Совокупность отношений элементов языка

 Многозначность лексики и грамматики способствует возрастанию неопределенности информации, что снижает эффективность использования языка, может породить непонимание собеседниками друг друга, и служит источником ошибок и заблуждений.

  Искусственный язык - строится по сформулированным заранее правилам. Он стремится упростить общение людей, говорящих на различных национальных языках. Немецкий ксендз М. Шлейхер (1831-1912) создавал волапюк, а польский врач Л. Заменгоф (1859 - 1917) разрабатывал эсперанто. Он облегчает передачу информации на расстояние (азбука Морзе).

Семантические категории.

 Одна из проблем, возникающая при построении искусственных языков - обоснование их непротиворечивости и осмысленности. Важную роль в ее решении играет теория семантических категорий, позволяющая сформулировать такие общие структурные требования, которые выступают необходимым условием осмысленности языковых выражений.       Всю совокупность выражений языка можно подразделить на различные классы таким образом, чтобы каждое выражение принадлежало только к одному классу. В качестве основания для  классификации выступает принцип взаимозамены двух произвольных выражений, принадлежащих одному языку. При этом замена  не должна приводить к превращению осмысленного контекста в бессмысленный.   Иными словами,  два  выражения принадлежат к одной и той же семантической категории, если их замена друг на друга в произвольном осмысленном контексте не превращает его в бессмысленный.

Пример: Имеется арифметическое выражение «7×5=35». Мы оцениваем его как осмысленное и истинное. Заменяя результат арифметического действия «35» на любое другое число, например на «34» или «36», мы получим выражения «7×5 = 34», «7×5 = 36», которые также могут быть оценены как осмысленные, хотя и ложные. Если же мы заменим этот результат знаком плюса или минуса, то имевшиеся выражения из осмысленных превратятся в бессмысленные: «7×5 = +», «7×5 = -». Таким образом, можно утверждать, что выражения «35», «34», «36» принадлежат к одной семантической категории, а выражения «35», «+» принадлежат к разным.

 Основные семантические категории: высказывания, имена  и функторы, а вспомогательные: именная и пропозициональная функции и операторы.

 Высказывание - предложение, которое может быть оценено как истинное, так и ложное. Оно, как правило, отождествляется с повествовательным предложением и противопоставляется повелительным, вопросительным и вообще любым предложениям, оценка истинности которых не является возможной. Истинность и ложность являются логическими значениями высказывания.

 Высказывание «Аристотель - учитель Александра Македонского»  «истинно», а высказывание «А.С. Пушкин - современник С. Есенина - «ложно». Предложения же «Который час?», «Подойди ко мне!» высказываниями не являются. Для обозначения высказываний используются пропозициональные переменные (р, g, r и т.д.).

 Имя - выражение, обозначающее предмет или совокупность предметов, которые могут быть физическими, абстрактными, либо фиктивными. Роль имен состоит в выделении предмета из некоторой совокупности.

 Первый способ выделения заключается в приписывании единичному предмету собственного имени («Ф.М. Достоевский», «Афины»). Другой способ позволяющий выделить единичный предмет - приписывание ему дескриптивного имени, т.е. описание предмета как обладателя определенного свойства, присущего только ему («самое глубокое озеро России», «первый чемпион мира по шахматам»). Для выделения класса однородных предметов из совокупности используются нарицательные имена, т.е. имена с более чем одним десигнатом («философ», «звезда»).

 В естественных языках роль имен могут выполнять и личные местоимения, и прилагательные, и глаголы. В этой связи категорию имени часто определяют как выражение, которое, будучи поставленным на место переменных (А, В) в высказывании «А есть В», не делает его бессмысленным. Функтор - выражение, служащее для образования новых, более сложных языковых конструкций из уже имеющихся.

 Выражение, из которого образуется новое, считается аргументом функтора.  Классификация функторов проводится по нескольким основаниям:

во-первых, в зависимости от семантической категории аргументов и вновь образованного выражения можно выделить: пропозициональные, именные, смешанные, и функторальные функторы.

