предложения F в теории первого порядка G есть вывод F из подмножества аксиом из G.

Теоремы корректности и полноты выполняются для логик предикатов с функциональными символами и равенством и могут быть сформулированы в рамках теорий первого порядка следующим образом. В соответствие с теоремой корректности, если существует доказательство предложения F в теории первого порядка G, тогда F является теоремой G. В соответствие с теоремой полноты Гёделя, обратное также верно: для любой теоремы F теории первого порядка G, существует доказательство F в G.