Пропозициональный функтор, посредством которого из высказываний образуется новое, более сложное высказывание (Пример: из «Идет снег» и «На улице холодно» с помощью пропозиционального функтора «если..., то...» можно образовать новое высказывание «Если идет снег, то на улице холодно»). Пропозициональные функторы: «либо..., либо», «тогда и только тогда, когда» и др.

Именной функтор - из имени порождает новое имя. (Пример: из имени «человек» с помощью функтора «честный» можно образовать новое имя «честный человек».)

  Функторальный - из элементарного функтора образует сложный. Пример: функтор «громко» из элементарных функторов «кричать», «свистеть», порождает сложные функторы «кричать громко», «свистеть громко».    

Во- вторых, основанием для классификации служит и число аргументов. Различают одно - и многоаргументные функторы. Функтор, имеющий два и более аргументов, называют  многоаргументным. Одно - и многоаргументными могут быть как пропозициональные и именные, так и смешанные и функторальные функторы.

Отдельную семантическую категорию, составляют именные и пропозициональные функции.           

Именная функция - выражение, которое служит для обозначения предметов и записывается в виде отдельных букв. Эти буквы (х, у, z, ... х1 , у1 , z1 ...), выступающие как «пустые ячейки», в которые разрешается подстановка имен индивидуальных предметов, называют индивидными переменными. 

  Если подставить на  место индивидных переменных конкретные значения, то такое выражение превращается в имя. Выражения «√x», «единица у», «внук z» - именные функции. При подстановке значений преобразуются в имена «√4», «единица мощности», «внук Петра Великого».

  Пропозициональная функция - выражение, включающее именные функции или пропозициональные переменные и превращающееся в высказывание при подстановке конкретных значений. По своей структуре пропозициональная функция сходна с высказыванием.

Но отличается неопределенностью своего истинностного значения.

 Пример: пропозициональные  функции «х - целое число», «х - ровесник у», «если р, то q» и т.п. Любое может быть однозначно оценено как истинное или как ложное, если сделать соответствующие подстановки. Так, «4- целое число», это уже не пропозициональные функции, а истинные высказывания, а «1,5- целое число», -  ложные высказывания и т.д.      

Пропозициональная функция, включающая именные переменные, называется предикатом.  

 Последнюю из выделенных  выше семантических категорий  составляют операторы, которые обычно определяются как выражения, связывающие переменные.    

 К ним относятся кванторы, которые применительно к высказываниям позволяют выяснить отношение между предметной областью и предикатами, определенными на ней. 

 С помощью кванторов на формализованном языке можно записать высказывания, характеризующие количественные характеристики предметов и их свойств. Различают квантор общности «"» и квантор существования «$». Выражение «"x» читается: «для всякого х», а выражение «$х» — «существует х».  

 

 

    Кроме кванторов в  формализованных языках модальных  логик имеются также операторы модальности. Основными модальными операторами являются: оператор необходимости(обозначается «ð», читается: «необходимо, что»); и оператор возможности (обозначается «◊», читается «возможно, что»). 

 Выделенные категории  характеризуют семантико-синтаксические  аспекты языка. Трудно представить  себе человека, который мог бы  эффективно пользоваться каким-либо  языком без знания значений вербальных символов, без владения правилами оперирования с ними. Но знания только этих правил для умения говорить на каком-либо языке и понимать его еще недостаточно. Применительно к нашей проблеме таким «нечто» выступают прагматические аспекты языка, связанные с конкретными ситуациями его употребления.    

Логика предикатов

Понятие ``предикат'' обобщает понятие ``высказывание''. Неформально говоря, предикат – это высказывание, в которое можно подставлять аргументы. Если аргумент один – то предикат выражает свойство аргумента, если больше – то отношение между аргументами.

Пример предикатов. Возьмём высказывания: ``Сократ - человек'', ``Платон - человек''. Оба эти высказывания выражают свойство ``быть человеком''. Таким образом, мы можем рассматривать предикат ``быть человеком'' и говорить, что он выполняется для Сократа и Платона.

Возьмём высказывание: ``расстояние от Иркутска до Москвы 5 тысяч километров''. Вместо него мы можем записать предикат ``расстояние'' (означающий, что первый и второй аргумент этого предиката находятся на расстоянии, равном третьему аргументу) для аргументов ``Иркутск'', ``Москва'' и ``5 тысяч километров''.

Язык логики высказываний не вполне подходит для выражения логических рассуждений, проводимых людьми, более удобен для этого язык логики предикатов.

Пример рассуждения, не выразимого в логике высказываний. Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен.

Это рассуждение на языке логики высказываний можно записать тремя отдельными высказываниями. Однако никакой связи между ними установить не удастся. На языке логики предикатов эти предложения можно выразить с помощью двух предикатов: ``быть человеком'' и ``быть смертным''. Первое предложение устанавливает связь между этими предикатами.

Перейдём теперь к формальному изложению логики предикатов.

Язык логики предикатов

``Предикатные формулы'' обобщают  понятие пропозициональной формулы, определённое в части 2.

Предикатная сигнатура – это множество символов двух типов – объектные константы и предикатные константы – с неотрицательным целым числом, называемым арностью, назначенным каждой предикатной константе. Предикатную константу мы будем называть пропозициональной, если её арность равна 0. Пропозициональные константы являются аналогом атомов в логике высказываний. Предикатная константа унарна, если её арность равна 1, и бинарна, если её арность равна 2. Например, мы можем определить предикатную сигнатуру

{ a, P, Q }

(4)

 

объявляя a объектной константой, P – унарной предикатной константой, и Q – бинарной предикатной константой.

Возьмём предикатную сигнатуру s, которая включает по крайней мере одну предикатную константу и не включает ни одного из следующих символов:

• объектные переменные x, y, z, x1, y1, z1, x2, y2, z2, ...,

• пропозициональные связки,

• квантор всеобщности " и квантор существования $,

• скобки и запятая.

Алфавит логики предикатов состоит из элементов из s и четырёх групп дополнительных символов, указанных выше. Строка – это конечная последовательность символов из этого алфавита.

Терм – это объектная константа или объектная переменная. Строка называется атомарной формулой, если она является пропозициональной константой или имеет вид R(t1, ..., tn), где R – предикатная константа арности n (n > 0) и t1, ... , tn – термы. Например, если мы рассматриваем сигнатуру (4), то P(a) и Q(a, x) – атомарные формулы.

Множество X строк замкнуто относительно правил построения (для логики предикатов), если

• каждая атомарная формула принадлежит X,

• для любой строки F если F принадлежит X, то ¬F тоже принадлежит,

• для любых строк F, G и любой бинарной связки Д, если F и G принадлежат X, то также принадлежит (F Д G),

• для любого квантора K, любой переменной v и любой строки F если F принадлежит X, то также принадлежит Kv F.

Строка F является (предикатной) формулой, если F принадлежит всем множествам, которые замкнуты относительно правил построения.

Например, если рассматриваемая сигнатура есть (4), тогда

(¬P (a) Ъ $ x(P (x) & Q(x, y)))

– формула.

3.1 Является ли " x формулой?

Как и в логике высказываний можно доказать, что множество формул замкнуто относительно правил построения. Теоремы возможности и единственности разбора подобны соответствующим теоремам для пропозициональных формул.

В случае предикатных формул доказательство по структурной индукции имеет следующий вид. Для данного свойства формул мы проверяем, что

• каждая атомарная формула обладает этим свойством,

• для любой формулы F, обладающей этим свойством, ¬F также обладает этим свойством,

• для любых формул F, G, обладающих этим свойством, и любой бинарной связки Д, (F Д G) также обладает этим свойством,

• для любого квантора K, любой переменной v и любой формулы F, обладающей этим свойством, Kv F также обладает этим свойством.

Тогда это свойство выполняется для всех формул.

3.2 Если формула содержит квантор, тогда она содержит переменную. Верно или нет ?

3.3 Если формула содержит квантор, тогда она содержит скобки. Верно или нет ?

При записи предикатных формул мы будем опускать некоторые скобки и применять другие сокращения, введённые в части 2. Строку вида